別有滋味兒的“夾生飯”

1、別有滋味兒的“夾生飯”以“雞兔同籠問題”為例顧亞龍【專題名稱】小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)【專題號】G392【復(fù)印期號】2012年02期【原文出處】小學(xué)數(shù)學(xué)教師（滬）2011年10期第4957頁【作者簡介】顧亞龍，上海市徐匯區(qū)教師進修學(xué)院“雞兔同籠問題”是我國古代的一道數(shù)學(xué)名題，在上海教材中被安排在四年級下學(xué)期，但在二年級學(xué)“列表枚舉法”時 學(xué)生已初步接觸過這個問題，有的三年級學(xué)生在外面補課時已經(jīng)會套用“假設(shè)法”的解題模式，有的則從家長那里學(xué)會了用方程 解答.有趣的是，數(shù)據(jù)較小時，一年級學(xué)生用“畫圖法”也能解決這種問題.這就是四年級學(xué)生關(guān)于“雞兔同籠問題”的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”一一一鍋不折不扣的“夾生飯”.筆者嘗試

2、以“課程實施三放三收”的策略引導(dǎo)學(xué)生走進他們“生活中的數(shù)學(xué)”，一起來燒燒這鍋“夾生飯”.一、一放一收：呈現(xiàn)“原生態(tài)1. 重心下移：呈現(xiàn)“原生態(tài)上課伊始，老師出示了一只陶瓷儲蓄罐，輕輕一搖，里面的硬幣嘩嘩作響.師：儲蓄罐里有2分硬幣和5分硬幣共8枚，每種硬幣各幾枚？ （ PPT呈現(xiàn)）生這道題有好幾種可能，好象缺少條件.師要補上什么條件？生要知道儲蓄罐里一共有多少錢.師好的，現(xiàn)在補上“一共有3角4分錢，能做嗎？（學(xué)生有的沉思，有的動筆寫寫算算，有的則一臉茫然.）師：這類問題，早在1500年前，我們的老祖宗在一本叫孫子算經(jīng)的書中就有專門的記載.這就是我們今天要研究的古代數(shù)學(xué)名題：雞兔同籠問題 .PP

3、T出示：今有雞兔同籠，上有 8頭，下有22足.雞有幾只？兔有幾只？（學(xué)生似乎被點醒，有的若有所思，有的若有所悟，有的則依然沉默.）【設(shè)計意圖：儲蓄罐里的“硬幣問題”學(xué)生也許陌生，但這只是一個懸念，一個引子；而似曾相識的古代名題對部分學(xué)生則是某種點撥與喚醒，能初步激活部分學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，找到思考問題的起點.】2.重心下移：讓“差異”成為資源師腳為什么比頭多呀？生因為一只雞有 2只腳，一只兔有 4只腳.師雞和兔的只數(shù)都是未知的 .想一想，怎么辦？有困難的也可以同桌商量商量，再動筆試試看巡視發(fā)現(xiàn)，有以下幾種具有代表性的解法（1）有的學(xué)生通過列表枚舉，找到了答案兔的只數(shù)0S8 x 2=161772+1

4、 X4=lft266x 2+23S5x2+34=22 V442+4（2）也有學(xué)生列出了算式：（22-8X2）*（ 4-2 ） =3 （只），8-3=5 （只）師：你是怎樣想的？生：假設(shè)8只全部是雞，應(yīng)該是16條腿，比題目里告訴我們的少了6條，每少2條腿，說明有一只兔被當成了雞（能說得清道理的只是數(shù)學(xué)上的少數(shù)尖子，不少學(xué)生還是半懂不懂的.）師：其實，這道題一年級的小朋友們也會做，他們用的是“畫圖的方法”.（PPT動態(tài)演示畫圖的過程.）誰能說說一年級同學(xué)是怎么想的？（原本半懂不懂的學(xué)生從直觀的畫圖過程中明白了算理）生：一年級同學(xué)也是先假設(shè) 8只全部是雞，畫上16條腿，再把多出來的 6條腿添給三只雞

5、，就變成了三只兔 .師比較一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？生方法不同，但結(jié)果都是5只雞和3只兔.生都用到了假設(shè)法.師你更喜歡哪種方法？生我喜歡“圖畫法”，比算式好懂，列表比較麻煩生但“圖畫法”也有麻煩的時候，如果是800只腳呢？還是假設(shè)法比較好 .【設(shè)計意圖：“聲一無聽，色一無文，味一無果，物一無講 國語鄭語.如同植物的多樣性能讓雜花生樹一樣，在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生原生態(tài)地呈現(xiàn)的各種方法成為一種教育資源，這些方法相互驗證，相互啟迪，往往能進一步激活孩子 們的思維.】3.重心下移：聚焦困惑，突破難點師：明明假設(shè)的是雞，怎么求出來的卻是兔呢？（學(xué)生一時難以回答，片刻沉靜后，學(xué)生從PPT上的畫圖法中找到了解釋）生

6、：因為，假設(shè)全是雞，少算的6條腿都是“兔腿”.生：把少算的6條兔腿換回去，就變成了兔子 .所以，假設(shè)全是雞，求出來的是兔子.生：反過來，如果假設(shè)全是兔，求出來的是雞【設(shè)計意圖：為什么明明假設(shè)的是雞，求出來的卻是兔子？這歷來是不少學(xué)生在理解上的一大困惑.所以，貼近學(xué)生理解上的這個難點，聚焦并放大這個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生不僅知其然，也知其所以然，從而切實突破難點.】二、二放二收：激活“創(chuàng)生態(tài) 1.關(guān)口前移：激活“創(chuàng)生態(tài)”師：上面提到的幾種方法都是我們現(xiàn)代人的解法，我們的老祖宗又是怎么解決這個問題的呢？PPT出示古人的解法：腳數(shù)*2-頭數(shù)=兔數(shù)，頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù).師：古人的方法對不對呢？大家不妨用古人的方法

7、驗證一下上面這道題.生（興奮地）：對的，對的，也是5只雞，3只兔.比我們的假設(shè)法方便多了 .師：但古人是怎樣想的呢？能不能發(fā)個短信或打個電話去問問？（生皆笑）生：老師，我在一本書上看到古人用的是“抬足法”.就是讓所有的雞都抬起一條腿一一“金雞獨立，讓所有的兔子 都抬起前腿一一“玉兔拜月”.這樣，腿的總數(shù)就除以 2.那么，每只雞都是一條腿，每只兔都有兩條腿，這時，腳數(shù)比頭數(shù)多 的，就是兔的只數(shù).：師：你的知識很淵博，解釋得也很清楚，很精彩（古人的解法，一石激起千層浪）生：老師，如果讓雞的兩只翅膀著地，把雞變成4條腿的“怪雞，那么（8X4 -22 ）*（ 4-2 ） =5是兔的只數(shù)，8-5=3是雞

8、的只數(shù).師：你為“假設(shè)全是兔”找到了一個生動形象的解釋生：老師，如果只讓所有的兔子前腿抬起來，就可以把所有的兔子都變成2條腿的“怪兔”.那么（22-8X2）*（ 42 ） =3是雞的只數(shù)，8-3=5是兔的只數(shù).師：這又是一個很妙的解釋 .【設(shè)計意圖：古人的“抬足法”猶如催化劑，催生出兩翅著地的“怪雞”和前肢舉著的“怪兔”.學(xué)生的思維一旦被充分激活，任何奇思妙想都不會是一種意外.】2. 關(guān)口前移：感受數(shù)學(xué)文化的魅力師：你們見過把雞和兔關(guān)在同一個籠子里的嗎？生：沒有.（笑）師：即便是雞和兔關(guān)在同一個籠子里，直接數(shù)一下各自的頭不就行了嘛，誰還會趴下去數(shù)腳呢？（生皆笑著搖頭）那為 什么從古到今，人們一

9、直在研究這個問題呢？換句話說，“雞兔同籠問題”到底有什么魅力呢？（學(xué)生皆若有所思）師：不僅我們中國人研究“雞兔同籠”問題，日本人也研究這個問題，在日本叫“龜鶴同游問題”.PPT出示：龜鶴同游，數(shù)頭 40，數(shù)腳112.龜鶴各幾只？問：“龜鶴同游”與“雞兔同籠”有關(guān)系嗎？生：有關(guān)系.龜相當于4只腳的兔子，鶴相當于 2只腳的雞.師：也就是說“雞兔同籠問題”不一定只指雞和兔.那你們能不能給它重新取個名字？生：可以叫“鴨兔同籠問題”.生：可以叫“鵝羊同籠問題”.師：可以改成“兔狗同籠問題”問題嗎？生：不可以，因為，兔狗都是4條腿.生：“雞兔同籠問題”不一定是指雞和兔，而是指這一類問題師：哪一類問題呢？生

10、：指分別有2條腿和4條腿的動物，知道共有幾只頭和幾條腳，求兩種動物各幾只師：你們能解一下日本的“雞兔同籠問題”嗎？一部分學(xué)生的列式為：（112-40X2）*（ 4-2 ） =16 （只）（兔），40-16=24 （只）（雞）；但多數(shù)學(xué)生用的 是古人提出的方法：112*2 -40=16 （只）（兔），40-16=24 （只）（雞）.【設(shè)計意圖：教者適時引入日本的“龜鶴同游”問題，并引導(dǎo)學(xué)生給“雞兔同籠問題”重新取名字，進而追問，可否改 成“兔狗同籠問題，從而讓學(xué)生逐步觸及“雞兔同籠問題”的數(shù)學(xué)實質(zhì).】三、三放三收：建構(gòu)一般性方法模型1.重心上移：學(xué)生在哪里師：現(xiàn)在，我們可以來解決前面“儲蓄罐”里

11、的硬幣問題了一一儲蓄罐中有2分和5分的兩種硬幣共8枚，一共3角4分.兩種硬幣各幾枚？部分學(xué)生用的是假設(shè)法，多數(shù)學(xué)生都直接套用古人的模式：34*2 -8=9 ;但馬上發(fā)現(xiàn)：5分硬幣竟然比兩種硬幣的總數(shù) 8枚還要多，這顯然是不可能的.師：古人的方法怎么就不靈了呢？在當今這個資訊高度發(fā)達的時代，以往有些所謂的“知識”正在逐步演變?yōu)椤靶畔ⅰ?，甚至是“常識”；因此，老師們 覺得現(xiàn)在越來越難以“搭準學(xué)生的脈”.這直接導(dǎo)致了當下課堂教學(xué)中的“夾生飯”現(xiàn)象，使得課堂上單向度的“師授生受”關(guān) 系越來越難以為繼，也讓習(xí)慣于圍繞教案上課，習(xí)慣于課程實施“線性思維”的老師們，感到自己在課堂上的主導(dǎo)地位和話語權(quán)受到挑戰(zhàn)

12、.這不僅考驗著老師們的實踐智慧，甚至拷問著我們曾經(jīng)得心應(yīng)手的某些教學(xué)模式首先，課堂教學(xué)中的“夾生飯”現(xiàn)象是社會進步特別是科技發(fā)展的必然產(chǎn)物，這也是新課程所倡導(dǎo)的“學(xué)生活中的數(shù) 學(xué)”的題中之意，這種活生生的“大數(shù)學(xué)課程”，需要我們具有相應(yīng)的“大數(shù)學(xué)教學(xué)觀”.這就要求我們與時俱進，不斷更新自己的“課程觀，教學(xué)觀”，雖然有時候是一種“被更新”.其次，我們要調(diào)適某些程式化的課堂教學(xué)模式.孩子們都是帶著他們已有的、參差不齊的、甚至是片面的知識經(jīng)驗和生活閱歷來學(xué)習(xí)的.對此，無法回避，更不應(yīng)“提防”.尊重和正視學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和認知起點，對于學(xué)生已經(jīng)有所了解的東 西，不應(yīng)該“裝聾作啞”或“視而不見”，而是要悉心揣摩并“用活用足”這些資源.在課堂教學(xué)具體進程的不同階段，學(xué)生的理解也動態(tài)地處于不同層次，因此，我們要適時提醒并追問自己：學(xué)生在哪里？在本案例中，教師通過“三放三收”，即“重心 下移”