第54課時—軌跡問題(2)

1、2004.11.28高三數(shù)學第一輪復習講義(54)軌跡問題(2)一. 復習目標：1.掌握求軌跡方程的另幾種方法相關(guān)點法(代入法)、參數(shù)法(交規(guī)法)2學會用適當?shù)膮?shù)去表示動點的軌跡，掌握常見的消參法.二. 知識要點：1 .相關(guān)點法(代入法)：對于兩個動點P(x0, y0), Q(x, y)，點P在已知曲線上運動導致點 Q運動形成軌跡時，只需根據(jù)條件找到這兩個點的坐標之間的等量關(guān)系并化為Xof (x, y)然后將其代入已知曲線的方程即得到點 Q的軌跡方程.yo g(x,y)2參數(shù)法(交規(guī)法)：當動點P的坐標x, y之間的直接關(guān)系不易建立時， 可適當?shù)剡x取中間變 量t，并用t表示動點P的坐標x,

2、y，從而動點軌跡的參數(shù)方程 x f (t)消去參數(shù)t，便可得y g(t)到動點P的的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價性，即有t的范圍確定出x,y的范圍.三.課前預習：x21 .已知橢圓 -25FP的比為1:2,2 22y16則點1的右焦點為F ,P分別為橢圓上和橢圓外一點，且點Q分(a)4 y- 17548p的軌跡方程為(b3752y_48(C)(x 6)22252y144(C )2 2(D宀 4y_ 1225 1442設(shè)動點P在直線X 腰直角三角形OPQ，則動點Q的軌跡是(A)(B)兩條平行直線(C)拋物線10上，O為坐標原點，以O(shè)P為直角邊，點O為直角頂點作等B )(D)雙曲線3 .已知

3、點P(x, y)在以原點為圓心的單位圓上運動，則點Q(x y,xy)的軌跡是(A)圓(B)拋物線(C)橢圓(D)雙曲線2 24. 雙曲線1關(guān)于直線x y 2 0對稱的曲線方程是432 2(y 2) (x 2)1435傾斜角為一的直線交橢圓4y21于代B兩點，則線段AB中點的軌跡方程是x 4y0(|x|4亦)5四.例題分析：例1.動圓C: (x 1)2 y2 1，過原點O作圓的任一弦，求弦的中點的軌跡方程. 解：(一)直接法：設(shè) OQ為過O的任一條弦P(x, y)是其中點，貝U CP OQ，則uu uuur1 221CP OQ 0 (x 1,y)(x,y) 0,即(x -)2 y2 (0 x 1

4、)241(二) 定義法： OPC 900，動點P在以M (,0)為圓心，OC為直徑的圓上,21 2 2 1所求點的軌跡方程為(x ) y (0 x 1)4y kx(三) 參數(shù)法：設(shè)動弦 PQ的方程為y kx，由得：(x 1)2 y212 o(1 k )x 2x 0，設(shè) P(X1, yjQ(X2,y2)，PQ 的中點為(x, y)，則：x * 生 N，y kx消去 k 得(x 丄)2 y2- (0 x 1)21 k21 k224小結(jié):1例2 求過點A(1,2)，離心率為一，且以x軸為準線的橢圓的下方的頂點軌跡方程.2解：設(shè)橢圓下方的焦點 F(x0, y。)，橢圓的下方的頂點為由定義， |AF|

5、1，即點F的軌跡方程是(x0 1)2 (y0 2)2 1 ,32322例3 .設(shè)橢圓方程為4uuu 1 uuu 原點，點P滿足OP (OA2(1)動點P的軌跡方程；又x0 x,y0 3y，點的P軌跡方程為(x 1)(2y 2)1 1，過點M (0, 1)的直線I交橢圓于點A、B , O是坐標ULUT1 1OB)，點N的坐標為(，一)，當|繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：2 2uuu(2)| NP |的最小值與最大值(1)解法一：直線l過點M (0, 1)設(shè)其斜率為k，則I的方程為y kX 1. 記 A(Xi, yi)、yX2B(X2,y2),由題設(shè)可得點A、B的坐標(Xi,yi)、(x?, y?)是方程組

6、kx i2丄i的解.4 將代入并化簡得，(42k4 k2，8k2)X2 2kX30，所以XiX2yiOP設(shè)點y2 -41(OA OB)(2P的坐標為(x, y),則k274 k消去參數(shù)k得4x24.XiX2yiy22(4k 4圧TV解法二設(shè)點2P 的坐標為(X, y)，因 A(xi, yj)、2B(x2,y2)在橢圓上，所以2Xiyii,2X2里i.44一得2Xi2X2y；)0，所以(XiX2)(XiX2)y2)(yi y2)0.當xiX2時,有XiX2i(yiy2) yi y20.4X-Ix2XiX2X2并且yyiy2將代入并整理得4x2 y2 y2yiyiy2也滿足方程，所以點 p的軌跡o

7、),o,y o.4 k當k不存在時，A、B中點為坐標原點(方程為4x2 y2xxix2當Xi X2時，點A、B的坐標為（0, 2 ）、（0, - 2）,這時點P的坐標為（0, 0） 也滿足，所以點 P的軌跡方程為(y 1)2i.164學號姓名( )(A)y2 xx22. 已知橢圓一9的兩個交點分別為跡方程2 2(A) + 1943. 已知拋物線y的軌跡方程是2 21(B) y 2(x 1)(C) yx 1(D) y2 2x 122-1的左、右頂點分別為 A和a2，垂直于橢圓長軸的動直線與橢圓4R和P2，其中R的縱坐標為正數(shù)，則直線(B)mx2x41(m2 2(C) T94R)的頂點為A,AR與

8、A2P2的交點M的軌 (2(D)臺9)2x- 14那么當m變化時，此拋物線焦點F五.課后作業(yè)：班級1拋物線y2 4x經(jīng)過焦點的弦的中點的軌跡方程是2 2x y4. 自橢圓1上的任意一點R向x軸引垂線，垂足為Q ,則線段RQ的中點M的204軌跡方程為2 25. 已知橢圓 I 1的兩個焦點分別是 F1、F2,A MF1F2的重心G恰為橢圓上的點，95則點M的軌跡方程為TT6. 如圖，7.設(shè)x, y R i, j為直角坐標平面內(nèi) x, y軸正方向上的單位向量，若向量rr r rr r r ra (x 5)i y j b (x 5)i yj , |a|b| 8，求點 M (x, y)的軌跡 C 的方程.7 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時 聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩個觀測點晚4s，已知各觀測點到中心的距離都是1020m，試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為 340m/ s ；相關(guān)各點均在同一平面上)2 2&設(shè)雙曲線C :與 每 1 (a 0,b 0)的離心率為e ,右準線I與兩條漸近線交于 P,Q