圓錐曲線的性質(zhì).

1、圓錐曲線的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）橢圓：1定義和標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 平面上到兩個(gè)定點(diǎn) Fi,F2的距離和為定值（定值大于f,f2 ）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓，其中Fi, F2稱為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2稱為橢圓的焦距（2）標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點(diǎn)P x,y ， F1 -c,0 , F2 c,0 ，設(shè)距離和2 2PFiPF2 = 2a，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2a b 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點(diǎn)P x,y ，F(xiàn)1 0c ,F2 0,c ，設(shè)距離和2 2PF1 +|PF2=2a，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：專+令二丨，其中（a Ab0,b2=a2 c

2、2 ）a b焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中哪個(gè)字母的分母更大2 22、橢圓的性質(zhì)：以焦點(diǎn)在 x軸的橢圓為例： 篤爲(wèi)=1 a b 0 a b（1） a :與長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)有關(guān)：A - a,0 ,A a,0 ， A A =2a稱為長(zhǎng)軸長(zhǎng)b :與短軸的頂點(diǎn)有關(guān)：BjO,b）,B2（0,b ）, B1B 2b稱為短軸長(zhǎng)c:與焦點(diǎn)有關(guān)：F1 （-c,0 ）, F2（c,0 ）, F|F2 =2c稱為焦距（2）對(duì)稱性：橢圓關(guān)于 x軸，y軸對(duì)稱，且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱（3） 橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍：設(shè)P xO,yO ，則-a乞xO空a,-b乞yO乞b（4）通徑：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值 焦點(diǎn)弦：橢圓中過焦點(diǎn)的弦2b2 過焦點(diǎn)且與

3、長(zhǎng)軸垂直的弦pq| = a說明：假設(shè)PQ過Fr；_c,O ，且與長(zhǎng)軸垂直，則P：Lc, yO ,Q1. c, - yO ，所以厶+卑=1二y； =3，可得y。=乞。則PQ =a baa2b2（5）離心率：e = c，因?yàn)閏 a，所以e -0,1a設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（心y0 ），則PF）=a+ex）, PF2=a - exo （可記為“左加右減”）（6）焦半徑公式：稱 P到焦點(diǎn)的距離為橢圓的焦半徑a c，最小值為a - c1證明：Spf- PF1 - PF2 sinRPF22+ PF且 F1F22-2 PF1HPF2cosF)PF2二 PFiPF2 ) -2 PFi| PF2 (1 +COSF1PF

4、2 ).4c2 =4a2 -2 PFj|PF2 1 cosFfF22b2PF|PF2 = _2c1 +cosF1PF21 +cosF1PF21PFf =jPF1 PF21 2b2sin F|PF2sin F|PF22 1 +cosPF1F2比2 .込各比出n1 cosF-|PF221f pf因?yàn)镾pf1f22c y。=c yo，所以b2 tan 2 = c y，由此得到的推論: F1PF2的大小與y0之間可相互求出F1PF2的最大值：F1PF2最大二S PF1 F2最大二y最大二P為短軸頂點(diǎn)（二）雙曲線:1、定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn) FjF?距離差的絕對(duì)值為一個(gè)常數(shù)（小于RF2 ）的點(diǎn)的軌跡稱為

5、雙曲線，其中Fi, F2稱為橢圓的焦點(diǎn),F1F2稱為橢圓的焦距；如果只是到兩個(gè)定點(diǎn) F1,F2距離差為一個(gè)常數(shù)，則軌跡為雙曲線的一支2、標(biāo)準(zhǔn)方程: 焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為（7）焦點(diǎn)三角形面積：勺卩吋2二b2ta n；（其中- . PF1F2） 焦點(diǎn)在x軸：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)P x, y , F1 -c,0 , F2 c,0 ，設(shè)距離差的絕對(duì)值2 2X V222PFi PF? =2a，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：- = 1，其中(aO,bO,b =c a )a b焦點(diǎn)在V軸：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)P x, V，F(xiàn)i O,-c ,F2 0,c，設(shè)距離差的絕對(duì)值PFi|PF2 -2a，則雙曲線

6、標(biāo)準(zhǔn)方程為:2V_ax22-廠1，其中Ob=c2 - a2焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，則對(duì)應(yīng)字母作為被減數(shù)2、雙曲線的性質(zhì)：以焦點(diǎn)在x軸的雙曲線為例:2x2a2V2 = 1 a O,b O b2(1)a :與實(shí)軸的頂點(diǎn)有關(guān)：A, -a,O ,A, a,O ，= 2a稱為實(shí)軸長(zhǎng)b :與虛軸的頂點(diǎn)有關(guān)：BjO,b),B2(O,b ), B,B2 =2b稱為虛軸長(zhǎng)C：與焦點(diǎn)有關(guān)：R ( -c,0 ), F2 (c,O ),F| F2 = 2c 稱為焦距(2) 對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于 x軸，V軸對(duì)稱，且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(3) 雙曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍：設(shè)P xO，VO，則有冷_-a或xO _ a， yO Rc(4) 離心

7、率：e ，因?yàn)閏 a，所以i1,-:a(5 )漸近線：當(dāng)Xr小或X時(shí)，雙曲線在向兩方無限延伸時(shí)，會(huì)向某條直線無限1變?yōu)镺,再解靠近，但不相交，則稱這條直線為曲線的漸近線。 雙曲線漸近線的求法：無論雙曲線的焦點(diǎn)位于哪條軸上，只需讓右側(cè)的2 2 2 2出V關(guān)于x的直線即可。例如在x2 一 V2 =1 a O,b O中，求漸近線即解：仔-篤=0 ,a ba bbb變形為V = X ,所以V =- x即為雙曲線的漸近線aa漸近線的幾何特點(diǎn)：直線x二a, x二-a, V二b, V二-b所圍成的矩形，其對(duì)角線即為雙曲a,b,c 的線的漸近線 漸近線的作用：一是可以輔助作出雙曲線的圖像；二是漸近線的斜率也能

8、體現(xiàn)關(guān)系。(6)通徑:內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點(diǎn)連成的線段外弦：雙曲線兩支上各取一點(diǎn)連成的線段通徑：過雙曲線焦點(diǎn)的內(nèi)弦中長(zhǎng)度的最小值，此時(shí)弦2b2PQ_x 軸，PQ=-?-a（7）焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)P x0,y0，左右焦點(diǎn)分別為 Fi,F2，則c -a=a -ex3 （可記為“左加右減”） 由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，距離為、一2 e（8）焦點(diǎn)三角形面積：設(shè)雙曲線上一點(diǎn) P x0, y0 ，則Spff =b cob （其中v - . PF| F2）（三）拋物線:1定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于到一條定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線2、拋物

9、線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)位置:(1)焦點(diǎn)在X軸正半軸:=2px p 0，焦點(diǎn)坐標(biāo)I p,0(2)焦點(diǎn)在X軸負(fù)半軸:f p=-2pxp 0，焦點(diǎn)坐標(biāo)石(3)焦點(diǎn)在y軸正半軸:= 2py p 0，焦點(diǎn)坐標(biāo)吋焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸:x2= -2py（p0 ），焦點(diǎn)坐標(biāo) I。,土小結(jié)：通過方程即可判斷出焦點(diǎn)的位置與坐標(biāo)：那個(gè)字母是一次項(xiàng)，則焦點(diǎn)在哪條軸上；其坐標(biāo)為一次項(xiàng)系數(shù)除以 4,例如：x2 =4y，則焦點(diǎn)在y軸上，且坐標(biāo)為 0,13、焦半徑公式：設(shè)拋物線 y= 2px(p0 )的焦點(diǎn)為 F , A(x, y )，貝U AF4、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過拋物線y2=2px p 0焦點(diǎn)的直線與拋物線交于 A , y1 ,B

10、x2, y2 ,則AB=AF + BF，再由焦半徑公式即可得到）二、典型例題:2 2例1:已知雙曲線計(jì)1的右焦點(diǎn)與拋物線八12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn) 到其漸近線的距離等于（B. 4.2C. 3D. 5思路：先從常系數(shù)方程入手，拋物線2y =12x的焦點(diǎn)為3,0，即雙曲線中的c = 3，所以b2二c2 -a2 =5，從而雙曲線方程為:2 2-1，其漸近線方程:45x，由對(duì)稱性可得焦點(diǎn)到兩漸近線的距離相等，不妨選擇I : J5x -2y =0，右焦點(diǎn) F2 3,0，所以小煉有話說：（1）一道題含多個(gè)圓錐曲線方程，往往以某些特殊點(diǎn)（焦點(diǎn)，頂點(diǎn)）為橋梁聯(lián) 接這些方程，在處理時(shí)通常以其中一個(gè)曲線

11、方程（不含參）為入手點(diǎn)，確定特殊點(diǎn)的坐標(biāo)， 進(jìn)而解出其他圓錐曲線的要素答案：A2 2例2:已知雙曲線X2 一 y2 =1 a 0,b 0的實(shí)軸長(zhǎng)為 4 2，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與拋物線a b2x = 2 py p 0的焦點(diǎn)重合，直線y二kx-1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則p =（）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本題涉及圓錐曲線和字母較多，所以首先要確定核心變量，從所求出發(fā)可嘗試以 p作為核心變量，拋物線x2=2py的焦點(diǎn)為io# ，所以可得匕=衛(wèi)，因?yàn)镮 2丿2_ 22，所以雙曲線方程為x可求得漸近線方程為yx，不妨設(shè)y =kx -1與y ： p_ x平行,4丁242則有k =

12、 p_。從相切可想到與拋物42線聯(lián)立消元后的方程厶=0p廠4?2xt2、x2 =2py2p=22x_2p=0答案：A-8p =0 解得 P = 42 2X y如圖，F(xiàn)1,F2是橢圓Ci： 22 =1 m n 0 與雙曲線m n22線共焦點(diǎn)，所c2二 m2 _ n2-a2 b2 ，所求表達(dá)式丄2 2 eie22 m -2 c2旦2c2 2m a2 ，本題與c焦半八、I相關(guān)，所以考慮AF+|AF2 =2m, AF,-AF2 = 2a 。結(jié)合AFi的中點(diǎn)與F1F2的中點(diǎn)可得雙曲線的漸近線與AF2平行，從而AF,丄AF2，所以有AFi2=F1F2=4c2，聯(lián)系上面條件可得:4c2 = AF1AF2 2

13、 = 2 L( AR + AF2 ) +( AR 一 AF2二 2m2 2a2，所1 1 m2a2_+ = 22 2 2ee2c答案：A2 2 2例4：已知橢圓G：% 乂2=1 a b 0與雙曲線C2: X21有公共的焦點(diǎn)，C2的a b4一條漸近線與以 G的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于代B兩點(diǎn)，若G恰好將線段 AB三等分，則（ ）2132212A. aB. a =13C. bD. b =22 2思路：因?yàn)镚,C2有公共焦點(diǎn)，所以通過 C2可得F1 -5,0 ,F2 ,5,0 ，從而，圓2a的直徑為2a，所以AB截橢圓的弦長(zhǎng)為。由雙曲線得 AB : y = 2x，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)3立，再利用弦長(zhǎng)公式即可

14、得到關(guān)于a （或b）的方程，解方程即可解：通過 C2 可得 Fi 一.5,0 ,F2、5,0 ， c= 5b2x2 +a2y 不妨設(shè)AB : y = 2x，則l.y =2xX2驢2，所以x 藝=4a2 b2,4a2 b2利用弦長(zhǎng)公式可得d =后 22 儀1 _X22. 5ab4a2 b2又因?yàn)?a2b2 =c2 =525ab2-j aJ4a2 + b23 解得:a2 - b2 =511b2 221，故選答案:例5:（2014,山東,10）2 2=1，已知a b 0，橢圓C1的方程為篤-召a b雙曲線C2的方程2=1， C1與C2的離心率之積為 一2，則C2的漸近線方程為B. ,2x 二 y =

15、 0C. x 二 2y = 0D. 2x 二 y = 0思路：要想求漸近線方程，關(guān)鍵在 a,b的比值,所以將兩個(gè)離心率均用a, b表示，再利用乘積為仝即可得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線方程2解：設(shè)曲線G,C2的離心率分別為即今，則q二一aca2 -b2aac .a2b2二 ee2. a2 -b2 a2b2. a4 - b43因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為:yxa，代入可得:y 2x：x_、2y=02答案：A小煉有話說：本題在設(shè)計(jì)上利用橢圓和雙曲線中c的求法不同，從而使得兩條曲線在a,b相同的情況下，離心率的乘積中含有平方差公式的特點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，較易得出a,b關(guān)系2 2 2 2xvXV例6：橢圓

16、r 2 =1 m n 0和雙曲線 2 =1 a b 0的公共焦點(diǎn)為FnF2，m na bP是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，那么 PF! PF2的值是（）A. m aB.m2 -a2C.思路：所求 PF, , PF2既是橢圓的焦半徑，又是雙曲線的焦半徑。所以由橢圓和雙曲線定義可得：PF, - PF2 =2a， PF, + PF? =2m，由此聯(lián)想到兩個(gè)式子的完全平方公式，進(jìn)而可求出 PF, PF2，貝U PF, PF 1 （|PF, +|PF2| ： （|PF, PF2|（=m2 a24 *1答案：B2x2 y2例7：已知拋物線y2 =2px p 0的焦點(diǎn)F與雙曲線1的右焦點(diǎn)重合，拋物線45的準(zhǔn)線與x軸的交

17、點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且|AK =J2|AF|，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. 2.2B. 3C. 2 3D. 4思路：因?yàn)閮蓷l曲線的焦點(diǎn)重合，所以可用雙曲線計(jì)算出焦點(diǎn)的坐標(biāo)c2 =4 5 = 9，所以F 3,0 ,進(jìn)而可確定拋物線方程：y2 =12x,以及準(zhǔn)線方程丨：x=-3。所以K -3,0 ,設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，則A（x,J12；），所以AK2 =x-（-3）f+12x，由焦半徑公式可得：AF|=x+p=x+3 , 所 以|AK| =V2|AF|n |AK 2 =2 AF|2, 即2 2x 3122 x 3 ，可解得：x =3答案：B、x2 y2例&設(shè)F為雙曲線1的左焦點(diǎn)，在x軸上F點(diǎn)的右側(cè)有一

18、點(diǎn) A，以FA為直徑169FN IFM的圓與雙曲線左，右兩支在 x軸上方的交點(diǎn)分別為 M ,N，則!的值為（）FA2554A.B.C.D.5245思路：因?yàn)樗蠓质缴婕暗饺龡l線段長(zhǎng)度，若直接用距離公式則異常復(fù)雜，所以考慮時(shí)刻簡(jiǎn)化計(jì)算，首先由FM, FN聯(lián)想到焦半徑公式，設(shè)Mg,% ),N(x2,y2 ),則有MF = a + exi = -exi - a，NF=a + ex2=ex?+a， 所 以FN FM =e(Xj +x2 )+2a，設(shè) A(m,0、由雙曲線可知F(5, 0)，則 FA 的中點(diǎn)C亍,0.J，圓半徑二丁，所以圓萬程為:2y，整理后可得：x2(m-5 )x + y25m =0，

19、因?yàn)镕N - FM的值與(咅+乂2 )相關(guān)，所以考慮聯(lián)立圓和雙曲線方程，- 2 2x -m-5x y -5m = 0x2 y2消去y可得1169x2 (m 5 )x 9+5m=0 ,所以 + x2 =代 _5),代入 |FN FM| 可得：1625FN-FM5 16 m -525，因?yàn)镕A=m 5，所以原式的值為答案：D小煉有話說：本題可發(fā)現(xiàn)無論A的位置如何，從選項(xiàng)上來看 lFN卜lFM|應(yīng)該為定值，故|FA|可以利用特殊位置，比如A為右焦點(diǎn)時(shí)，便可輕松得到答案：由對(duì)稱性可得FN FM=2a =8，且 FA =2c=10，所以例9:如圖，從雙曲線x22yb2FN - FM|FA2a2c=1 a 0,b0的左焦點(diǎn)2 2 2F引圓x y二a的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于 P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO - MT的值為 (用含a,b的表達(dá)式表示)思路：首先要將 MO , MT|向a,b靠攏，因?yàn)镻F與圓切于T , 連結(jié)OT，可知 OT = r= a，且LI FOT為直角三角形，OF = c , 從 而 |FT|=JoF| -|0T =c -a =b , 進(jìn) 而 M |孑 | F- Ml = F,在尋找M0| ,因?yàn)镕M為線段