MATLAB實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)的采樣與重構(gòu)仿真

1、目錄 概 述.2 設(shè)計(jì)原理.3 1.1 matlab 介紹.3 1.2 連續(xù)時(shí)間信號(hào).3 1.3 采樣定理.4 1.4 信號(hào)重構(gòu).6 連續(xù)信號(hào)采樣及重構(gòu).8 2.1 sa(t)的臨界采樣及重構(gòu).8 2.1.1 實(shí)現(xiàn)程序代碼.8 2.1.2 程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析.9 2.2 sa(t)的過采樣及重構(gòu).10 2.2.1 實(shí)現(xiàn)程序代碼.10 2.2.2 程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析.12 2.3 sa(t)的欠采樣及重構(gòu).13 2.3.1 實(shí)現(xiàn)程序代碼.13 2.3.2 程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析.14 2.4 程序中的常見函數(shù)和功能.15 致謝.15 參考資料.16 課程設(shè)計(jì)總結(jié).17 1 前言前言

2、 信號(hào)與系統(tǒng)課程設(shè)計(jì)是學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)課程必要的教學(xué)環(huán)節(jié)。由于該課程是 專業(yè)基礎(chǔ)課，需要通過實(shí)踐了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，為使學(xué)生取得最現(xiàn)代化的設(shè)計(jì)技能 和研究方法，課程設(shè)計(jì)訓(xùn)練也就成為了一個(gè)重要教學(xué)環(huán)節(jié)。通過一個(gè)模擬信號(hào)的 一系列數(shù)據(jù)處理，達(dá)到進(jìn)一步完善對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)課程學(xué)習(xí)的效果。 信號(hào)與系統(tǒng)課程同時(shí)也是一門實(shí)用性較強(qiáng)、涉及面較廣的專業(yè)基礎(chǔ)課，該課 程是將學(xué)生從電路分析的知識(shí)領(lǐng)域引入信號(hào)處理與傳輸領(lǐng)域的關(guān)鍵性課程，對(duì)后 續(xù)專業(yè)課起著承上啟下的作用。該科的基本方法和理論大量應(yīng)用于計(jì)算機(jī)信息處 理的各個(gè)領(lǐng)域特別是通信，數(shù)字語音處理、數(shù)字圖象處理、數(shù)字信號(hào)分析等領(lǐng)域， 應(yīng)用更為廣泛。 概 述 本次課程設(shè)計(jì)應(yīng)用

3、 matlab 實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)的采樣與重構(gòu)仿真，了解 matlab 軟 件，學(xué)習(xí)應(yīng)用 matlab 軟件的仿真技術(shù)。它主要側(cè)重于某些理論知識(shí)的靈活運(yùn)用， 以及一些關(guān)鍵命令的掌握，理解，分析等。初步掌握線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，培養(yǎng) 獨(dú)立工作能力。 加深理解采樣與重構(gòu)的概念，掌握利用 matlab 分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)的方法和 掌握利用 matlab 實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)采用與重構(gòu)的方法。計(jì)算在臨界采樣、過采樣、欠 采樣三種不同條件下重構(gòu)信號(hào)的誤差，并由此總結(jié)采樣頻率對(duì)信號(hào)重構(gòu)誤差的影 響。 要做到以下基本要求： 1. 掌握利用 matlab 分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)的方法，增加對(duì)仿真軟件 matlab 的感 性認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)

4、該軟件的操作和使用方法。 2. 掌握利用 matlab 實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)采用與重構(gòu)的方法，加深理解采樣與重構(gòu) 的概念。 3 . 初步掌握線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，培養(yǎng)獨(dú)立工作能力。 2 4. 學(xué)習(xí) matlab 中信號(hào)表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調(diào)用，實(shí)現(xiàn)對(duì)常用連續(xù) 時(shí)間信號(hào)的可視化表示，加深對(duì)各種電信號(hào)的理解。 5. 加深理解采樣對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域特性的影響；驗(yàn)證信號(hào)與系統(tǒng)的基本概 念、基本理論，掌握信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法。 6. 加深對(duì)采樣定理的理解和掌握，以及對(duì)信號(hào)恢復(fù)的必要性；掌握對(duì)連續(xù)信 號(hào)在時(shí)域的采樣與重構(gòu)的方法。 設(shè)計(jì)原理 1.1 matlab 介紹 matlab（matrix laborat

5、ory）是1984年美國(guó)math works公司產(chǎn)品， matlab的推出得到了各個(gè)領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者的廣泛關(guān)注，并越來越多的應(yīng)用到我們的 學(xué)習(xí)生活中來，是目前通信工程上最廣泛應(yīng)用的軟件之一。matrix laboratory 意為“矩陣實(shí)驗(yàn)室” ，最初的matlab只是一個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算工具。但現(xiàn)在的matlab已經(jīng) 遠(yuǎn)不僅僅是一個(gè)“矩陣實(shí)驗(yàn)室” ，它已經(jīng)成為一個(gè)集概念設(shè)計(jì)、算法開發(fā)、建模仿 真，實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)于一體的集成環(huán)境，它擁有許多衍生子集工具。 matlab 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣 ，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué),工 程中常用的形式十分相似,故用 matlab 來解算問題要比用 c,fortran 等語言完 全

6、 相同的事情簡(jiǎn)捷得多.在新的版本中也加入 了對(duì) c,fortran,c+ ,java 的支持 .可以直接調(diào)用,用戶也可以將 自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲絤atlab 函數(shù)庫(kù)中方便自己以后調(diào)用。 1.2 連續(xù)時(shí)間信號(hào) 連續(xù)信號(hào)是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對(duì)于一切自變量的取值，除了 有若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)以外，信號(hào)都有確定的值與之對(duì)應(yīng)。嚴(yán)格來說，matlab 并不能 處理連續(xù)信號(hào)，而是用等時(shí)間間隔點(diǎn)的樣值來近似表示連續(xù)信號(hào)。當(dāng)取樣時(shí)間間 3 隔足夠小時(shí)，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號(hào)。 在一定條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)完全可以用該信號(hào)在等時(shí)間間隔上的瞬時(shí) 值來表示，并且可以用這些樣本值把信號(hào)完全恢復(fù)

7、過來。這樣，抽樣定理為連續(xù) 時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。通過觀察采樣信號(hào)的頻譜， 發(fā)現(xiàn)它只是原信號(hào)頻譜的線性重復(fù)搬移，只要給它乘以一個(gè)門函數(shù)，就可以在頻 域恢復(fù)原信號(hào)的頻譜，在時(shí)域是否也能恢復(fù)原信號(hào)時(shí)，利用頻域時(shí)域的對(duì)稱關(guān)系， 得到了信號(hào)。 1.3 采樣定理 模擬信號(hào)經(jīng)過 (a/d) 變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)的過程稱為采樣，信號(hào)采樣后其 頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個(gè)采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號(hào) 的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號(hào)中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采 樣定理。 時(shí)域采樣定理從采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)必需滿足兩個(gè)條件： (1) 必須是帶限信號(hào)，其頻譜函數(shù)在

8、 各處為零；（對(duì)信號(hào)的要 求，即只有帶限信號(hào)才能適用采樣定理。 ） (2) 取樣頻率不能過低，必須 2 （或 2） 。 （對(duì)取樣頻率的要 求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復(fù)原信號(hào)。 ） 如圖 1 所示，給出了信號(hào)采樣原理圖 圖 1 信號(hào)采樣原理圖 由圖 1 可見，其中，沖激采樣信號(hào)的表達(dá))()()(ttftf s ts )(t s t 4 式為： n st nttt s )()( 其傅立葉變換為，其中。設(shè)，分 n ss n)( s s t 2 )(jf)(jfs 別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得)(tf)(tfs n s s n sss njf t njf

9、jf)( 1 )(*)( 2 1 )( 若設(shè)是帶限信號(hào)，帶寬為， 經(jīng)過采樣后的頻譜就是將)(tf m )(tf)(jfs 在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍） 。)(jf, 0 2nsss s t1 因此，當(dāng)時(shí)，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時(shí)，頻譜發(fā)生混疊。 ms 2 ms 2 一個(gè)理想采樣器可以看成是一個(gè)載波為理想單位脈沖序列的幅值調(diào)制器，)(t t 即理想采樣器的輸出信號(hào)，是連續(xù)輸入信號(hào)調(diào)制在載波上的結(jié)果，)( * te)(te)(t t 如圖 2 所示。 圖 2 信號(hào)的采樣 用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述上述調(diào)制過程，則有 )()()( * ttete t 理想單位脈沖序列可以表示為 )(t t 0 )()

10、( n t nttt 5 其中是出現(xiàn)在時(shí)刻，強(qiáng)度為 1 的單位脈沖。由于)(ntt ntt 的數(shù)值僅在采樣瞬時(shí)才有意義，同時(shí)，假設(shè) 00)(tte 所以又可表示為 )( * te * 0 ( )() () n e te nttnt 1.4 信號(hào)重構(gòu) 設(shè)信號(hào)被采樣后形成的采樣信號(hào)為，信號(hào)的重構(gòu)是指由經(jīng)過)(tf)(tfs)(tfs 內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來信號(hào)的過程,又稱為信號(hào)恢復(fù)。)(tf 若設(shè)是帶限信號(hào)，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設(shè)采樣頻率)(tf m )(jfs ，則由式（9）知是以為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個(gè)頻率特性 ms 2)(jfs s （其中截止頻率滿足）的理想低通濾 c cs t jh

11、 0 )( c 2 s cm 波器與相乘，得到的頻譜即為原信號(hào)的頻譜。)(jfs)(jf 與之對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為 )()()(jhjfjf s )(*)()(tfthtf s 而 n ss n ss nttntfntttftf)()()()()( )()()( 1 tsatjhfth c c s 將及代入得)(th)(tfs n scs cs c c ss nttsantf t tsattftf)()()(*)()( 此式即為用求解的表達(dá)式，是利用 matlab 實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)的基)( s ntf)(tf 本關(guān)系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。)(tsa c )(te 6 例：設(shè)，其為： t

12、 t tsatf sin )()()(jf 10 1 )( jf 即的帶寬為，為了由的采樣信號(hào)不失真地重構(gòu)，)(tf1 m )(tf)(tfs)(tf 由時(shí)域采樣定理知采樣間隔，取（過采樣） 。利用 matlab m s t7 . 0 s t 的抽樣函數(shù)來表示，有。據(jù)此可知： t t tsinc )sin( )()(tsa)/()(tsinctsa n s c s cs c c ss nttsincntf t tsattftf)()()(*)()( 通過以上分析，得到如下的時(shí)域采樣定理：一個(gè)帶寬為wm 的帶限信號(hào) f(t)， 可唯一地由它的均勻取樣信號(hào) fs(nts)確定，其中，取樣間隔 ts

13、/wm, 該取樣 間隔又稱為奈奎斯特間隔。 根據(jù)時(shí)域卷積定理，求出信號(hào)重構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 式中的抽樣函數(shù) sa(wct)起著內(nèi)插函數(shù)的作用，信號(hào)的恢復(fù)可以視為將抽樣 函數(shù)進(jìn)行不同時(shí)刻移位后加權(quán)求和的結(jié)果，其加權(quán)的權(quán)值為采樣信號(hào)在相應(yīng)時(shí)刻 的定義值。利用 matlab 中的抽樣函數(shù)來表示 sa(t)，有 ，于是，信號(hào)重構(gòu)的內(nèi)插公式也可表 示為： 7 連續(xù)信號(hào)采樣及重構(gòu) 2.1 sa(t)的臨界采樣及重構(gòu) 2.1.1實(shí)現(xiàn)程序代碼 當(dāng)采樣頻率小于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為臨 ms 2 界采樣. sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)程序代碼； wm=1;%升余弦脈沖信號(hào)帶寬 wc=wm; %頻

14、率 ts=pi/wm; %周期 ws=2.4*pi/ts; %理想低通截止頻率 n=-100:100; %定義序列的長(zhǎng)度是201 nts=n*ts %采樣點(diǎn) f=sinc(nts/pi); %抽樣信號(hào) dt=0.005;t=-20:dt:20; fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t- nts*ones(1,length(t); %信號(hào)重建 t1=-20:0.5:20; f1=sinc(t1/pi); subplot(211); stem(t1,f1); 8 xlabel(kts); ylabel(f(kts); title(sa(t)

15、=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)); subplot(212); plot(t,fa) xlabel(t); ylabel(fa(t); title(由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t); grid; 2.1.22.1.2 程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析 程序分析： sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)sa(t) pi %圓周率 n=-170:170; %時(shí)域采樣點(diǎn) t=-45:dt:45 %產(chǎn)生一個(gè)時(shí)間采樣序列 fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t- nts*o

16、nes(1,length(t) %信號(hào)重構(gòu) sinc(t1/pi) %繪制 f1 的非的非零樣值向量 plot(t,fa) %繪制 fa 的圖形 stem(t1,f1) %繪制一個(gè)二維桿圖 根據(jù)程序其輸出圖如下： 9 圖3 的臨界采樣信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)及兩信號(hào)的絕對(duì)誤差圖)(tsa 運(yùn)行結(jié)果分析：為了比較由采樣信號(hào)恢復(fù)后的信號(hào)與原信號(hào)的誤差，可以計(jì) 算出兩信號(hào)的絕對(duì)誤差。當(dāng)t選取的數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。 2.2 sa(t)的過采樣及重構(gòu) 2.2.12.2.1 實(shí)現(xiàn)程序代碼實(shí)現(xiàn)程序代碼 當(dāng)采樣頻率大于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的 2 倍，即時(shí)，稱為 ms 2 過采樣. sa(t)的過采樣及重構(gòu)程序

17、代碼； wm=1; wc=1.1*wm; 10 ts=1.1*pi/wm; ws=2*pi/ts; n=-100:100; nts=n*ts f=sinc(nts/pi); dt=0.005;t=-10:dt:10; fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t- nts*ones(1,length(t); error=abs(fa-sinc(t/pi); t1=-10:0.5:10; f1=sinc(t1/pi); subplot(311); stem(t1,f1); xlabel(kts); ylabel(f(kts); title(sa

18、(t)=sinc(t/pi)的采樣信號(hào)); subplot(312); plot(t,fa) xlabel(t); ylabel(fa(t); title(由sa(t)=sinc(t/pi)的過采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t); grid; subplot(313); plot(t,error); xlabel(t); 11 ylabel(error(t); title(過采樣信號(hào)與原信號(hào)的誤差error(t); 2.2.22.2.2 程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析 程序分析： sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)sa(t) error=abs(fa-sinc(

19、t/pi); %求重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)誤差 f1=sinc(t1/pi); %f1 的非零樣值向量 xlabel(t) %橫坐標(biāo)軸 ylabel(fa(t) %縱坐標(biāo)軸 title(由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)%書寫圖名 根據(jù)程序其輸出圖如下： 圖4 的過采樣信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)及兩信號(hào)的絕對(duì)誤差圖)(tsa 運(yùn)行分析：將原始信號(hào)分別修改為抽樣函數(shù)sa(t)、正弦信號(hào)sin(20*pi*t) +cos(20*pi*t)、指數(shù)信號(hào)e-2tu(t)時(shí)，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對(duì) 12 應(yīng)采樣信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。 2.3 sa(t)的欠

20、采樣及重構(gòu) 2.3.12.3.1 實(shí)現(xiàn)程序代碼實(shí)現(xiàn)程序代碼 當(dāng)采樣頻率小于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為過 ms 2 采樣。利用頻域?yàn)V波的方法修改實(shí)驗(yàn)中的部分程序，完成對(duì)采樣信號(hào)的重構(gòu)。 sa(t)的欠采樣及重構(gòu)程序代碼； wm=1; wc=wm; ts=2.5 *pi/wm; ws=2*pi/ts; n=-100:100; nts=n*ts f=sinc(nts/pi); dt=0.005;t=-20:dt:20; fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t- nts*ones(1,length(t); error=abs(f

21、a-sinc(t/pi); t1=-20:0.5:20 f1=sinc(t1/pi); subplot(311); stem(t1,f1); xlabel(kts); ylabel(f(kts); title(sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號(hào)sa(t); 13 subplot(312); plot(t,fa) xlabel(t); ylabel(fa(t); title(由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t); grid; subplot(313); plot(t,error); xlabel(t); ylabel(error(t); title(欠采樣信號(hào)與原

22、信號(hào)的誤差error(t); 2.3.2 程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析 程序分析： sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)sa(t) error=abs(fa-sinc(t/pi); %求重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)誤差 f1=sinc(t1/pi); %f1的非零樣值向量 根據(jù)程序運(yùn)行如下圖所示： 14 圖5 的欠采樣信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)及兩信號(hào)的絕對(duì)誤差圖)(tsa 誤差分析：絕對(duì)誤差 error 已大為增加，其原因是因采樣信號(hào)的頻譜混疊， 使得在區(qū)域內(nèi)的頻譜相互“干擾”所致。 c 2.4 程序中的常見函數(shù)和功能 程序中的常見函數(shù)和功能:abs( )求絕對(duì)值;sinc( ) sa(t)函數(shù);ones( )全1 矩陣;plot( )繪圖;subplot( ) 繪制子圖;stem( ) 繪制離散序列數(shù)據(jù)圖 . 致謝致謝 在這次課程設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)過程中，我得到了許多人的幫助。首先我要感謝我的 老師在課程設(shè)計(jì)上給予我的指導(dǎo)、提供給我的支持和幫助，這是我能順利完成這 次報(bào)告的主要原因，更重要的是老師幫我解決了許多技術(shù)上的難題，讓我能把設(shè) 計(jì)做得更加完善。在此期間，我不僅學(xué)到了許多新的知識(shí)，而且也開闊了視野， 15 提高了自己的設(shè)計(jì)能力。其次，我要感謝幫助過我的同學(xué)，他們也為我解決了不 少我不太明白的設(shè)計(jì)的難題。同時(shí)也感謝學(xué)院為我提供良好的做畢業(yè)設(shè)計(jì)的環(huán)境。