11.6 圓錐曲線的綜合問題[基礎(chǔ)教學(xué)]

1、(11.6 文)（12.6理） 圓錐曲線的綜合問題知識要點(diǎn)梳理 解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，它本身側(cè)重于形象思維、推理運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識.圓錐曲線與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它可以和中學(xué)數(shù)學(xué)中的其他章節(jié)知識進(jìn)行交匯，充分體現(xiàn)了中學(xué)中的各種數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)技能。無論是基礎(chǔ)題還是難題都可以將分析問題與解決問題的能力淋漓盡致地反映出來。因此，圓錐曲線的綜合問題一直是高考的熱點(diǎn)。縱觀近幾年高考試題，對于圓錐曲線與方程的考查主要有兩大類問題：一是根據(jù)條件，求出曲線方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，（1）以客觀題的形式考查圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)；（2）求

2、平面曲線的方程和軌跡；（3）圓錐曲線的有關(guān)元素計(jì)算、關(guān)系證明或范圍確定；（4）涉及圓錐曲線對稱變換、最值或位置關(guān)系的問題。在復(fù)習(xí)圓錐曲線綜合題時要注意以下幾點(diǎn)：（1） 求指定的圓錐曲線的方程，一般涉及量較多，計(jì)算量大，要求較強(qiáng)的運(yùn)算能力。在計(jì)算中，首先要明確運(yùn)算方向，還要注意運(yùn)算的合理性、技巧性，使運(yùn)算簡捷。（2） 注重對解析幾何基本方法的考查，要求會建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。（3） 注意用圓錐曲線的定義解題，有關(guān)圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、到準(zhǔn)線的距離、離心率的問題都可能用圓錐曲線的定義去解。（4） 對稱問題是高考的熱點(diǎn)，注意關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸、直線對稱的兩曲線方程的

3、特點(diǎn)。（5） 解析幾何與數(shù)列、極限、不等式、函數(shù)、向量綜合在一起的問題，對解決數(shù)學(xué)綜合問題的能力要求更高，要充分利用解析幾何的特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)的方法解決幾何問題。反映在解題上，就是根據(jù)曲線的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫出圖形，研究幾何性質(zhì).學(xué)習(xí)時應(yīng)熟練掌握函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、參數(shù)的思想、分類與轉(zhuǎn)化的思想等，以達(dá)到優(yōu)化解題的目的.疑難點(diǎn)、易錯點(diǎn)剖析1與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)問題的討論常用的方法有兩種：（1）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式（組）得出參數(shù)的變化范圍；（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，

4、通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍2圓錐曲線中最值的兩種求法：（1）幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法；（2）代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值直擊考點(diǎn)考點(diǎn)一 直線與拋物線的綜合問題【例1】 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a0，b0），且交拋物線y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn).（1）寫出直線l的截距式方程；（2）證明：+=；（3）當(dāng)a=2p時，求MON的大小.剖析：易知直線l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需

5、求直線l與拋物線y2=2px交點(diǎn)的縱坐標(biāo).由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值，進(jìn)而證得+=.由=0易得MON=90.亦可由kOMkON=1求得MON=90.（1）解：直線l的截距式方程為+=1. （2）證明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0. 點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)y1、y2為的兩個根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（3）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，則k1=，k2=.當(dāng)a=2p時，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以O(shè)MO

6、N，即MON=90.錦囊妙計(jì)：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.舉一反三：如下圖，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在拋物線上.（1）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求y1+y2的值及直線AB的斜率.解：（1）由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2=2px.點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，22=2p1，得p=2.故所求拋物線的方程是y2=4x，準(zhǔn)線方程是x=1.（2）設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.則kPA=（x11），kPB=（x21

7、）.PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，kPA=kPB.由A（x1，y1）、B（x2，y2）在拋物線上，得y12=4x1， y22=4x2， =.y1+2=（y2+2）.y1+y2=4.由得直線AB的斜率kAB=1（x1x2）.考點(diǎn)二 函數(shù)最值與橢圓的綜合問題【例2】 設(shè)橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P（0，）到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).思路分析：設(shè)橢圓方程為+=1，由e=知橢圓方程可化為x2+4y2=4b2，然后將距離轉(zhuǎn)化為y的二次函數(shù)，二次函數(shù)中含有一個參數(shù)b，在判定距離有最大值的過程中，要討論y=是否在y的取值范

8、圍內(nèi)，最后求出橢圓方程和P點(diǎn)坐標(biāo).解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+=1，其中ab0待定.由e2=1（）2可知=，即a=2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，則d2=x2+（y）2=a2（1）+y23y+= 4b23y23y+=3（y+）2+4b2+3，其中byb.如果b，則當(dāng)y=b時d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=（b+）2，由此得b=，與b矛盾.因此必有b成立，于是當(dāng)y=時d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+y2=1.由y=及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)（，），點(diǎn)（，）到點(diǎn)P的距離都是.解法二：根據(jù)題設(shè)

9、條件，設(shè)橢圓的參數(shù)方程是其中ab0待定，02，x=acos，y=bsin，e=，a=2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，則d2=x2+（y）2=a2cos2+（bsin）2=3b2（sin+）2+4b2+3.如果1，即b，則當(dāng)sin=1時，d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=（b+） 2，由此得b=，與b矛盾.因此必有1成立，于是當(dāng)sin=時，d2（從而d）有最大值，由題設(shè)得（）2=4b2+3.由此得b=1，a=2.所以橢圓參數(shù)方程為 x=2cos，y=sin.消去參數(shù)得+y2=1，由sin=，cos=知橢圓上的點(diǎn)（，），（，）到P點(diǎn)的距離都是.錦囊妙計(jì)：本題體現(xiàn)了解析幾何與函數(shù)

10、、三角知識的橫向聯(lián)系，解答中要注意討論.舉一反三：1.對于上例，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以P為圓心，以為半徑作圓，圓與橢圓相切時，切點(diǎn)與P的距離為，此時的橢圓和切點(diǎn)即為所求.讀者不妨一試.提示：由 x2+（y）2=7，x2+4y2=4b2，得3y2+3y=4b27，由=0得b2=1，即橢圓方程為x2+4y2=4.所求點(diǎn)為（，）、（，）.2. 已知橢圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,b)，求點(diǎn)P到該橢圓上點(diǎn)的最大距離。解：橢圓的參數(shù)方程為。設(shè)橢圓上任一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(acos,bsin)，則本題使用橢圓的參數(shù)方程，從而借助三角函數(shù)求最大值。但要注意討論及兩種情況?？键c(diǎn)三 直線與雙曲線、橢圓的綜合問題【例3】 （2

11、007年東北重點(diǎn)中學(xué)高三調(diào)研考題）已知橢圓C的方程為+=1（ab0），雙曲線=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使ll1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當(dāng)l1與l2夾角為60，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)=時，求的最大值.思路分析：（1）求橢圓方程即求a、b的值，由l1與l2的夾角為60易得=，由雙曲線的距離為4易得a2+b2=4，進(jìn)而可求得a、b.（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐標(biāo)，而P是l與l1的交點(diǎn)，故需求l的方程.將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo).將A的坐標(biāo)代入橢圓方

12、程可求得的最大值.解：（1）雙曲線的漸近線為y=x，兩漸近線夾角為60，又b0)其中b=1。又設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)，則=3，解得c=,a=。橢圓方程為+y2=1。（2）設(shè)P為MN的中點(diǎn)，解方程組得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m2+36k2+120，得m2m2,解得0m0，解得m。m0”是“曲線ax2+by2=c為橢圓”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析：ac0曲線ax2+by2=c為橢圓.反之成立.答案：B2.到兩定點(diǎn)A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是A.橢圓 B.AB所在直線C.線段AB D.無

13、軌跡解析：數(shù)形結(jié)合易知動點(diǎn)的軌跡是線段AB：y=x，其中0x3.答案：C3.若點(diǎn)（x，y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為A.1 B.1C. D.以上都不對解析：的幾何意義是橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)（2，0）連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時取得最值，設(shè)直線y=k（x2）代入橢圓方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=.kmin=.答案：C4.（2007年南京質(zhì)量檢測）以正方形ABCD的相對頂點(diǎn)A、C為焦點(diǎn)的橢圓，恰好過正方形四邊的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為A. B.C. D.解析：建立坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓方程，由條件求出橢圓方程，可得e=.答案：D5.已知F1（3，0）、F2（3，0）

14、是橢圓+1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)F1PF2時，F(xiàn)1PF2的面積最大，則有A.m=12，n=3 B.m=24，n=6C.m=6，n= D.m=12，n=6解析：由條件求出橢圓方程即得m=12，n=3.答案：A二.填空題7.雙曲線9x216y2=1的焦距是_.解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得=1.a2=，b2=，c2=a2+b2=+=.c=，2c=.答案：8.若直線mx+ny3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式為_；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的一條直線與橢圓+=1的公共點(diǎn)有_個.解析：將直線mx+ny3=0變形代入圓方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2

15、6ny+93m2=0.令0得m2+n23.又m、n不同時為零，0m2+n23.由0m2+n23，可知|n|，|m|，再由橢圓方程a=，b=可知公共點(diǎn)有2個.答案：0m2+n21k0k（1，1），方程所表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓； 1k3k20k（，1），方程所表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；1k=3k20k=1，表示的是一個圓；（1k）（3k2）0k（，）（1，），表示的是雙曲線；k=1，k=，表示的是兩條平行直線；k=，表示的圖形不存在.（2）由（k2+k6）（6k2k1）0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）0k（3，）（，2）.12.（2007年荊門市模擬題）已知拋物線y2=2p

16、x上有一內(nèi)接正AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求證：點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱；（2）求AOB外接圓的方程.（1）證明：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），|OA|=|OB|，x12+y12=x22+y22.又y12=2px1，y22=2px2，x22x12+2p（x2x1）=0，即（x2x1）（x1+x2+2p）=0.又x1、x2與p同號，x1+x2+2p0.x2x1=0，即x1=x2.由拋物線對稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱.（2）解：由（1）知AOx=30，則y2=2px， x=6p，y=x y=2p.A（6p，2p）.方法一：待定系數(shù)法，AOB外接圓過原點(diǎn)O，且圓心在x軸上，可設(shè)其方程為x2+y2+dx=0.將點(diǎn)A（6p，2p）代入，得d=8p.故AOB外接圓方程為x2+y28px=0.方法二：直接求圓心、半徑，設(shè)半徑為r，則圓心（r，0）.8.（2007年西安模擬題）從橢圓+=1（ab0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1，且它的長軸右端點(diǎn)A與短軸上端點(diǎn)B的連線ABOM.（1）求橢圓的離心率；（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，求F1QF2的取值范圍；（3）過F1作AB的平行線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，若|CD|=3，求橢圓的方程.解：（1）由已知可設(shè)M（c，y），則有+=1.M在第二象限，M（c，）.又由ABOM，可知kAB=kOM.=.