證明三點共線問題的方法

1、 證明三點共線問題的方法 1、利用梅涅勞斯定理的逆定理 例1、如圖1,圓內(nèi)接 ABC為不等邊三角形，過點A、B C分別作圓的切線依次交直線 BC CA AB于A1、B1、C1，求證：A1、B1、C1三點共線。 解：記 BC a,CA b, AB c,易知 AC1 S AC1C C1B S CC1B S 又易證 AC1C : CC1B .則 S CC1B 22 AC b2 CB a2 同理 ba1 A1C 2 c CB1 a, AC1 BA1 CB1 b2 2 2 c a b2 ，B1A c2. 故 C1B A1C B1A 2 a 1 ,2 2 1 b c 由梅涅勞斯定理的逆定理，知 A1、B1

2、、C1三點共線。 2、禾I用四點共圓（在圓內(nèi)，主要由角相等或互補得到共線） 例2、如圖，以銳角厶ABC的一邊BC為直徑作O O過點A作O O的兩條切線，切點為 M N 點H是厶ABC的垂心求證：M H N三點共線。（96中國奧數(shù)） 證明：射線AH交BC于 D,顯然AD為高。 記AB與O O的交點為E,易知C、H、E三點共線。 聯(lián)結(jié) OM ON DM DN MH NH 易知 AMO ANO ADO 900 , A、M O D N五點共圓，更有 A、M D N四點共圓， 此時， AMD AND 1800 因為 AM2 AE AB AH AD （B、D H E 四點共圓）， am ad 即；又 MA

3、H DAM，所以 AMH : ADM，故 AHM AMD AH AM 同理， AHN AND。 因為 AHM AHN AMD AND 180，所以，M H N三點共線。 3、利用面積法 如果SS ，點E、F位于直線MN的異側(cè)，則直線 MN平分線段EF,即卩M N與EF EMN FMN 的中點三點共線。例3、如圖，延長凸四邊形 ABCD勺邊AB DC交于點E,延長邊AD BC交于點F,又 M N L分別是 AC BD EF的中點，求證： M N L三點共線。 證明：設(shè)BC的中點為0,輔助線如圖所示， 由 0M /AE,0N / DE 可知, 點0必在 EMN內(nèi)，此時, EMN S S 0MN S

4、 S OME ONE S OMN OMB S ONC S BMN S BCN (S BMD 1 S BCD(S BMC S DMC ) 1 1 (S ABC S ADC ) S四邊形 ABCD 4 冋理，S FMN 四邊形ABCb 4 S/C CQ AS/ AP S/C CQ AP AM CQ CN 。再令 但 ，所以 故 MN與 AC交于 S/。同理可得 AS/ S/C AM CN AS/ S/C AS/ AS/ S/C。利用合比性質(zhì)得，AC AS/ 。 AC 因此S EMN S FMN。此時，直線MN平分EF即M N L三點共線。 注:利用梅涅勞斯定理的逆定理也可證明此題。 4、利用同一法

5、 盡管同一法是一種間接證法，但它卻是一各很有用的證法，觀察例4后，你會感到，同一 法在證明三點共線問題時，也有其用武之地。 例4、如圖4(a)，凸四邊形 ABCD的四邊皆與O O相切，切點分別為 P、M Q N,設(shè)PQ與 MN交于S,證明：A、S、C三點共線。 證明：如圖4(b)，令PQ與 AC交于S/ , 易證 APS/與 CQS/互補。 而 AS/PCS/Q，則 AS/ sin APS， sin CQS， AP sin AS/P sin CS/Q 因此，AS/AS/，可斷定S/與S/必重合于點S,故A、S、C三點共線。 注：觀察本題圖形，顯然還可證得 B、S、D三點共線；換言之， AC B

6、D PQ MN四線共點。 5、利用位似形的性質(zhì) 如果 ABC與 A/B/C/是兩個位似三角形，點0為位似中心，那么不僅A、A、O； B B/、 0; C C/、O分別三點共線，而且 ABC、 A/B/C/的兩個對應(yīng)點與位似中心 0也三點共線， 位似形的這種性質(zhì)，對于證明三點共線，頗為有用。 例5、如圖,ABC內(nèi)部的三個等圓O 01、O 02、O 03兩兩相交且都經(jīng)過點 P,其中每兩個圓 都與 ABC的一邊相切，已知0 I分別是 ABC的外心、內(nèi)心，證明：I、P、0三點共線。 證明：聯(lián)結(jié) 0102、 0103、 0203。由已知得 0102 / AB 、 0203 / BC 、 0103/ CA

7、。 可斷定 ABC與 010203是一對位似三角形， 且易知 ABC的內(nèi)心I是兩者的位似中心。 因為O 0i、O 02、O 03為等圓， 即 P01 P02 P03, 所以點P是OQ203的外心。又點0是ABC的外心，故P、0兩點是兩個位似三角形的對應(yīng) 點，利用位似形的性質(zhì)，即得 I 、 P、 0三點共線。 6、利用反證法 有的幾何題利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達到預(yù)期目的。 例6、如圖，梯形 ABCD中、DC/AB，對形內(nèi)的三點 R、F2、F3，如果到四邊距離之和皆相等， 那么，P、P2、F3三點共線，試證之。 證明： 先看 R、P?兩點， 設(shè)直線PP2分別交AD BC于M、N, P

8、1E1 BC 于 E1 ， P2E2 BC 于 E2 ， P1F1 AD 于 F1 ， P2F2 AD 于 F2 。 因為DC/AB，則點P到AB CD的距離之和等于點 P2到AB、CD的距離之和。由已知可得 R已 RFi P2E2 F2F2。過點R作AD的平行線、過點 P2作BC的平行線得交點 P （由于AD 與BC不平行）。記RP交F2F2于G P2P交PiEi于H。 觀察上式有 PEi P2E2 P2F2 PFi。所以，PH P2G。 因為 PPP2有兩條高RHP.G，所以，PPP2是等腰三角形，則PPP?PPP。 故 DMN PP2PRPCNM。 再用反證法證明點 R 定在PP2上：假

9、設(shè)點 R不在PP2上，聯(lián)結(jié)PP3并延長分別交 AD BC于 M I N/，易知點M I N/在MN的異側(cè)；因為點 到AD BC的距離之和等于點 P3到AD BC 的距離之和，由上述證明過程知必有DM /N/ CN/M /。 事實上，觀察圖形只能得到DM / N/ DMN CNMCN/M /，矛盾，這說明點 巳必 在PP2上，即卩MN上，因此P、P2、R三點共線。 7、用塞瓦定量的逆定理 變?nèi)c共線為三線共點，利用塞瓦定理的逆定理，在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDEF中，若 AB CD EF BC DE FA，貝U AD BE、CF三線共點；反之亦然，利用這個結(jié)果來證明某些 三點共線問題，可立竿見影。 例7、如圖乙凸四邊形 ABCD內(nèi)接于圓，延長 AD BC交于點P,作PE、PF切圓于E、F,又AC 與BD交于K,證明：E、K、F三點共線。 解：聯(lián)結(jié)AE ED CF FB得凸六邊形 ABFCDE 欲證E、K F三點共線，即 AG BD EF三線共點， 只須證 AB FC DE BF CD EA。 注意到 PAB PCD, PFC PBF, PDE : PEA