排列組合經(jīng)典：涂色問題[課堂參照]

1、高考數(shù)學(xué)中涂色問題的常見解法及策略與涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣,近年已經(jīng)在高考題中出現(xiàn)，其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。解決涂色問題方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，因而這類問題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學(xué)生的智力。本文擬總結(jié)涂色問題的常見類型及求解方法一.區(qū)域涂色問題1、 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1。用5種不同的顏色給圖中標(biāo)、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？ 分析：先給號區(qū)域涂色有5種方法，再給號涂色有4種方法，接著給號涂色方法有3種，由于號與、不相鄰，因此號有4種涂法，根據(jù)分

2、步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有2、 根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計(jì)算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。2例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色。分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：（1）與同色、與同色，則有；（2）與同色、與同色，則有；（3）與同色、與同色，則有；（4）與同色、與同色，則有；（5）與同色、與同色，則有；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=120例3、如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，24315現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？ 分析：依題意至少要用3種顏色1)

3、當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域2與4必須同色，2) 區(qū)域3與5必須同色，故有種；3) 當(dāng)用四種顏色時(shí)，若區(qū)域2與4同色，4) 則區(qū)域3與5不同色，有種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色，有種，故用四種顏色時(shí)共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=723、 根據(jù)某兩個(gè)不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個(gè)不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計(jì)算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù)。例4用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi)，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問題分為三類：1234（1

4、） 四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為；（2） 有且僅兩個(gè)區(qū)域相同的顏色，（3） 即只有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為；5) 兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為，因此，所求的涂法種數(shù)為4、 根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類分類ABCDEF例5如圖， 6個(gè)扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6個(gè)區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個(gè)區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可解（1）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著同一種顏色時(shí)，有4種著色方法，此時(shí)，B、D、F各有3種著色方法，此時(shí)，B、D、F各有3種著色方法故有種方法。 （2）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時(shí)，有種著色方法，此時(shí)B、D、

5、F有種著色方法，故共有種著色方法。 （3）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時(shí)有種著色方法，此時(shí)B、D、F各有2種著色方法。此時(shí)共有種方法。故總計(jì)有108+432+192=732種方法。說明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問題還可以用數(shù)列中的遞推公來解決。 如：如圖，把一個(gè)圓分成個(gè)扇形，每個(gè)扇形用紅、白、藍(lán)、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？解：設(shè)分成n個(gè)扇形時(shí)染色方法為種 （1） 當(dāng)n=2時(shí)、有=12種，即=12（2）當(dāng)分成n個(gè)扇形，如圖，與不同色，與 不同色，與不同色，共有種染色方法， 但由于與鄰，所以應(yīng)排除與同色的情形；與同色時(shí)，可把、 看成一個(gè)扇形，與前個(gè)扇形加在一起為個(gè)扇

6、形，此時(shí)有種染色法，故有如下遞推關(guān)系： 二.點(diǎn)的涂色問題方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點(diǎn)是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時(shí)只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A

7、與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個(gè)只需染與其相對頂點(diǎn)同色即可，故有種方法。（3）若恰用五種顏色染色，有種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。 解法二：設(shè)想染色按SABCD的順序進(jìn)行，對S、A、B染色，有種染色方法。 由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：SCDAB C與A同色時(shí)（此時(shí)C對顏色的選取方法唯一），D應(yīng)與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時(shí)，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有種染色方法。由乘法原理，總的

8、染色方法是解法三：可把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個(gè)區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？二.線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：a) 根據(jù)共用了多少顏色分類討論b) 根據(jù)相對線段是否同色分類討論。例7、用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（1）使用四顏色共有種;（2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有種，（3）使用二種顏色時(shí)，則兩組對邊必須分別同色，有種因此，所求的染色方法數(shù)為種解法二：涂色按ABBCCDDA的順

9、序進(jìn)行，對AB、BC涂色有種涂色方法。由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：當(dāng)CD與AB同色時(shí)，這時(shí)CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色時(shí)，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為種例8、用六種顏色給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點(diǎn)的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有種方法。（2）若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內(nèi)對棱涂同色

10、，但組與組之間不同色，故有種方法。（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有種方法。（4）若恰用六種顏色涂色，則有種不同的方法。 綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為種。三.面涂色問題例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的6個(gè)面涂色，每兩個(gè)具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進(jìn)行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為

11、左側(cè)面，則其余3個(gè)面有3！種涂色方案，根據(jù)乘法原理（2）共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側(cè)面，此時(shí)的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有3種選擇（前后面可通過翻轉(zhuǎn)交換）；(3)共用四種顏色,仿上分析可得；(4)共用三種顏色,例10、四棱錐，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？ ARCDP 53214 解：這種面的涂色問題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題，如右圖，區(qū)域1、2、3、4相當(dāng)于四個(gè)側(cè)面，區(qū)域5相當(dāng)于底面；根據(jù)共用顏色多少分類：（1） 最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時(shí)有種；

12、（2） 當(dāng)用4種顏色時(shí)，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時(shí)有；故滿足題意總的涂色方法總方法交總數(shù)為例11用三種不同的顏色填涂如右圖3方格中的9個(gè)區(qū)域，要求每行、每列的三個(gè)區(qū)域都不同色，則不同的填涂方法種數(shù)共有（ D ）A、48、 B、24 C、12 D、6 四、染色模型在“立幾”中的計(jì)數(shù)問題應(yīng)用在近幾年的高考試題和各地模擬試題中頻繁出現(xiàn)以“立幾”中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為背景的計(jì)數(shù)問題，這類問題題型新穎、解法靈活、多個(gè)知識點(diǎn)交織在一起，綜合性強(qiáng)，能力要求高，有一定的難度，它不僅考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識，而且注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查?，F(xiàn)結(jié)合具體例子談?wù)勥@種問題的求解策略。1. 直接

13、求解例1：從平面上取6個(gè)點(diǎn)，從平面上取4個(gè)點(diǎn)，這10個(gè)點(diǎn)最多可以確定多少個(gè)三棱錐？解析: 利用三棱錐的形成將問題分成平面上有1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)三類直接求解共有個(gè)三棱錐例2: 在四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)為P，從其它的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)P在同一平面上，不同的取法有（ ） A.40 B. 48 C. 56 D. 62種解析: 滿足題設(shè)的取法可以分成三類（1） 在四棱錐的每一個(gè)側(cè)面上除P點(diǎn)外取三點(diǎn)有種不同取法；（2） 在兩個(gè)對角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，共有種不同取法；（3） 過點(diǎn)P的每一條棱上的3點(diǎn)和與這條棱異面的棱的中點(diǎn)也共面，共有種不同取法,故共有40+8+8=56種評注：這

14、類問題應(yīng)根據(jù)立體圖形的幾何特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，做到分類不重復(fù)、不遺漏。2. 結(jié)合“立幾”概念求解例3: 空間10個(gè)點(diǎn)無三點(diǎn)共線，其中有6個(gè)點(diǎn)共面，此外沒有任何四個(gè)點(diǎn)共面，則這些點(diǎn)可以組成多少個(gè)四棱錐？解析: 3. 結(jié)合“立幾”圖形求解例4如果把兩條異面直線看作“一對”，那么六棱錐的棱和底面所有的12條直線中，異面直線有（ ）：A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 解析：B例5用正五棱柱的10個(gè)頂點(diǎn)中的5個(gè)頂點(diǎn)作四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，共可得多少個(gè)四棱錐？解析：分類：以棱柱的底面為棱錐的底面 ;以棱柱的側(cè)面為棱錐的底面 以棱柱的對角面為棱錐的底面以圖中(梯形)為棱錐的底面 4. 構(gòu)造幾

15、何模型求解例6在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)的所有連線中，有多少對異面直線？與空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面有多少個(gè)？（05年湖北）以平面六面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為A. B. C. D. A 在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)初設(shè)計(jì)命題是近幾年高考命題改革強(qiáng)調(diào)的重要觀念之一，在復(fù)習(xí)備考中，要把握好知識間的縱橫聯(lián)系和綜合，使所學(xué)知識真正融會(huì)貫通，運(yùn)用自如，形成有序的網(wǎng)絡(luò)化知識體系。1.對于已知直線a,如果直線b同時(shí)滿足下列三個(gè)條件: 與直線a異面; 與直線a所成的角為定值; 與直線a的距離為定值d.那么這樣的直線b有A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 無數(shù)條2. 如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是A. 48 B. 36 C. 24 D. 183. 設(shè)四棱錐P-AB