曲線擬合實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、數(shù)值分析 課程設(shè)計(jì)報(bào)告 學(xué)生姓名 學(xué)生學(xué)號(hào)所在班級(jí)指導(dǎo)教師 成績?cè)u(píng)定 一、課程設(shè)計(jì)名稱 函數(shù)逼近與曲線擬合 二、課程設(shè)計(jì)目的及要求 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?(1)學(xué)會(huì)用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式，并應(yīng)用算法于實(shí)際問題。 學(xué)會(huì)基本的矩陣運(yùn)算，注意點(diǎn)乘和叉乘的區(qū)別。 實(shí)驗(yàn)要求: 編寫程序用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式，并求平方誤差，做出離散 函數(shù)（，）和擬合函數(shù)的圖形； （2）用MATLAB的內(nèi)部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項(xiàng) 式 的系數(shù)及平方誤差，并用MATLAB的內(nèi)部函數(shù)plot作出其圖形，并與（1）結(jié)果 進(jìn)行比較。 三、課程設(shè)計(jì)中的算法描述 用最小二乘法多項(xiàng)式曲線擬合，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)

2、點(diǎn)，并不要求這條曲線精 確的經(jīng)過這些點(diǎn)，而是擬合曲線無限逼近離散點(diǎn)所形成的數(shù)據(jù)曲線。 思路分析：從整體上考慮近似函數(shù)兩同所給數(shù)據(jù)點(diǎn)回誤差廠（兀）-片 1的大小，常用的方法有三種：一是誤差匸刁3） -卅絕對(duì)值的最大值應(yīng)陰創(chuàng)，即 誤差向量的無窮范數(shù)；二是誤差絕對(duì)值的和可，即誤差向量的1范數(shù)；三是誤 差平方和圍的算術(shù)平方根，即類似于誤差向量的2范數(shù)。前兩種方法簡單、自 然，但不便于微分運(yùn)算，后一種方法相當(dāng)于考慮2范數(shù)的平方，此次采用第三 種誤差分析方案。 算法的具體推導(dǎo)過程: 1 設(shè)擬合多項(xiàng)式為: o +1+2+?+ 2給點(diǎn)到這條曲線的距離之和，即偏差平方和: +? + =1 3為了求得到符合條件的

3、回的值，對(duì)等式右邊求 偏導(dǎo)數(shù), 因而我們得 到了: )1=0 )二0 一2 X一( + 1 +? + =2 一2 工一 (1 +? + =2 7 7 )1=0 4將等式左邊進(jìn)行一次簡化，然后應(yīng)該可以得到下面的等式 0+? + “匹 +?+ 2 5把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣: r-1* 1 2 -Z- /-I +1 -E- L/- n E /-I n z J-l )i ft s L/- r-1 r-1 2k Xi 6. 將這個(gè)范徳蒙得矩陣化簡后得到 1 x,彳 0- 1 X2-X? 二 Y2 -12 x” xj 7. 因?yàn)閄*A二Y|,那么，計(jì)算得到系數(shù)矩陣，同時(shí)就得到了擬

4、合曲線。 四、課程設(shè)計(jì)內(nèi)容 實(shí)驗(yàn)環(huán)境：MATLAB2010 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)（，） 3) 用MATLAB程序作線性最小二乘法的多項(xiàng)式擬合，求待定系數(shù)。 算法實(shí)現(xiàn)代碼如下： x 二0; y=l; R= (x. 2) x ones (7, 1); A=Ry 4) 用MATLAB程序計(jì)算平均誤差。 算法實(shí)現(xiàn)代碼如下： yl二E1 ; x=Lo ； y=x 2+x+l; z二(yy 1). 2; sum(z) 5) 作出擬合曲線和數(shù)據(jù)圖形(圖2)。 6) 用MATLAB的內(nèi)部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項(xiàng)式的系數(shù)及 平方誤差。 算法實(shí)現(xiàn)代碼如下： x 二0; y 二1; A 二

5、 polyfit (x, y, 2) ;%二次多形式擬合 z=polyval(A, x); d二sum( (z-y) - 2) 7)繪制使用polyfit函數(shù)實(shí)現(xiàn)的擬合圖形。(圖3) 五、程序流程圖 圖5-1用最小二乘法求多項(xiàng)式擬合曲線流程圖 圖5-2用polyfit函數(shù)求多項(xiàng)式擬合曲線流程圖 六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果 C實(shí)驗(yàn)數(shù)抿點(diǎn)的故點(diǎn)圖 3 丫 丫 * 丫 丫 * *數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi,yi） 28 * 2.6 2.4 -* 2.2 - 2 - 1.8 - 1.6 - 1.4 - 1.2 - 1*II(1211(1 00.1020.3040.5060.70 80.91 圖6-1表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 實(shí)驗(yàn)數(shù)抿點(diǎn)的

6、散點(diǎn)圖及擬合曲線 圖6-2最小二乘法實(shí)現(xiàn)的擬合曲線 系數(shù)為 A 二 則多項(xiàng)式的方程為y二分+ +1 平方誤差和為 ans 二 實(shí)驗(yàn)數(shù)抿點(diǎn)的散點(diǎn)圖及擬合曲線 圖6-3. polyfit函數(shù)實(shí)現(xiàn)的擬合函數(shù)第2問系數(shù)為 A 二 則多項(xiàng)式的方程為尸。 平方誤差和為 ans 七、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 編寫程序用最小二乘法求擬合曲線的多項(xiàng)式的過程中，求出的數(shù)據(jù)和 擬合 函數(shù)的平方誤差很小，達(dá)到了很高的精度要求，以及通過散點(diǎn)求得的 擬合曲線 比較光滑。而用MATLAB的內(nèi)部函數(shù)求polyfit求解的曲線擬合 多項(xiàng)式和平方誤 差與程序求得的相同，還有就是雖然求解過程簡單了，但用MATLAB的內(nèi)部函數(shù) 做出的圖形由明顯

7、的尖點(diǎn)，不夠光滑。 此次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，而且數(shù)據(jù)基本都是可靠數(shù)據(jù)。但是在應(yīng)用實(shí)際問題中， 數(shù)據(jù)會(huì)很龐雜，此時(shí)對(duì)于最小為乘法的算法就需要進(jìn)一步的細(xì)化。例如在進(jìn)行 數(shù)據(jù)采集時(shí)，由于數(shù)據(jù)采集器（各種傳感器）或機(jī)器身的原 因及其外部各種因 素的制約，導(dǎo)致數(shù)據(jù)偶爾會(huì)有大幅度的波動(dòng)，及產(chǎn)生一些偏差極大的數(shù)據(jù)，不 能真實(shí)反映數(shù)據(jù)的可靠性，所以會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選 或修正。而此時(shí)就可應(yīng)用曲 線擬合的最小二乘法的進(jìn)行處理。 八、實(shí)驗(yàn)心得體會(huì) 在E1常的學(xué)習(xí)和生活中，我們叮能會(huì)遇到各種方面的跟數(shù)據(jù)有關(guān)的問 題, 并不是所有的數(shù)據(jù)都是有用，必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，然后找出?shù)據(jù)之間 的關(guān)系，然后進(jìn)行分析得出結(jié)果。此次實(shí)驗(yàn)

8、結(jié)果基本沒有大的區(qū)另可是MATLAB 提供給我們一個(gè)特別簡潔的辦法，應(yīng)用一個(gè)函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)相同的結(jié)果。雖然很 方便，但是對(duì)于初學(xué)者來說，我覺得打好基礎(chǔ)才是關(guān)鍵，對(duì)于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)該 掌握其最基本的原理，然后在將它應(yīng)用于實(shí)際。 通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)我也理解到了，數(shù)值分析是一個(gè)工具學(xué)科，它教給了我 們分析和解決數(shù)值計(jì)算問題得方法，使我從中得到很多關(guān)于算法的思想，從中 受益匪淺。 附錄：源代碼 散點(diǎn)圖： x 二01 ; y二11 ； plot (x, y, r*) titleC實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖)； legendC 數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi); xlable ( x); ylable ( y，); 最小二乘擬合：

9、x二Lo ; y 二1b R= (X.2) x ones (7,1)： A 二 Ry， xl 二0; yl二LI; x=0; y=x2+x+l; plot (xl, yl, k+，, x, y, r) titleC實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖及擬合曲線)； z=(y-yl). 2 sum(z) Polyfit函數(shù)擬合： x 二0; 尸1； A二polyfit (x, y, 2) ;%二次多形式擬合 zpolyval (A, x); A d二sum( (zy) 2) plot (x, y,，k+) titleC實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖及擬合曲線)； hold on plot (x, z, ) 0 1用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式； 2用MATL