(完整版)專(zhuān)升本高數(shù)公式大全[1]

1、導(dǎo)數(shù)公式:(tgx) sec x(ctgx)esc2 x(secx) seex tgx (esex)cscx ctgx(ax) ax lna(log ax) xl na基本積分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx C高等數(shù)學(xué)公式(arcsin x) (arccos x) (arctgx)(arcctgx)111 x211 x2dx2 .2sec xdxtgx Ccos xdx2 2csc xdxctgx Csin xsecx tgxdx secxCdx2x2丄 InU C2a a

2、xchxdx shx Ccscx ctgxdx cscx Cxx a axdxCIn ashxdx chx Cdx、a2arcsdx.x2 a222In( x x a ) C22n4 nn11nsinxdxcosxdx1 n 200n2Jx22 adxx : 2 x2 aaIn(xJ x2 a2)C222Jx22 adx2 aaInx；2 2 V x aC22222dxx : 22ax -vaxvaxarcsin-C22a2 u三角函數(shù)的有理式積分:usin x 2, cosx1 u1 u2，u tg-, dx 221 uxxe e2shx exx echx exx21)x21)x esinx

3、lim1x 0 x1 x lim(1 -)x x xe 2.718281828459045雙曲正弦：shx 雙曲余弦：chx 雙曲正切:thx arshx In (xarchx In (xarthxllnl x2 1三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctg-和差角公式:sinsin2si ncos22sinsin2 cossin22-和差化積公式:cos cos 2 cos cos2 2coscos2 si nsin22函數(shù)角Asincostgctg-a-sin acos a

4、-tg a-ctg a90 acos asin actg atg a90 acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 a-sin a-cos atg actg a270 a-cos a-sin actg atg a270 a-cos asin a-ctg a-tg a360 a-sin acos a-tg a-ctg a360 asin acos atg actg asin 2cos22sin cos2 22 cos1 1 2s in2 cosctg2ctg212ctgtg22tg21 tg倍角公式:-半角公式:.2 sinsin

5、33si n4si n33cos3 4cos 3costg33tg tg321 3tg2：1 cos sin 22)1 costg 2, 1 cos1 cos sinsin 1 coscos21cosX2ctg-1cos1 cos1cossinsin1 cos-正弦定理:asin Absin Bsin C2R-余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC-反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin x arccosx2arctgx arcctgx2)公式:(uv)(n)n即 k)v(k)k 0(n)(n 1)n(n 1) (n 2)u Vnu vuv2!高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leib niz中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

6、：拉格朗日中值定理：f(b) f(a)n(n 1) (n k 1)紆化) u v k!f ( )(b a)UV(n)柯西中值定理：丄包血丄F(b) F(a) F ()當(dāng)F(x) x時(shí)，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線(xiàn)斜率的傾角變 化量；s： MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率：Klim0d y_ds J(1 y2)3直線(xiàn)：K 0;半徑為a的圓：K丄.定積分的近似計(jì)算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab a, (yo yi nb a 1 z 、 (y。 yn) n 2yn 1)yiyn ib拋物線(xiàn)法：f (x)

7、a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yi y3yn i)定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W F s水壓力：F p A引力：F kmimP2,k為引力系數(shù)rf(x)dx均方根：.1f2(t)dt函數(shù)的平均值：yb a空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點(diǎn)的距離：d M1M2 向量在軸上的投影：PrjuAB.(X2 xj2 (y2 如)2 (Z2 乙)2 AB cos ,是AB與u軸的夾角。Pr ju(a1 a?) Pr ja1 Pr ja2a b cosaxbxay byazbz，是一個(gè)數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbx2 2axayayby azbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybya

8、zbza b sin.例:線(xiàn)速度:向量的混合積:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzb I c cos ,為銳角時(shí),代表平行六面體的體積 。平面的方程:1、點(diǎn)法式：A(x x0) B( y y0) C(z 般方程：Ax By3、截距世方程：-ya b2、Cz D 0zo) o,其中 n A, B,C, Mo(xo,yo,zo)平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離:Axo By。Czo DA2 B2 C2Xo空間直線(xiàn)的方程:x XomyyonZoPt,其中s m, n, p;參數(shù)方程:yomtntZopt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222

9、:xyz： 2 22abc222:xyz： 2.22abc橢球面:1拋物面:雙曲面:11(馬鞍面)單葉雙曲面雙葉雙曲面多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz dx dy x y全微分的近似計(jì)算：z dz多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：du dx dy dzx y zfx(x,y) x fy(x,y) yz fu(x,y),v(x,y)zxz uuzxvvx當(dāng)u u(x,y), v v(x, y)時(shí)，du dx dydvdxdyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F(x,y) 0,dyFx,d2y.2-(fx)+(dxFydxxFy隱函數(shù) F(x,y,z) 0,zF,zFyxFzyFzz fu(t),v(t)Fx)

10、 dy Fy) dxdz z u z v dt u t v tFF隱函數(shù)方程組：feuv) 0J(F,G)u飛Fu FvG(x,y,u,v) 0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)Xj(x,v)Xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x空間曲線(xiàn)yz(t)z Zo在點(diǎn)M處的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)0Fy FzGy G zFzFxGz GxFxGx若空間曲線(xiàn)方程為：F(x, y,Z) 0則切向量T G(x,y,z) 0曲面 F (x, y,z) 0 上一點(diǎn) M(Xo,y,Zo)，則

11、:過(guò)此點(diǎn)的法向量：n Fx(Xo, yo,Zo), Fy(x, y, Zo), Fz(x, y,z。)過(guò)此點(diǎn)的切平面方程：Fx(Xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y)FyGy1、2、Fz(x,y,Zo)(z Zo) O3、x Xoyyoz Zo過(guò)此點(diǎn)的法線(xiàn)方程：Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo,yo,Zo)(t)在點(diǎn)M(X0,yo,Z0)處的切線(xiàn)方程：益 =方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z f (x, y)在一點(diǎn)p(x, y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為：-cos xsin y其中為x軸到方向I的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z f (x, y)在一點(diǎn) p(x,y)的梯度

12、：gradf(x,y)它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是： grad f (x,y) e，其中e cos isinj，為l方向上的單位向量。f是gradf (x, y)在l上的投影多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(xo,y，o)fy(Xo, yo)0,令：fxx(xo,yo) A,fxy(xo, yo) B,fyy(xo,yo) CACB20時(shí)，Ao,(xo,yo)為極大值A(chǔ)o,(xo,yo)為極小值則：ACB20時(shí)，無(wú)極值A(chǔ)CB20時(shí),不確定重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：x業(yè)Mx (x,y)dD

13、(x, y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 對(duì)于X軸I X平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2 (x, y)d ,D對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M (0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD(x, y)dD對(duì)于y軸I yo)的引力:3 ?D/222X2(x y a )柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐標(biāo)：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐標(biāo)：y r

14、sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0丄M轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲線(xiàn)積分:第一類(lèi)曲線(xiàn)積分(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分)設(shè)f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2 sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),則:特殊情況:y (t)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分)：設(shè)L的參數(shù)方程為y(;),則:P(x,y)dx Q(x,y)

15、dyL兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLL上積分起止點(diǎn)處切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x yl當(dāng)Py,Q x,即：衛(wèi)2時(shí)，x y平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件:1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；Qdy(Pcos QcosLQdy格林公式：(-QD X得到D的面積：A)ds其中和分別為P)dxdy ydxdyD:Pdx QdyLxdy ydx2lQP2、P(x,y), Q(x,y)在 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且-Q二上。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng)xy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反! 二元函數(shù)的全微分求積：Q P在一=一

16、時(shí)，Pdx Qdy才是二兀函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y00(xo,yo)曲面積分：對(duì)面積的曲面積分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y) 1 z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正 號(hào)；DxyP(x, y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；DyzQ(x,y,z)

17、dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右側(cè)時(shí)取正 號(hào)。Dzx兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:Rcos )dsdiv 0,則為消失PQR()dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcosxyz高斯公式的物理意義通量與散度：散度：div ,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若x y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds，因此，高斯公式又可寫(xiě) 成： div Adv Ands斯托克斯公式一一曲線(xiàn)積分與曲面積分的關(guān)系:(RQ)dydz ( P R)dzdx ( QP)dxd

18、y。PdxcosQdycosRdzy zz:xxdxdyycosdydzdzdx上式左端又可寫(xiě)成：xyzxyzPQRPQR空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：RQPRQ Pyzzxx yi旋度：rotA 一 xP向量場(chǎng)A沿有向閉曲線(xiàn)的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz A tds常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：q q2等差數(shù)列：2 3調(diào)和級(jí)數(shù)：-1231 qn1 q(n 1)n21是發(fā)散的n級(jí)數(shù)審斂法:1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法設(shè)： lim n Un，則根植審斂法(柯西判1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1時(shí)，別法)：不確定2、比值審斂法:設(shè)： limUnn 1uT，則級(jí)數(shù)收斂 級(jí)數(shù)發(fā)散1時(shí)，1時(shí)，1時(shí)，不確定3、定義法:S

19、nU1U2Un;lim sn存在，則收斂；否則發(fā) n散。交錯(cuò)級(jí)數(shù)U1U2U3U4U1 U2 U3,Un 0)的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足UnUn 1.門(mén)，那么級(jí)數(shù)收斂且其和Slim Un 0nUi,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnUn 1。絕對(duì)收斂與條件收斂:(1)U1 U2U1如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱(chēng)為絕對(duì) 收斂級(jí)數(shù); 如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(chēng)(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。1發(fā)散，而n丄收斂；n1 /pn p . pU2U3Un，其中un為任意實(shí)數(shù);Un調(diào)和級(jí)數(shù):級(jí)數(shù):1時(shí)發(fā)散1時(shí)收斂幕級(jí)數(shù):1 x x21時(shí)，收斂于 -1 X發(fā)散1時(shí),對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0ax2a?x數(shù)軸上都收

20、斂，則必存anXx在R,使 xx，如果它不是僅在原點(diǎn) 收斂，也不是在全 R時(shí)收斂R時(shí)發(fā)散，其中R稱(chēng)為收斂半徑。R時(shí)不定0時(shí),求收斂半徑的方法：設(shè)limnan 1an，其中an， an 1是(3)的系數(shù)，則0時(shí)，時(shí)，R 0函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù):函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù):f(x)f(X0)(X X0)-(x X0)22!(n),f (x0)(x X0)nn!余項(xiàng)：Rn：(n 0()x0)n 1,f(x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：lim R, 0x0時(shí)即為麥克勞林公式:f(x) f(0) f (0)x2!f (n)(0) nXn!些函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù):(1 x)m1 mx2!m(m 1) (m n 1)

21、nXn!1 x 1)sinx x3X3!5X5!1)n2n 11(2n 1)!歐拉公式:ixe cosxi si nxcosx或sin xix e三角級(jí)數(shù):f(t) A。ixe2ixixe e2A sin( nn 1aA，anAn sin n，S其中，正交性：1,sin x, cosx, sin 2x,cos2x 上的積分=0。傅立葉級(jí)數(shù)：a(an cosnxn 1An COs n， sin nx,cosnxbn sin nx)X。t任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積 在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期 2anf(x)cosnxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n

22、 1,2,31丄321 122421221歹1321孑2(相加)62一(相減)12正弦級(jí)數(shù):an0, bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bn sin nx是奇函數(shù)余弦級(jí)數(shù):bn0, anf(x)cosnxdx00,1,2f(x)ao2an cos nx是偶函數(shù)周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):an其中bn/n(an cos1lxbn.n sin -lx)，周期nxf (x) cosdx l(n0,1,2 )f (x)sin-dx(n1,2,3 )ao2ln1l r i1l11f(x)2微分方程的相關(guān)概念:或 P(x,y)dx一階微分方程：y f (x, y)可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy得：G(y) F(x) C稱(chēng)為隱式通解。Q(x,y)dyf(x)dx的形式，解法:g(y)dy f (x)dx齊次方程：一階微分方程可以寫(xiě)成dydxf(x,y