熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理_第四版_汪志誠(chéng)_高等教育出版社_答案(免費(fèi)下載) (5)

1、第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.2 證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得：如果，試求物態(tài)方程。解：以為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為其全微分為 （1）全式除以，有根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)的定義，可將上式改寫為 （2）上式是以為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有 （3）若，式（3）可表為 （4）選擇圖示的積分路線，從積分到，再積分到（），相應(yīng)地體積由最終變到，有即（常量），或 （5）式（5）就是由所給求得的物態(tài)

2、方程。 確定常量c需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。1.3 在和1下，測(cè)得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為可近似看作常量，今使銅塊加熱至。問(wèn)：（a）壓強(qiáng)要增加多少才能使銅塊的體積維持不變？（b）若壓強(qiáng)增加100，銅塊的體積改變多少？解：（a）根據(jù)1.2題式（2），有 （1）上式給出，在鄰近的兩個(gè)平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差，溫度差和壓強(qiáng)差之間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，與的關(guān)系為 （2）在和可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得 （3）將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過(guò)程后，系統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿足式（3）。 但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只要初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就滿足式

3、（3）。 這是因?yàn)?，平衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的歷史無(wú)關(guān)。 本題討論的銅塊加熱的實(shí)際過(guò)程一般不會(huì)是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。 在加熱過(guò)程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿足式（3）。將所給數(shù)據(jù)代入，可得因此，將銅塊由加熱到，要使銅塊體積保持不變，壓強(qiáng)要增強(qiáng)（b）1.2題式（4）可改寫為 （4）將所給數(shù)據(jù)代入，有因此，將銅塊由加熱至，壓強(qiáng)由增加，銅塊體積將增加原體積的倍。 1.4 簡(jiǎn)單固體和液體的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)數(shù)值都很小，在一定溫度范圍內(nèi)可以把和看作常量. 試證明簡(jiǎn)單固體和液體的物態(tài)方程

4、可近似為 解: 以為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為根據(jù)習(xí)題1.2式（2），有 （1）將上式沿習(xí)題1.2圖所示的路線求線積分，在和可以看作常量的情形下，有 （2）或 （3）考慮到和的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開，準(zhǔn)確到和的線性項(xiàng)，有 （4）如果取，即有 （5）1.5 描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度，力學(xué)參量是張力j，物態(tài)方程是實(shí)驗(yàn)通常在1下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為等溫楊氏模量定義為其中是金屬絲的截面積，一般來(lái)說(shuō)，和是t的函數(shù)，對(duì)j僅有微弱的依賴關(guān)系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由降至?xí)r，其張力的增加為解：由物態(tài)方程 （1）知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系： （

5、2）所以，有（3） 積分得 （4）與1.3題類似，上述結(jié)果不限于保持金屬絲長(zhǎng)度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過(guò)程，只要金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差就滿足式（4），與經(jīng)歷的過(guò)程無(wú)關(guān)。1.6一理想彈性線的物態(tài)方程為其中是長(zhǎng)度，是張力j為零時(shí)的l值，它只是溫度t的函數(shù)，b是常量. 試證明：（a）等溫?fù)P氏模量為在張力為零時(shí)，其中a是彈性線的截面面積。（b）線脹系數(shù)為其中（c）上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設(shè)，試計(jì)算當(dāng)分別為和時(shí)的值，并畫出對(duì)的曲線.解:（a）根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為 （1）由此可得等溫楊氏模量為（2） 張力為零時(shí)，（b）線脹系數(shù)的定義為由鏈?zhǔn)疥P(guān)系知 （3）而所以（4） （c）根據(jù)題給的數(shù)

6、據(jù)，對(duì)的曲線分別如圖1-2（a），（b），（c）所示。1.7 抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)時(shí)將活門關(guān)上，試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒(méi)有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能與原來(lái)在大氣中的內(nèi)能之差為，其中是它原來(lái)在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能與其原來(lái)在大氣中的內(nèi)能由式（1.5.3） （1）確定。由于過(guò)程進(jìn)行得很迅速，過(guò)程中系統(tǒng)與外界沒(méi)有熱量交換， 過(guò)程中外界對(duì)系統(tǒng)所做的功可以分為和兩部分來(lái)考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由變?yōu)榱恪Ｓ捎谛∠缓苄?，在將氣體壓入小匣的過(guò)程中大氣壓強(qiáng)可以認(rèn)為

7、沒(méi)有變化，即過(guò)程是等壓的（但不是準(zhǔn)靜態(tài)的）。過(guò)程中大氣對(duì)系統(tǒng)所做的功為另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過(guò)程中不受外界阻力，與外界也就沒(méi)有功交換，則因此式（1）可表為 （2）如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（1.3.11）和（1.7.10），有 （3） （4）式中是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有 （5）活門是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到時(shí)關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強(qiáng)也可看作，其物態(tài)方程為 （6）與式（3）比較，知 （7）1.8 滿足的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量為解：根據(jù)式（1.6.1），多方過(guò)程中的熱容量 （1）對(duì)于理想氣體，內(nèi)能u只是溫度t的函數(shù)

8、，所以 （2）將多方過(guò)程的過(guò)程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9 試證明：理想氣體在某一過(guò)程中的熱容量如果是常數(shù)，該過(guò)程一定是多方過(guò)程，多方指數(shù)。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有 （1）對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程有對(duì)理想氣體有氣體在過(guò)程中吸收的熱量為因此式（1）可表為 （2）用理想氣體的物態(tài)方程除上式，并注意可得 （3）將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有 （4）式（3）與式（4）聯(lián)立，消去，有 （5）令，可將式（5）表為 （6）如果和都是常量，將上

9、式積分即得（常量）。 （7）式（7）表明，過(guò)程是多方過(guò)程。1.10 聲波在氣體中的傳播速度為假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量，試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓可由聲速及給出：其中為常量。解：根據(jù)式（1.8.9），聲速的平方為 （1）其中v是單位質(zhì)量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為式中是氣體的質(zhì)量，是氣體的摩爾質(zhì)量。 對(duì)于單位質(zhì)量的氣體，有 （2）代入式（1）得 （3）以表示理想氣體的比內(nèi)能和比焓（單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓）。 由式（1.7.10）（1.7.12）知 （4）將式（3）代入，即有 （5）式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體，測(cè)定氣體中的聲速和即可確定氣體的比內(nèi)能和比焓。1.

10、11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對(duì)流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對(duì)流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時(shí)膨脹，下降時(shí)收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過(guò)程可以認(rèn)為是絕熱過(guò)程，試計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率，并給出數(shù)值結(jié)果。解：取軸沿豎直方向（向上）。以和分別表示在豎直高度為和處的大氣壓強(qiáng)。 二者之關(guān)等于兩個(gè)高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即 （1）式中是高度為處的大氣密度，是重力加速度。 將展開，有代入式（1），得 （2）式（2）給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。以表大氣的平均摩爾質(zhì)量。 在高度為處，大氣的摩爾體積為，則物態(tài)方程為 （3）是豎直高度為處的溫度。 代入式（2），

11、消去得 （4）由式（1.8.6）易得氣體在絕熱過(guò)程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為 （5）綜合式（4）和式（5），有（6）大氣的（大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質(zhì)量為，代入式（6）得 （7）式（7）表明，每升高1km，溫度降低10k。 這結(jié)果是粗略的。由于各種沒(méi)有考慮的因素，實(shí)際每升高1km，大氣溫度降低6k左右。1.12 假設(shè)理想氣體的是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)，其表達(dá)式為解：根據(jù)式（1.8.1），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中滿足 （1）用物態(tài)方程除上式，第一項(xiàng)用除，第二項(xiàng)用除，可得 （2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），可將式（2）改

12、定為 （3）將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義 （4）可得（常量）， （5）或（常量）。 （6）式（6）給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中t和v的關(guān)系。1.13 利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)為溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為解：在是溫度的函數(shù)的情形下，1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有 （1） （2） （3）根據(jù)1.13題式（6），對(duì)于1.9中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程（二）和（四），有 （4） （5）從這兩個(gè)方程消去和，得 （6）故 （7）所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為 （8）1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不

13、能相交。解：假設(shè)在圖中兩條絕熱線交于點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（因?yàn)榈葴鼐€的斜率小于絕熱線的斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過(guò)程中，系統(tǒng)在等溫過(guò)程中從外界吸取熱量，而在循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做功，其數(shù)值等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有。這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α耍@違背了熱力學(xué)第二定律的開爾文說(shuō)法，是不可能的。 因此兩條絕熱線不可能相交。1.15 熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量，在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，試根

14、據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò)解：根據(jù)克勞修斯不等式（式（1.13.4），有 （1）式中是熱機(jī)從溫度為的熱源吸取的熱量（吸熱為正，放熱為負(fù)）。 將熱量重新定義，可將式（1）改寫為 （2）式中是熱機(jī)從熱源吸取的熱量，是熱機(jī)在熱源放出的熱量，恒正。 將式（2）改寫為 （3）假設(shè)熱機(jī)從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，必有故由式（3）得 （4）定義為熱機(jī)在過(guò)程中吸取的總熱量，為熱機(jī)放出的總熱量，則式（4）可表為 （5）或 （6）根據(jù)熱力學(xué)第一定律，熱機(jī)在循環(huán)過(guò)程中所做的功為熱機(jī)的效率為 （7）1.16 理想氣體分別經(jīng)等壓過(guò)程和等容過(guò)程，溫度由升

15、至。 假設(shè)是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解：根據(jù)式（1.15.8），理想氣體的熵函數(shù)可表達(dá)為 （1）在等壓過(guò)程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為 （2）根據(jù)式（1.15.8），理想氣體的熵函數(shù)也可表達(dá)為 （3）在等容過(guò)程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為 （4）所以 （5）1.17 溫度為的1kg水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達(dá)到。試分別求水和熱源的熵變以及整個(gè)系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從升至？已知水的比熱容為解：的水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為，這一過(guò)程是不可逆過(guò)程。為求水、熱源和整個(gè)系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想一個(gè)可逆過(guò)程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來(lái)不可逆過(guò)程中的

16、同樣變化，通過(guò)設(shè)想的可逆過(guò)程來(lái)求不可逆過(guò)程前后的熵變。為求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無(wú)窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由升至。在這可逆過(guò)程中,水的熵變?yōu)?（1）水從升溫至所吸收的總熱量為為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這可逆過(guò)程中，熱源的熵變?yōu)?（2）由于熱源的變化相同，式（2）給出的熵變也就是原來(lái)的不可逆過(guò)程中熱源的熵變。則整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?） 為使水溫從升至而參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)令水與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變?nèi)杂墒剑?）給出。這一系列熱源的熵變之和為 （4）參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)?（5）1.

17、18 10a的電流通過(guò)一個(gè)的電阻器，歷時(shí)1s。（a）若電阻器保持為室溫，試求電阻器的熵增加值。（b）若電阻器被一絕熱殼包裝起來(lái)，其初溫為，電阻器的質(zhì)量為10g，比熱容為 問(wèn)電阻器的熵增加值為多少？解：（a）以為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過(guò)程是在大氣壓下進(jìn)行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。（b）如果電阻器被絕熱殼包裝起來(lái)，電流產(chǎn)生的焦耳熱將全部被電阻器吸收而使其溫度由升為，所以有故電阻器的熵變可參照1.17例二的方法求出，為1.19 均勻桿的溫度一端為，另一端為，試計(jì)算達(dá)到均勻溫度后的熵增。解：以l表示桿的長(zhǎng)度。桿的初始狀態(tài)是端溫度為，端溫度為，溫度梯度為

18、（設(shè)）。 這是一個(gè)非平衡狀態(tài)。通過(guò)均勻桿中的熱傳導(dǎo)過(guò)程，最終達(dá)到具有均勻溫度的平衡狀態(tài)。為求這一過(guò)程的熵變，我們將桿分為長(zhǎng)度為的許多小段，如圖所示。位于到的小段，初溫為 （1）這小段由初溫t變到終溫后的熵增加值為（2）其中是均勻桿單位長(zhǎng)度的定壓熱容量。根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為 （3）式中是桿的定壓熱容量。1.20 一物質(zhì)固態(tài)的摩爾熱量為，液態(tài)的摩爾熱容量為. 假設(shè)和都可看作常量. 在某一壓強(qiáng)下，該物質(zhì)的熔點(diǎn)為，相變潛熱為. 求在溫度為時(shí)，過(guò)冷液體與同溫度下固體的摩爾熵差. 假設(shè)過(guò)冷液體的摩爾熱容量亦為. 解: 我們用熵函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算.以為狀態(tài)參量. 在討論固定壓強(qiáng)下過(guò)冷液體

19、與固體的熵差時(shí)不必考慮壓強(qiáng)參量的變化.以a態(tài)表示溫度為的固態(tài)，b態(tài)表示在熔點(diǎn)的固態(tài). b, a兩態(tài)的摩爾熵差為（略去摩爾熵的下標(biāo)不寫） （1）以c態(tài)表示在熔點(diǎn)的液相，c，b兩態(tài)的摩爾熵差為 （2）以d態(tài)表示溫度為的過(guò)冷液態(tài)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為 （3）熵是態(tài)函數(shù)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為 （4）1.21 物體的初溫，高于熱源的溫度，有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機(jī)從物體吸取的熱量為q，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為其中是物體的熵減少量。解：以和分別表示物體、熱機(jī)和熱源在過(guò)程前后的熵變。由熵的相加性知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)橛捎谡麄€(gè)系統(tǒng)與外界是絕熱的，

20、熵增加原理要求 （1）以分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?（2）熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過(guò)程，經(jīng)循環(huán)過(guò)程后熱機(jī)回到初始狀態(tài)，熵變?yōu)榱悖?（3）以表示熱機(jī)從物體吸取的熱量，表示熱機(jī)在熱源放出的熱量，表示熱機(jī)對(duì)外所做的功。 根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有所以熱源的熵變?yōu)?（4）將式（2）（4）代入式（1），即有 （5）上式取等號(hào)時(shí)，熱機(jī)輸出的功最大，故 （6）式（6）相應(yīng)于所經(jīng)歷的過(guò)程是可逆過(guò)程。1.22 有兩個(gè)相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為。今令一制冷機(jī)在這兩個(gè)物體間工作，使其中一個(gè)物體的溫度降低到為止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過(guò)程所需的最小功為解

21、： 制冷機(jī)在具有相同的初始溫度的兩個(gè)物體之間工作，將熱量從物體2送到物體1,使物體2的溫度降至為止。以表示物體1的終態(tài)溫度，表示物體的定壓熱容量，則物體1吸取的熱量為 （1）物體2放出的熱量為 （2）經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為 （3）由此可知，對(duì)于給定的和，愈低所需外界的功愈小。 用和分別表示過(guò)程終了后物體1，物體2和制冷機(jī)的熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)?（4）顯然因此熵增加原理要求 （5）或 （6）對(duì)于給定的和，最低的為代入（3）式即有 （7）式（7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個(gè)過(guò)程是可逆過(guò)程。1.23 簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量。 如果以為獨(dú)立參量，可以以縱坐標(biāo)表示溫度，橫

22、坐標(biāo)表示熵，構(gòu)成圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)相對(duì)應(yīng)，一條曲線與一個(gè)可逆過(guò)程相對(duì)應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線，并利用圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。解： 可逆卡諾循環(huán)包含兩個(gè)可逆等溫過(guò)程和兩個(gè)可逆絕熱過(guò)程。 在圖上，等溫線是平行于t軸的直線。 可逆絕熱過(guò)程是等熵過(guò)程，因此在圖上絕熱線是平行于s軸的直線。 圖1-5在圖上畫出了可逆卡諾循環(huán)的四條直線。（一）等溫膨脹過(guò)程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過(guò)程（溫度為）由狀態(tài)到達(dá)狀態(tài)。 由于工作物質(zhì)在過(guò)程中吸收熱量，熵由升為。吸收的熱量為 （1）等于直線下方的面積。（二）絕熱膨脹過(guò)程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱膨脹過(guò)程到達(dá)狀態(tài)。過(guò)程中工作物質(zhì)內(nèi)能減少并對(duì)外做功，其溫度由

23、下降為，熵保持為不變。（三）等溫壓縮過(guò)程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)等溫壓縮過(guò)程（溫度為）到達(dá)狀態(tài)。工作物質(zhì)在過(guò)程中放出熱量，熵由變?yōu)?，放出的熱量?（2）等于直線下方的面積。（四）絕熱壓縮過(guò)程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱壓縮過(guò)程回到狀態(tài)。溫度由升為，熵保持為不變。在循環(huán)過(guò)程中工作物質(zhì)所做的功為 （3）等于矩形所包圍的面積?？赡婵ㄖZ熱機(jī)的效率為（4） 上面的討論顯示，應(yīng)用圖計(jì)算（可逆）卡諾循環(huán)的效率是非常方便的。實(shí)際上圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（1.14.4） （5）系統(tǒng)在可逆過(guò)程中吸收的熱量由積分 （6）給出。如果工作物質(zhì)經(jīng)歷了如圖中的（可逆）循環(huán)過(guò)程，則在過(guò)程中工作物質(zhì)吸收的熱量等于面積，在過(guò)程中工作物質(zhì)

24、放出的熱量等于面積，工作物質(zhì)所做的功等于閉合曲線所包的面積。 由此可見(jiàn)（可逆）循環(huán)過(guò)程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接從圖中的面積讀出。 在熱工計(jì)算中圖被廣泛使用。 補(bǔ)充題1 1mol理想氣體，在的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強(qiáng)由20準(zhǔn)靜態(tài)地降到1，求氣體所作的功和所吸取的熱量。解：將氣體的膨脹過(guò)程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。根據(jù)式（1.4.2），在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中氣體體積由膨脹到，外界對(duì)氣體所做的功為氣體所做的功是上式的負(fù)值，將題給數(shù)據(jù)代入，得在等溫過(guò)程中理想氣體的內(nèi)能不變，即根據(jù)熱力學(xué)第一定律（式（1.5.3），氣體在過(guò)程中吸收的熱量為補(bǔ)充題2 在下，壓強(qiáng)在0至1000之間，測(cè)得水的體積為如果保持溫度不變，將1

25、mol的水從1加壓至1000，求外界所作的功。解：將題中給出的體積與壓強(qiáng)關(guān)系記為 （1）由此易得 （2）保持溫度不變，將1mol的水由1加壓至1000，外界所做的功為在上述計(jì)算中我們已將過(guò)程近擬看作準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。補(bǔ)充題3 承前1.6題，使彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中長(zhǎng)度由壓縮為，試計(jì)算外界所作的功。解：在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中彈性體長(zhǎng)度有dl的改變時(shí)，外界所做的功是 （1）將物態(tài)方程代入上式，有 （2）在等溫過(guò)程中是常量，所以在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中將彈性體長(zhǎng)度由壓縮為時(shí)，外界所做的功為（3）值得注意，不論將彈性體拉長(zhǎng)還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做的功都是正值。補(bǔ)充題4 在和1下，空氣的密度為,空氣的定

26、壓比熱容。今有的空氣，試計(jì)算：（i）若維持體積不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（ii）若維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（iii）若容器有裂縫，外界壓強(qiáng)為1，使空氣由緩慢地加熱至所需的熱量。解：（a）由題給空氣密度可以算得空氣的質(zhì)量為定容比熱容可由所給定壓比熱容算出維持體積不變，將空氣由加熱至所需熱量為（b）維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需熱量為（c）若容器有裂縫，在加熱過(guò)程中氣體將從裂縫漏出，使容器內(nèi)空氣質(zhì)量發(fā)生變化。根據(jù)理想氣體的物態(tài)方程為空氣的平均摩爾質(zhì)量，在壓強(qiáng)和體積不變的情形下，容器內(nèi)氣體的質(zhì)量與溫度成反比。 以表示氣體在初態(tài)的質(zhì)量和溫度，表示溫度為t時(shí)氣體的質(zhì)量，有所以在過(guò)

27、程（c）中所需的熱量為將所給數(shù)據(jù)代入，得補(bǔ)充題5 熱泵的作用是通過(guò)一個(gè)循環(huán)過(guò)程將熱量從溫度較低的物體傳送到溫度較高的物體上去。 如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過(guò)程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所做的功的比值。試求熱泵的效率。 如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何？解：根據(jù)卡諾定理，通過(guò)逆卡諾循環(huán)從溫度為的低溫?zé)嵩次崃?，將熱量送到溫度為的高溫?zé)嵩慈?，外界必須做功因此如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的過(guò)程，其效率為（1）式中第三步用了的結(jié)果（式（1.12.7）和（1.12.8）。 由式（1）知，效率恒大于1。如果與相差不大，可以相當(dāng)高。不過(guò)由于設(shè)備的價(jià)格和運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際

28、效率，這種方法實(shí)際上很少使用。將功直接轉(zhuǎn)化為熱量（如電熱器），效率為1。補(bǔ)充題6 根據(jù)熵增加原理證明第二定律的開氏表述：從單一熱源吸取熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變化是不可能的。解：如果熱力學(xué)第二定律的開爾文表述不成立，就可以令一熱機(jī)在循環(huán)過(guò)程中從溫度為的單一熱源吸取熱量，將之全部轉(zhuǎn)化為機(jī)械功而輸出。熱機(jī)與熱源合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)絕熱系統(tǒng)。在循環(huán)過(guò)程中，熱源的熵變?yōu)?，而熱機(jī)的熵不變，這樣絕熱系統(tǒng)的熵就減少了，這違背了熵增加原理，是不可能的。第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.1已知在體積保持不變時(shí)，一氣體的壓強(qiáng)正比于其熱力學(xué)溫度. 試證明在溫度保質(zhì)不變時(shí)，該氣體的熵隨體積而增加.解：根據(jù)題設(shè)，氣

29、體的壓強(qiáng)可表為 （1）式中是體積的函數(shù). 由自由能的全微分得麥?zhǔn)详P(guān)系 （2）將式（1）代入，有 （3）由于，故有. 這意味著，在溫度保持不變時(shí)，該氣體的熵隨體積而增加.2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：試證明其內(nèi)能與體積無(wú)關(guān).解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式： （1）故有 （2）但根據(jù)式（2.2.7），有 （3）所以 （4）這就是說(shuō)，如果物質(zhì)具有形式為（1）的物態(tài)方程，則物質(zhì)的內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)，只是溫度t的函數(shù).2.3求證：解：焓的全微分為 （1）令，得 （2）內(nèi)能的全微分為 （3）令，得 （4）2.4已知，求證解：對(duì)復(fù)合函數(shù) （1）求偏導(dǎo)數(shù)，有 （2）如果，即有 （3）式（2）也可

30、以用雅可比行列式證明： （2）2.5試證明一個(gè)均勻物體的在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減.解：熱力學(xué)用偏導(dǎo)數(shù)描述等壓過(guò)程中的熵隨體積的變化率，用描述等壓下溫度隨體積的變化率. 為求出這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對(duì)復(fù)合函數(shù) （1）求偏導(dǎo)數(shù)，有 （2）因?yàn)椋缘恼?fù)取決于的正負(fù).式（2）也可以用雅可經(jīng)行列式證明： （2）2.6試證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過(guò)程中的溫度降落. 解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過(guò)程和節(jié)流過(guò)程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)和描述. 熵函數(shù)的全微分為在可逆絕熱過(guò)程中，故有 （1）最后一步用了麥?zhǔn)详P(guān)系式（2.2.4）和式（2.2

31、.8）.焓的全微分為在節(jié)流過(guò)程中，故有 （2）最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 將式（1）和式（2）相減，得 （3）所以在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在絕熱膨脹中的溫度降落大于節(jié)流過(guò)程中的溫度降落. 這兩個(gè)過(guò)程都被用來(lái)冷卻和液化氣體.由于絕熱膨脹過(guò)程中使用的膨脹機(jī)有移動(dòng)的部分，低溫下移動(dòng)部分的潤(rùn)滑技術(shù)是十分困難的問(wèn)題，實(shí)際上節(jié)流過(guò)程更為常用. 但是用節(jié)流過(guò)程降溫，氣體的初溫必須低于反轉(zhuǎn)溫度. 卡皮查（1934年）將絕熱膨脹和節(jié)流過(guò)程結(jié)合起來(lái)，先用絕熱膨脹過(guò)程使氦降溫到反轉(zhuǎn)溫度以下，再用節(jié)流過(guò)程將氦液化.2.7實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，一氣體的壓強(qiáng)與體積v的乘積以及內(nèi)能u都只是溫度的函數(shù)，即試根據(jù)熱

32、力學(xué)理論，討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式.解：根據(jù)題設(shè)，氣體具有下述特性： （1） （2）由式（2.2.7）和式（2），有 （3）而由式（1）可得 （4）將式（4）代入式（3），有或 （5）積分得或 （6）式中c是常量. 因此，如果氣體具有式（1），（2）所表達(dá)的特性，由熱力學(xué)理論知其物態(tài)方程必具有式（6）的形式. 確定常量c需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.2.8證明并由此導(dǎo)出根據(jù)以上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容呈只是溫度t的函數(shù).解：式（2.2.5）給出 （1）以t，v為狀態(tài)參量，將上式求對(duì)v的偏導(dǎo)數(shù)，有 （2）其中第二步交換了偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)次序，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系（2.2.3）.

33、由理想氣體的物態(tài)方程知，在v不變時(shí)，是t的線性函數(shù)，即所以 這意味著，理想氣體的定容熱容量只是溫度t的函數(shù). 在恒定溫度下將式（2）積分，得 （3）式（3）表明，只要測(cè)得系統(tǒng)在體積為時(shí)的定容熱容量，任意體積下的定容熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計(jì)算出來(lái). 同理，式（2.2.8）給出 （4）以為狀態(tài)參量，將上式再求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，有 （5）其中第二步交換了求偏導(dǎo)數(shù)的次序，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系（2.2.4）. 由理想氣體的物態(tài)方程知，在不變時(shí)是的線性函數(shù)，即所以這意味著理想氣體的定壓熱容量也只是溫度t的函數(shù). 在恒定溫度下將式（5）積分，得式（6）表明，只要測(cè)得系統(tǒng)在壓強(qiáng)為時(shí)的定壓熱容量，任意壓強(qiáng)下的定壓熱容

34、量都可根據(jù)物態(tài)方程計(jì)算出來(lái).2.9證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度t的函數(shù)，與比體積無(wú)關(guān).解：根據(jù)習(xí)題2.8式（2） （1）范氏方程（式（1.3.12）可以表為 （2）由于在v不變時(shí)范氏方程的p是t的線性函數(shù)，所以范氏氣體的定容熱容量只是t的函數(shù)，與比體積無(wú)關(guān).不僅如此，根據(jù)2.8題式（3） （3）我們知道，時(shí)范氏氣體趨于理想氣體. 令上式的，式中的就是理想氣體的熱容量. 由此可知，范氏氣體和理想氣體的定容熱容量是相同的.順便提及，在壓強(qiáng)不變時(shí)范氏方程的體積與溫度不呈線性關(guān)系. 根據(jù)2.8題式（5） （2）這意味著范氏氣體的定壓熱容量是的函數(shù).2.10證明理想氣體的摩爾自由能可以表為解：式（2

35、.4.13）和（2.4.14）給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數(shù)作為其自然變量的函數(shù)的積分表達(dá)式. 本題要求出理想氣體的摩爾自由能作為其自然變量的函數(shù)的積分表達(dá)式. 根據(jù)自由能的定義（式（1.18.3），摩爾自由能為 （1）其中和是摩爾內(nèi)能和摩爾熵. 根據(jù)式（1.7.4）和（1.15.2），理想氣體的摩爾內(nèi)能和摩爾熵為 （2） （3）所以 （4）利用分部積分公式令可將式（4）右方頭兩項(xiàng)合并而將式（4）改寫為 （5）2.11求范氏氣體的特性函數(shù)，并導(dǎo)出其他的熱力學(xué)函數(shù). 解：考慮1mol的范氏氣體. 根據(jù)自由能全微分的表達(dá)式（2.1.3），摩爾自由能的全微分為 （1）故 （2）積分得 （3）由于式（

36、2）左方是偏導(dǎo)數(shù)，其積分可以含有溫度的任意函數(shù). 我們利用時(shí)范氏氣體趨于理想氣體的極限條件定出函數(shù). 根據(jù)習(xí)題2.11式（4），理想氣體的摩爾自由能為 （4）將式（3）在時(shí)的極限與式（4）加以比較，知 （5）所以范氏氣體的摩爾自由能為 （6）式（6）的是特性函數(shù)范氏氣體的摩爾熵為 （7）摩爾內(nèi)能為 （8）2.12一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力與其伸長(zhǎng)成正比，即，比例系數(shù)是溫度的函數(shù). 今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能，熵和內(nèi)能的表達(dá)式分別為解：在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中，對(duì)彈簧施加的外力與彈簧的恢復(fù)力大小相等，方向相反. 當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度有的改變時(shí)，外力所做的功為 （1）根據(jù)式（1.14.7），彈簧的熱力學(xué)基本

37、方程為 （2）彈簧的自由能定義為其全微分為將胡克定律代入，有 （3）因此在固定溫度下將上式積分，得 （4）其中是溫度為，伸長(zhǎng)為零時(shí)彈簧的自由能.彈簧的熵為 （5）彈簧的內(nèi)能為 （6）在力學(xué)中通常將彈簧的勢(shì)能記為沒(méi)有考慮是溫度的函數(shù). 根據(jù)熱力學(xué)，是在等溫過(guò)程中外界所做的功，是自由能.2.13x射線衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，橡皮帶未被拉緊時(shí)具有無(wú)定形結(jié)構(gòu)；當(dāng)受張力而被拉伸時(shí)，具有晶形結(jié)構(gòu). 這一事實(shí)表明，橡皮帶具有大的分子鏈.（a）試討論橡皮帶在等溫過(guò)程中被拉伸時(shí)，它的熵是增加還是減少；（b）試證明它的膨脹系數(shù)是負(fù)的.解：（a）熵是系統(tǒng)無(wú)序程度的量度.橡皮帶經(jīng)等溫拉伸過(guò)程后由無(wú)定形結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榫谓Y(jié)構(gòu)，說(shuō)明過(guò)

38、程后其無(wú)序度減少，即熵減少了，所以有 （1）（b）由橡皮帶自由能的全微分可得麥?zhǔn)详P(guān)系 （2）綜合式（1）和式（2），知 （3）由橡皮帶的物態(tài)方程知偏導(dǎo)數(shù)間存在鏈?zhǔn)疥P(guān)系即 （4）在溫度不變時(shí)橡皮帶隨張力而伸長(zhǎng)說(shuō)明 （5）綜合式（3）-（5）知所以橡皮帶的膨脹系數(shù)是負(fù)的，即 （6）2.14假設(shè)太陽(yáng)是黑體，根據(jù)下列數(shù)據(jù)求太陽(yáng)表面的溫度；單位時(shí)間內(nèi)投射到地球大氣層外單位面積上的太陽(yáng)輻射能量為（該值稱為太陽(yáng)常量），太陽(yáng)的半徑為，太陽(yáng)與地球的平均距離為.解：以表示太陽(yáng)的半徑. 頂點(diǎn)在球心的立體角在太陽(yáng)表面所張的面積為. 假設(shè)太陽(yáng)是黑體，根據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律（式（2.6.8），單位時(shí)間內(nèi)在立體角內(nèi)輻射的

39、太陽(yáng)輻射能量為 （1）單位時(shí)間內(nèi)，在以太陽(yáng)為中心，太陽(yáng)與地球的平均距離為半徑的球面上接受到的在立體角內(nèi)輻射的太陽(yáng)輻射能量為令兩式相等，即得 （3）將和的數(shù)值代入，得2.15計(jì)算熱輻射在等溫過(guò)程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量.解：根據(jù)式（1.14.3），在可逆等溫過(guò)程中系統(tǒng)吸收的熱量為 （1）式（2.6.4）給出了熱輻射的熵函數(shù)表達(dá)式 （2）所以熱輻射在可逆等溫過(guò)程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量為 （3）2.16試討論以平衡輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)，計(jì)算其效率.解：根據(jù)式（2.6.1）和（2.6.3），平衡輻射的壓強(qiáng)可表為 （1）因此對(duì)于平衡輻射等溫過(guò)程也是等壓過(guò)程. 式（2.6.5）給出了平衡輻射在可

40、逆絕熱過(guò)程（等熵過(guò)程）中溫度t與體積v的關(guān)系 （2）將式（1）與式（2）聯(lián)立，消去溫度t，可得平衡輻射在可逆絕熱過(guò)程中壓強(qiáng)與體積的關(guān)系（常量）. （3）下圖是平衡輻射可逆卡諾循環(huán)的圖，其中等溫線和絕熱線的方程分別為式（1）和式（3）.下圖是相應(yīng)的圖. 計(jì)算效率時(shí)應(yīng)用圖更為方便.在由狀態(tài)等溫（溫度為）膨脹至狀態(tài)的過(guò)程中，平衡輻射吸收的熱量為 （4）在由狀態(tài)等溫（溫度為）壓縮為狀態(tài)的過(guò)程中，平衡輻射放出的熱量為 （5）循環(huán)過(guò)程的效率為 （6） 2.17如圖所示，電介質(zhì)的介電常量與溫度有關(guān). 試求電路為閉路時(shí)電介質(zhì)的熱容量與充電后再令電路斷開后的熱容量之差.解：根據(jù)式（1.4.5），當(dāng)介質(zhì)的電位移有

41、的改變時(shí)，外界所做的功是 （1）式中e是電場(chǎng)強(qiáng)度，是介質(zhì)的體積. 本題不考慮介質(zhì)體積的改變，可看作常量. 與簡(jiǎn)單系統(tǒng)比較，在變換 （2）下，簡(jiǎn)單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于電介質(zhì). 式（2.2.11）給出 （3）在代換（2）下，有 （4）式中是電場(chǎng)強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容量，是電位移不變時(shí)介質(zhì)的熱容量. 電路為閉路時(shí)，電容器兩極的電位差恒定，因而介質(zhì)中的電場(chǎng)恒定，所以也就是電路為閉路時(shí)介質(zhì)的熱容量. 充電后再令電路斷開，電容器兩極有恒定的電荷，因而介質(zhì)中的電位移恒定，所以也就是充電后再令電路斷開時(shí)介質(zhì)的熱容量.電介質(zhì)的介電常量與溫度有關(guān)，所以 （5）代入式（4），有 （6）2.18 試證明磁介質(zhì)與之差等于解：當(dāng)磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度有的改變時(shí)，外界所做的功是 （1）式中h是電場(chǎng)強(qiáng)度，v是介質(zhì)的體積.不考慮介質(zhì)體積的改變，v可看作常量. 與簡(jiǎn)單系統(tǒng)比較，在變換 （2）下，簡(jiǎn)單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于磁介質(zhì). 式（2.2.11）給出 （3）在代換（2）下，有 （4）式中是磁場(chǎng)強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容量，是磁化強(qiáng)度不變時(shí)介