理論力學(xué) 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)[稻谷書(shū)苑]

1、1教學(xué)運(yùn)用 動(dòng)坐標(biāo)系動(dòng)坐標(biāo)系：固結(jié)于相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)物體上的坐標(biāo)系。 簡(jiǎn)稱動(dòng)系動(dòng)系（Oxyz） 。 前兩章中我們研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)，都是以地面為參考體。 然而在實(shí)際問(wèn)題中，還常常要在相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)著的參考系運(yùn)動(dòng)著的參考系上 觀察和研究物體的運(yùn)動(dòng)。如從行駛的汽車上觀看飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)， 坐在行駛的火車內(nèi)看下雨的雨點(diǎn)等。 本章研究同一物體同一物體相對(duì)于不同參考系不同參考系的運(yùn)動(dòng)及其相互關(guān)系。 8-1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng) 一一. 坐標(biāo)系：坐標(biāo)系： 靜坐標(biāo)系靜坐標(biāo)系：固結(jié)于地面上的坐標(biāo)系。簡(jiǎn)稱靜系靜系（Oxyz）。 2教學(xué)運(yùn)用 例如例如，下雨時(shí)，地面上的觀察者看雨滴是鉛垂向下的，

2、 但對(duì)正在行進(jìn)的車上的觀察者來(lái)說(shuō)，雨滴則是傾斜向后的。 同一物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)于不同的參考體來(lái)說(shuō)是不同的同一物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)于不同的參考體來(lái)說(shuō)是不同的。 又如，又如，沿直線軌道滾動(dòng)的車輪，站在地面上的人看輪緣上 點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一旋輪線，而在行駛著的車中的人看M點(diǎn)， 其軌跡則是一個(gè)圓。 3教學(xué)運(yùn)用 1. 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng)。 2. 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)。 3. 牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)系相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng)。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中動(dòng)點(diǎn)的速度與加速度稱絕對(duì)速度絕對(duì)速度 與絕對(duì)加速度絕對(duì)加速度 相對(duì)運(yùn)動(dòng)中動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度稱相對(duì)速度相對(duì)速度 與相對(duì)加速度相對(duì)加速度 牽連運(yùn)動(dòng)中牽連點(diǎn)牽連點(diǎn)

3、的速度和加速度稱牽連速度牽連速度與牽連加速度牽連加速度 aa ev ea rvra av 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 二二. . 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)： 三三. . 三種運(yùn)動(dòng)及三種速度與三種加速度三種運(yùn)動(dòng)及三種速度與三種加速度 在任意瞬時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)系中與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)叫牽連點(diǎn)牽連點(diǎn)。 所要研究的運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)。 4教學(xué)運(yùn)用 選擇對(duì)動(dòng)系、靜系都為運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，例如主動(dòng)件與從動(dòng)件 的連接點(diǎn)。 動(dòng)點(diǎn)對(duì)動(dòng)系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡是已知的， 或者是能直接看出的。 四四. . 動(dòng)點(diǎn)的選擇原則：動(dòng)點(diǎn)的選擇原則： 五五. 動(dòng)系的選擇原則動(dòng)系的選擇原則： 下面舉例說(shuō)明以上概念：下面舉例說(shuō)明以上概念： 動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)：

4、動(dòng)系：動(dòng)系： 靜系：靜系： AB桿上A點(diǎn) 固結(jié)于凸輪上 固結(jié)在地面上 5教學(xué)運(yùn)用 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓弧運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：直線平動(dòng) 6教學(xué)運(yùn)用 牽連速度牽連速度 ： e v絕對(duì)速度絕對(duì)速度 ： a v r v相對(duì)速度相對(duì)速度 ： 7教學(xué)運(yùn)用 絕對(duì)加速度：絕對(duì)加速度： aa 相對(duì)加速度：相對(duì)加速度： ra 牽連加速度：牽連加速度： ea 8教學(xué)運(yùn)用 動(dòng)點(diǎn)：擺桿上 A1點(diǎn) 動(dòng)系：圓盤 靜系：機(jī)架 動(dòng)點(diǎn)：圓盤上 A點(diǎn) 動(dòng)系：OA 擺桿 靜系：機(jī)架 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓弧運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

5、9教學(xué)運(yùn)用 注意：要指明動(dòng)點(diǎn)在哪個(gè)注意：要指明動(dòng)點(diǎn)在哪個(gè) 物體上，且動(dòng)點(diǎn)不能選在物體上，且動(dòng)點(diǎn)不能選在 動(dòng)系上。動(dòng)系上。 動(dòng)點(diǎn)：A(在AB桿上) 動(dòng)系：偏心輪 靜系：地面 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 若動(dòng)點(diǎn)若動(dòng)點(diǎn)A在偏心輪上時(shí)在偏心輪上時(shí) A（在偏心輪上） AB桿 地面 圓周運(yùn)動(dòng)（紅虛線） 曲線運(yùn)動(dòng)（未知） 平動(dòng) 10教學(xué)運(yùn)用 當(dāng)t t+t 時(shí) ABA B ， MM 也可看成M M M 8-2 點(diǎn)的速度合成定理點(diǎn)的速度合成定理 點(diǎn)的速度合成定理將建立動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連 速度之間的關(guān)系。 1 MMMM 1M M MM 為絕對(duì)位移 M1M 為相對(duì)位移 設(shè)

6、有一動(dòng)點(diǎn)M按一定規(guī)律沿著固連于動(dòng)系Oxyz 的曲線AB 運(yùn)動(dòng), 而曲線AB同時(shí)又隨同動(dòng)系Oxyz 相對(duì)靜系Oxyz運(yùn)動(dòng)。 11教學(xué)運(yùn)用 點(diǎn)的速度合成定理是瞬時(shí)矢量式，共包括大小、方向 六個(gè)元素，已知任意四個(gè)元素，就能求出其它兩個(gè)。 即在任一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于其牽連速度與相對(duì)速度即在任一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于其牽連速度與相對(duì)速度 的矢量和，這就是點(diǎn)的速度合成定理。的矢量和，這就是點(diǎn)的速度合成定理。 aer vvv 11 000 limlimlim ttt M MM MM M ttt 將上式兩邊同除以t， 取t 0時(shí)的極限，得 說(shuō)明說(shuō)明： 點(diǎn)的速度合成定理適用于牽連運(yùn)動(dòng)（動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)）為 任何運(yùn)

7、動(dòng)的情況。 1 MMMM 1M M 12教學(xué)運(yùn)用 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 例例1 橋式吊車。已知： 小車水平運(yùn)行，速度為v平， 物塊A相對(duì)小車垂直上升的 速度為v。求物塊A的運(yùn)行 速度。 13教學(xué)運(yùn)用 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)：物塊A 動(dòng)系動(dòng)系：小車 靜系靜系：地面 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線； 相對(duì)速度 vr =v 方向 牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)； 牽連速度 ve=v平 方向 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線； 絕對(duì)速度 va 的大小、方向待求。 解解：選取 14教學(xué)運(yùn)用 22 Aaer vvvv 平 v v 1 tg 作出速度平行四邊形作出速度平行四邊形如圖示，則物塊A的速度大小和方向?yàn)?由速度合成定理：由速度合成定理： re

8、a vvv 22 vv 平 15教學(xué)運(yùn)用 1 1 e v O A 則 sin ea vv 相對(duì)速度vr = ? 方向/O1B （ ） 例例2 曲柄擺桿機(jī)構(gòu)。已知已知：OA= r 、 、 OO1=l，圖示瞬時(shí)，OAOO1 。求求：擺桿 O1B的角速度1。 解解：取OA桿上A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，擺桿O1B 為動(dòng)系，基座為靜系。 絕對(duì)速度va = r ，方向 OA 牽連速度ve = ? 方向O1B 22 r r rl 2 22 r rl 22 2 22 1r rlrl 2 2 2 r rl 由速度合成定理 作出速度平行四邊形 如圖所示。 reavvv 16教學(xué)運(yùn)用 23 ( ) 3 AB ve （翻頁(yè)請(qǐng)看動(dòng)畫

9、） 0 tan 30 ae vv 例例3 圓盤凸輪機(jī)構(gòu) 已知：已知：OCe , , （勻角速度） 圖示瞬時(shí), OCCA 且 O、A、B三點(diǎn)共線。 求：求：從動(dòng)桿AB的速度。 eR3 解：解：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)取直桿上A點(diǎn)，動(dòng)系動(dòng)系固結(jié)于圓盤， 靜系靜系固結(jié)于基座。 絕對(duì)速度 va = ? 待求，方向/AB 相對(duì)速度 vr = ? 未知，方向CA 牽連速度 ve = OA =2e, 方向 OA 3 2 3 e 由速度合成定理 作出速度平行四邊形 如圖所示。 reavvv 17教學(xué)運(yùn)用 18教學(xué)運(yùn)用 動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系須分別屬于三個(gè)不同的物體動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系須分別屬于三個(gè)不同的物體，否則絕對(duì)、 相對(duì)運(yùn)動(dòng)中就缺

10、少一種運(yùn)動(dòng)，不能成為合成運(yùn)動(dòng)。 動(dòng)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)（即相對(duì)運(yùn)動(dòng)）軌跡易于直觀判斷動(dòng)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)（即相對(duì)運(yùn)動(dòng)）軌跡易于直觀判斷 （除已知絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題外）。 由上述例題知求解合成運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題的一般步驟一般步驟為： 動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系的選擇原則：動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系的選擇原則： 恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系是求解合成運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵。 選取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系。 對(duì)三種運(yùn)動(dòng)及其速度進(jìn)行分析。 根據(jù)速度平行四邊形，求出未知量。 根據(jù)速度合成定理 作出速度平行四邊形。 reavvv 19教學(xué)運(yùn)用 例例4 已知： 凸輪半徑 r , 圖示時(shí)速度 v ， 300 ；桿OA靠在 凸輪上。 求：桿

11、OA的角速度。 分析分析：相接觸的兩個(gè)物體的接觸點(diǎn)位置在各自物體上都隨 時(shí)間而變化，因此若選兩物體的接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，則相對(duì)運(yùn)動(dòng) 的分析會(huì)較困難。根據(jù)上述動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系的選擇原則， 在此情況下，可選擇滿足上述兩條原則的非接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。 20教學(xué)運(yùn)用 解解：取凸輪上C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn), 動(dòng)系動(dòng)系固結(jié)于OA桿上, 靜系靜系固結(jié)于基座。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)： 直線運(yùn)動(dòng)， 絕對(duì)速度： va =v ，方向 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)： 直線運(yùn)動(dòng)， 相對(duì)速度： vr 未知，方向 OA 牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng): 定軸轉(zhuǎn)動(dòng), 牽連速度：OCOCve方向待求未知 , , 2 ee vv OCr vvv ae 3 3 tg（） 13 2

12、3 v r 3 6 v r 根據(jù)速度合成定理 作出速度平行四邊形如圖所示。 aer vvv 21教學(xué)運(yùn)用 8-3牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理 reavvv ddd ddd r xyz vijk ttt 而 d d d ddd aO xyz vvijk ttt 兩邊對(duì) t 求導(dǎo)： d d a a v a t 設(shè)有一動(dòng)點(diǎn)M按一定規(guī)律沿著固連于動(dòng)系Oxyz 的曲線AB 運(yùn)動(dòng), 而曲線AB同時(shí)又隨同動(dòng)系Oxyz 相對(duì)靜系Oxyz平動(dòng)。 由速度合成定理 注意到牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，故 , OeOe aavv 222 222 dddd dddd O vxyz

13、 ijk tttt 22教學(xué)運(yùn)用 222 222 ddddd ddddd aO a vvxyz aijk ttttt d , d O Oe v aa t 又 其中， 為動(dòng)系坐標(biāo)軸的單位矢量，由于動(dòng)系為平動(dòng)， 故其方向不變是常矢量，所以 。 d d d 0, 0, 0 d d d ijk ttt ijk、 、 rea aaa 即牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度與 相對(duì)加速度的矢量和。 牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成 定理定理 n aaa n rr n ee n aa aaaaaa 又可寫為： 222 222 ddd ddd r xyz aijk tt

14、t 23教學(xué)運(yùn)用 例例5 圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長(zhǎng)OA0.1m，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 當(dāng) 時(shí)，其角速度 1 rad/s，角加速度 a 1 rad/s2， 求導(dǎo)桿AB的加速度和滑塊A在滑道中的相對(duì)加速度。 o 30 取OA上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，導(dǎo)桿AB為 動(dòng)系動(dòng)系，定系定系固連在地面上。 2）分析三種運(yùn)動(dòng)和三種加速度。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：即動(dòng)點(diǎn)A的圓周運(yùn)動(dòng)， 絕對(duì)加速度可分解為切向加速度和法向 加速度 ，大小為 解：解： 1）選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系。 2 0.1 10.1 m/ s a aOA a 222 0.1 10.1m/ s n a aOA 24教學(xué)運(yùn)用 方向如圖 b）所示。 2 2 0.1 m/ s 0.1m/

15、 s a n a a a 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 即沿滑道的 往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，故相對(duì)加速 度 的方向?yàn)樗?，大小?未知。 r a 牽連運(yùn)動(dòng) 即導(dǎo)桿的直線平動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A的牽連加速度 為 鉛垂方向，大小為待求。 e a n aaaer aaaaa 作加速度合成圖，如圖b）。 3）根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理 25教學(xué)運(yùn)用 oo sin30cos30 n aae aaa 22 0.0366m/s () , 0.1366m/s () re aa 求出的 為正值，說(shuō)明圖示方向即為實(shí)際方向，而 即 為導(dǎo)桿AB在此瞬時(shí)的平動(dòng)加速度。 re aa、 e a n aaer aaaa 代入 oo cos30sin30 n

16、 aar aaa 將其分別投影到x 和h 軸上,得 22 0.1 m/ s , 0.1m/ s n aa aa 最后得: 注意：注意：不要將加速度合成定理的投影式寫成“投影的代數(shù) 和為零”的平衡式。 26教學(xué)運(yùn)用 解解：取頂桿AB上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)， 動(dòng)系動(dòng)系與凸輪固連。 例例6 已知：凸輪半徑 求： =60o時(shí), 頂桿AB的加速度。 oo Rva、 請(qǐng)看動(dòng)畫 27教學(xué)運(yùn)用 由速度合成定理 aer vvv 做出速度平行四邊形,如圖示。 sin e r v v 相對(duì)速度vr = ? , 方向CA； 相對(duì)加速度ar = ? 方向CA , 方向沿CA指向CRva r n r / 2 絕對(duì)速度va =

17、 ? , 方向 AB ；絕對(duì)加速度aa= ?, 方向 AB，待求。 牽連速度ve=v0 , 方向 ； 牽連加速度 ae=a0 , 方向 0 0 2 sin 603 o v v 28教學(xué)運(yùn)用 因牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)， 故有 n rea r aaaa 2 / n rr avR其中 作加速度矢量圖加速度矢量圖如圖示，將上式 投影到法線 n 上，得 n rea aaacossin (cos)/sin n aer aaa 整理得) 3 8 ( 3 3 2 0 0 R v aaa aAB n 2 0 2 () / 3 vR 2 0 4 3 v R 2 0 0 4 (cos60)/sin60 3

18、v a R 29教學(xué)運(yùn)用 8-4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理 上一節(jié)我們證明了牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理， 那么當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，上述的加速度合成定理是否還適用 呢？下面我們來(lái)分析一特例。 設(shè)如圖圓盤以勻角速度 繞定軸 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，盤上圓槽內(nèi)一點(diǎn)M以大小 不變的相對(duì)速度 vr 沿槽作圓周運(yùn)動(dòng)， 那么M點(diǎn)相對(duì)于靜系的絕對(duì)加速度應(yīng)是 多少呢？ 30教學(xué)運(yùn)用 R v av r rr 2 , 常數(shù)有 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)， （方向如圖） 由速度合成定理可得出 aerr vvvRv為常數(shù) 選點(diǎn)選點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)與圓盤上為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)與圓盤

19、上， 則M點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。 2 , ee vRaR（方向如圖） 即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以 方向指向圓心點(diǎn)。 2 a a v a R 2 () r Rv R 2 2 2 r r v Rv R 31教學(xué)運(yùn)用 可見(jiàn)，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度并不當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度并不 等于牽連加速度和相對(duì)加速度的矢量和。等于牽連加速度和相對(duì)加速度的矢量和。那么它們 之間的關(guān)系是什么呢？ 2 vr 又是怎樣出現(xiàn)的呢？它是什么呢？ 下面我們就來(lái)討論這些問(wèn)題，推證牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加 速度合成定理。 eara aa 分析上式： 22 , / err aRavR

20、 r rra a v R v R R vR R v a 2 )( 2 2 22 還多出一項(xiàng) 2 vr 。 32教學(xué)運(yùn)用 速度分析速度分析 牽連速度牽連速度 相對(duì)速度相對(duì)速度 絕對(duì)速度絕對(duì)速度 t 瞬時(shí)在位置t+t 瞬時(shí)在位置II ev rv reavvv reavvv ev rv 可以看出，經(jīng)過(guò)t 時(shí)間間隔，牽連速度和相對(duì)速度的大小、 方向都發(fā)生了變化。 設(shè)桿OA在圖示平面內(nèi)以勻角速 度 繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，套筒M（可視為 點(diǎn)M）沿直桿作變速運(yùn)動(dòng)。取套筒取套筒 M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于桿為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于桿OA上，上， 靜系固結(jié)于機(jī)架。靜系固結(jié)于機(jī)架。 33教學(xué)運(yùn)用 相對(duì)速度相對(duì)速度：由 作速度矢量三角形

21、， 在 矢量上截取 長(zhǎng)度后， 分解為 和 rrr vvv、 rv rv rv rv rv rrr vvv 即 其中 在t內(nèi)相對(duì)速度大小的改變量，它與牽連轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)。 在t內(nèi)由于牽連轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的相對(duì)速度方向的改變 量，與牽連轉(zhuǎn)動(dòng)的 的大小有關(guān) 。 rv rv 牽連速度牽連速度： 由 作速度矢量三角形， 在 矢量上截取 長(zhǎng)度后，將 分解 為 和 ， eee vvv、 eve v ev ev ev eee vvv 即 t 時(shí)間間隔內(nèi)的速度變化分析時(shí)間間隔內(nèi)的速度變化分析 34教學(xué)運(yùn)用 其中: 表示t內(nèi)由于牽連轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的牽連速度方向的改 變量，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。 表示t內(nèi)由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)而引起的牽連速度大小

22、的改 變量，與相對(duì)速度 有關(guān)。 ev ev rv t vvvv t vv a rere t aa t a )() ( lim lim 00 t v t v t vvvv r t e t rree t 000 limlim )()( lim t v t v t v t v r t r t e t e t lim lim lim lim 0000 加速度分析加速度分析 上式中各項(xiàng)的物理意義各項(xiàng)的物理意義如下： 35教學(xué)運(yùn)用 第一項(xiàng)正是 t 瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度 。 ea 第三項(xiàng)恰是瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速度 。 ra 第二項(xiàng)大?。?t OMOM t vv t v t ee t e t lim lim l

23、im 000 rr t vv t MM 方向 , lim 1 0 該項(xiàng)為由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的存在而引起牽連速度的大小改變的加速度。 第四項(xiàng)大?。?00 limlim , r rrr tt v vvv tt 方向。 這一項(xiàng)表明由于牽連轉(zhuǎn)動(dòng)而引起相對(duì)速度方向改變的加速度。 0000 limlimlimlim eerr a tttt vvvv a tttt 36教學(xué)運(yùn)用 最后，有加速度合成定理 krea aaaa 即牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度、牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度、 相對(duì)加速度和科氏加速度三者的矢量和。相對(duì)加速度和科氏加速度三者的矢量和。 或?qū)懗?k n

24、rr n ee n aaaaaaaaa 一般情況下，科氏加速度可以表示為 rkva2 由于第二項(xiàng)和第四項(xiàng)表示的加速度的大小、方向都相同，可以 合并為一項(xiàng)，用 表示，稱為科氏加速度科氏加速度。k a : 2sin kr av大小 方向：按右手螺旋法則確定。 0 180 , / , r v 當(dāng)或時(shí) 90 , , r v 當(dāng)時(shí) 0 k a 2 kr av（常見(jiàn)） 37教學(xué)運(yùn)用 D A B C asin2 11 va k )/( 0 22vak 例例7 矩形板ABCD以勻角速度 繞固定軸 z 轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M1和點(diǎn)M2分別沿板的對(duì)角線BD 和邊線CD運(yùn)動(dòng)，在圖示位置時(shí)相對(duì)于板的 速度分別為 和 ，試計(jì)算點(diǎn)M

25、1 、 M2的 科氏加速度大小, 并標(biāo)明方向。 1 v 2 v 點(diǎn)M2 的科氏加速度: 垂直板面向里。 解解：科氏加速度為rkva2 點(diǎn)M1的科氏加速度: 38教學(xué)運(yùn)用 解： rk va 2 2 2 r v 根據(jù) 作出速度平行四邊形 rea vvv cos ea vva 2 2 e v O A 2 2 kr av方向與 相同。 e v 例例8 曲柄擺桿機(jī)構(gòu)。已知O1Ar， 1， ；取O1A桿上A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)， 動(dòng)系固結(jié)在O2A上，試求動(dòng)點(diǎn)A的科氏 加速度。 1 sin(),rsin ar vva 1 cos()r 2 2 kr av 1 sin sin() cos r r 1 sin()sin c

26、os 2 1 sin 2() sin cos r 39教學(xué)運(yùn)用 解解: 動(dòng)點(diǎn): 頂桿上A點(diǎn)； 動(dòng)系: 凸輪； 靜系: 地面。 例例9 凸輪機(jī)構(gòu)以勻角速度 繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 圖示瞬時(shí)OA= r ，A點(diǎn)處曲率半徑為 ， 為 已知。求該瞬時(shí)頂桿 AB的速度和加速度。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng): 直線運(yùn)動(dòng); 絕對(duì)速度: va= ? 待求, 方向/AB; 牽連運(yùn)動(dòng): 定軸轉(zhuǎn)動(dòng); 牽連速度: ve= r ， 方向OA， 。 相對(duì)運(yùn)動(dòng): 曲線運(yùn)動(dòng); 相對(duì)速度: vr= ? 方向n; 40教學(xué)運(yùn)用 2222 : /(cos), n rr avr n相對(duì)加速度方向沿 : ? , / a aAB絕對(duì)加速度方向 nar方向 ? 2 :

27、 0 , , n ee aarO牽連加速度方向指向軸心 。 tg ABae vvv /cos re vv 根據(jù)速度合成定理 reavvv 作速度平行四邊形。 2 : 22/ cos , / / , kr avrnn科氏加速度方向指向與相反。 tg ( )r /cosr 41教學(xué)運(yùn)用 由牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理 k n ea aaaaa rr 作出加速度矢量圖加速度矢量圖如圖示。 22222 (cossec/2sec )/cos ABa aarrr 232 (1sec/2sec)rr 向 n 軸投影： k n rea aaaacoscos 2 2/ cos

28、 , k ar 222 /(cos), n r ar 2 , e ar代入： 42教學(xué)運(yùn)用 牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) reavvv reaaaa 第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)習(xí)題課第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)習(xí)題課 )2( rkkreavaaaaa 一概念及公式一概念及公式 點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 與牽連運(yùn)動(dòng)的合成。 2. 速度合成定理速度合成定理 3. 加速度合成定理加速度合成定理 牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí) 1. 一點(diǎn)、二系、三運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)、二系、三運(yùn)動(dòng) 43教學(xué)運(yùn)用 4. 作加速度分析，畫出加速度矢量圖，求出有關(guān)的加速度、 角加速度未知量。 二解題步驟二解題步驟 1. 選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系、靜系。 2. 分析三種運(yùn)動(dòng)：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相

29、對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。 3. 作速度分析, 畫出速度平行四邊形,求出有關(guān)未知量 (速度、 角速度）。 44教學(xué)運(yùn)用 2. 牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作加速度分析不要丟掉科氏加速度 。 ka 三注意問(wèn)題注意問(wèn)題 1. 牽連速度及加速度是牽連點(diǎn)相對(duì)靜系的速度及加速度。 3. 加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜力平衡方程 的投影式不同。 22 / n avRR4. 圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)， 2 / n av非圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)， （ 為曲率半徑） 45教學(xué)運(yùn)用 牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)， )( OAlv a 方向 2 () () a n a alOA alAOO 方向 沿指向 鉛直方向 ? ? rrav ? ? ee

30、va水平方向，待求量。 例例1 曲柄滑桿機(jī)構(gòu)。 已知: OAl ， = 45o 時(shí)，、 ; 求：小車的速度與加速度。 解解：動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)：OA桿上桿上 A點(diǎn)點(diǎn); 動(dòng)系：固結(jié)在滑桿上動(dòng)系：固結(jié)在滑桿上; 靜系：固結(jié)在機(jī)架上。靜系：固結(jié)在機(jī)架上。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)， 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)， 46教學(xué)運(yùn)用 小車的速度小車的速度：evv 根據(jù)速度合成定理 作速度平行四邊形, 如圖示。 reavvv cos ea vv 向x軸投影： cossin n aae aaa 2 cos45sin45 e all 方向如圖示。 2 2 () 2 l 小車的加速度小車的加速度：

31、 eaa 根據(jù)牽連平動(dòng)的加速度合成定理 re n aaaaaa 作出加速度矢量圖如圖示。 2 cos45 () 2 ll 47教學(xué)運(yùn)用 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， , aa vvaa ?, rrav 2 ? ; ? n ee aODOAaODO 指向 ?, e vODOA 例例2 搖桿滑道機(jī)構(gòu)。已知 h、 、v、a，求OA桿的、 。 解解：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn): BC上銷子上銷子D ; 動(dòng)系動(dòng)系: 固結(jié)于固結(jié)于OA；靜系；靜系: 固結(jié)于機(jī)架。固結(jié)于機(jī)架。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)， 沿OA 線 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)， 2 kr avOA， 48教學(xué)運(yùn)用 2 k

32、r av 向x 軸投影：keaaaa cos cos eak aaa e a OD （） 根據(jù)牽連轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度合成定理牽連轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度合成定理 kr n eeaaaaaa coscos , ea vvv / e vOD（） sinsin ra vvv 2 cos/ co c s s oh vv h 2 cos 2sin v v h 22 2cossin cos v a h 2 22 2 coscossin2 av hh 根據(jù)速度合成定理速度合成定理 作速度平行四邊形作速度平行四邊形，如圖所示。 reavvv 2n e aOD 23 cosv h 49教學(xué)運(yùn)用 請(qǐng)看動(dòng)畫請(qǐng)看動(dòng)畫 解解：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn):

33、 O1A上上A點(diǎn)點(diǎn); 動(dòng)系動(dòng)系: 固結(jié)于固結(jié)于BCD上上, 靜系固結(jié)于機(jī)架上。靜系固結(jié)于機(jī)架上。 牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng); AOrva 11 , ? / r vBC ? e v 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng); 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng); 方向水平 例例3 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。已知：O1A = r ， 1、 、 h；圖示瞬時(shí) O1A / O2 E，求該瞬時(shí) O2 E 桿的 2 。 50教學(xué)運(yùn)用 作出速度平行四邊形。作出速度平行四邊形。 reavvv 再選動(dòng)點(diǎn)：再選動(dòng)點(diǎn)：BCD上上F點(diǎn)，點(diǎn)， 動(dòng)系：固結(jié)于動(dòng)系：固結(jié)于O2E上，上， 靜系固結(jié)于機(jī)架上。靜系固結(jié)于機(jī)架上

34、。 sin ea vv 根據(jù)根據(jù)作速度平行四邊形。作速度平行四邊形。 FrFeFa vvv sin eFaF vv 222 , /sin eF vO FO Fh又 根據(jù)根據(jù) 2 ? / rF vO E 1 sin () aF vr 2 ? eF vO E 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)， 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)， 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 2 11 sinsinsinrr 2 2 eF v O F ）（ 2 1 sin sinr h 1 sinr 3 1 sin r h 51教學(xué)運(yùn)用 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng): 直線運(yùn)動(dòng)，直線運(yùn)動(dòng)， 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng): 直線運(yùn)動(dòng)，

35、直線運(yùn)動(dòng)， 牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng): 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， , aa vvaa ? ? / rr vaOA方向 ? e vOC方向 例例4 凸輪機(jī)構(gòu)。凸輪機(jī)構(gòu)。已知凸輪半徑為R， 圖示瞬時(shí)O、C在一條鉛直線上， 、 v 、a 已知。求該瞬時(shí)OA桿的角速度 和角加速度。 由于兩個(gè)物體上的接觸點(diǎn)位置均 是變化的，故不宜選接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。 ; ? 2 OOCa n e 指向? e aOC 方向 OC 請(qǐng)看動(dòng)畫請(qǐng)看動(dòng)畫 解解: 取凸輪上取凸輪上C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)， 動(dòng)系固結(jié)于動(dòng)系固結(jié)于OA桿上，桿上， 靜系固結(jié)于地面上。靜系固結(jié)于地面上。 分析分析: 52教學(xué)運(yùn)用 0, , sin /sin e rea vvv vvvv OCRR 作出速度平行四邊形，知 根據(jù)reavvv 根據(jù) kr n eea aaaaa 作出加速度矢量圖。 02 ,sin)sin( sin 2 2 rk n e va R v R vR a 向 軸投影： coscossin n aee aaa tg n eae aaa 222 2 tgsin/sinsin tg /sin e aavRav OCRRR 轉(zhuǎn)向由上式符號(hào)決定， 0 則， 0 則 ）（ 53教學(xué)運(yùn)用 （請(qǐng)看動(dòng)畫） 例例5 刨床機(jī)構(gòu)。刨床機(jī)構(gòu)。 已知主動(dòng)輪 O 轉(zhuǎn)速 n = 30