九年級數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義)

1、銳角三角函數(shù)與解直角三角形【考綱要求】1. 理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直 角三角形有關(guān)的實(shí)際問題題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2. 命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識解決問 題.【知識網(wǎng)絡(luò)】L兩股克理 廣I石四邊觀喇-_他鬲一漓形T與相似形結(jié)用【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在 Rt ABC中，/ C= 90,/ A所對的邊 的鄰邊，/ B所對的邊AC記為b,叫做/ B的對邊，也是/ 叫做斜邊.BC記為a，叫做/ A的對邊，也叫做/ B A的鄰邊，直角C所對

2、的邊AB記為c，銳角銳角銳角A的對邊與斜邊的比叫做/A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正弦，記作A的余弦，記作A的正切，記作sinA ,cosA,tanA,即 sin A即 cos A即 tan A同理sinBB的對邊b ； cosBB的鄰邊旦；tanB斜邊 c ；斜邊 c ；A的對邊a斜邊cA的鄰邊b ；斜邊； cA的對邊aA的鄰邊b .B的對邊bB的鄰邊a要點(diǎn)詮釋：(1) 正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條 線段的比值.角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化.(2) si nA ， cosA， tanA分別

3、是一個完整的數(shù)學(xué)符號，是一個整體，不能寫成27，不能理解成 sin與/ A, cos與/ A, tan與/ A的（如/ AEF），其正切乘積書寫時習(xí)慣上省略/ A的角的記號“/”，但對三個大寫字母表示成的角應(yīng)寫成“ tan / AEF ,不能寫成“tanAEF” ;另外,(3) 任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在.(4) 由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0 v /Av 90之間變化時，,tanA 0.考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出0、30、45、60、90角的各三角函數(shù)值，歸納如下:Y角函0*30*4560*90esin a01241

4、27321cos a1732422110tan 口0733173不存在要點(diǎn)詮釋：(1)通過該表可以方便地知道 0 、30、45、60、90角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn):si nOsin90的值依次為 0、i.cosOcos90 的值的順序正好相反值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為： 當(dāng)角度在 0Z Av90之間變化時， 正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小） 余弦值隨銳角度數(shù)的增大 （或減?。┒鴾p小（或增大）. 考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在 Rt ABC中，/ C

5、=90. 互 余 關(guān) 系(2)平方關(guān)系: 倒 數(shù) 關(guān) 系（4）商數(shù)關(guān)系:要點(diǎn)詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中, 計(jì)算時巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便.考點(diǎn)四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素 （直角除外）求未知元素的過程，叫做解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角設(shè)在Rt ABC中，/ C=90,Z A、/ B、/ C所對的邊分別為 a、b、c,則有： 三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）. 銳角之間的關(guān)系：/ A+/ B=90 . 邊角之間的關(guān)系：,h為斜邊上的高要點(diǎn)詮釋：(1) 直角三角形中有

6、一個元素為定值(直角為90 )，是已知的值.(2) 這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3) 對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt ABC兩兩直角邊(a，b)由邊求/ A,/ B=90-Z A,斜邊，一直角邊（如c, a）由求/ A,/ B=90-Z A,邊角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊（如/ A, b）/ B=90-Z A,銳角、對邊（如/ A, a）/ B=90-Z A,斜邊、銳角(如c,/ A)/ B=90-Z A,要點(diǎn)詮釋：1在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時，最好是先畫出一個

7、直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些 元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算2若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù) 量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵解這類問題的一般過程是：(1) 弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫 出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型 (2) 將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角

8、三角形的問題(3) 根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形 )元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角 形 得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解拓展：在用直角三角形知識解決實(shí)際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母坡度通常寫成的形式(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫 做俯角，如圖(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo) 方向PA PB, PC的方位角分別為是 40, 1

9、35, 245 .方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線 OA OB OC 0D的方向角分別表示北偏東 30,南偏東45,南偏西80,北偏 西60 .特別如：東南方向指的是南偏東45，東北方向指的是北偏東45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西 45 .要點(diǎn)詮釋：1解直角三角形實(shí)際是用三角知識，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小， 最好畫出它的示意圖.2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩 形來解.例如：3解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意（關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義

10、），然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)1 . (1)如圖所示，在 ABC中，若/ C= 90,/ B= 50, AB= 10,則BC的長為（）tan50 B . 10 cos50 C . 10 sin50 D10sin 50 3ABC 中，/ C= 90 , si nA = -，求 cosA+ta nB 的值.5 如圖所示的半圓中，AD是直徑，且 AD= 3, AC= 2，貝U sinB的值等于(1) 在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可以用某個銳角的三角函數(shù)值和一條邊表示其他邊.(2) 直角三角形中，某個內(nèi)角的三角函數(shù)值即為

11、該三角形中兩邊之比.知道某個銳角的三角函數(shù)值就知道了該角的大小，可以用比例系數(shù)k表示各邊.(3) 要求sinB的值，可以將/ B轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中.【總結(jié)升華】已知一個角的某個三角函數(shù)值，求同角或余角的其他三角函數(shù)值時，常用的方法是：禾U用定義，根 據(jù)三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長；(2) 題求cosA時，還可以直接利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式sin2 A+cos 2 A = 1，讀者可自己嘗試完成.舉一反三:【變式】Rt ABC中，/ C=90,a、b、c分別是/ A、/ B、/ C的對邊，那么c等于()(A) acosA bsin B (B)(C)asin Absin B(D)

12、asin A bsin B a b cosA sin B類型二、特殊角的三角函數(shù)值2 .解答下列各題:(1)化簡求值:tan60 ta n45sin 60 cos30sin 45 cos45sin30;在厶ABC中，/ C= 90,化簡,1 2sin AcosA .【總結(jié)升華】由第(2)題可得到今后常用的一個關(guān)系式:21 2sin a cos a =(sin a cos a ).例如，若設(shè) sin a +cos a = t，貝U sin cos21).舉一反三:【變式】若sin 2仝，cos2.sin, (2 a,為銳角)，求噸)的值.(1)如圖所示，在 ABC中，/ ACB= 105,/ A

13、= 30, AC= 8，求 AB和 BC的長;(2) 在厶 ABC中，/ ABC= 135,/ A= 30, AC= 8，如何求 AB和 BC的長？ 在厶ABC中，AO 17, AB= 26,銳角A滿足si nA，如何求BC的長及 ABC的面積?13第(1)題的條件是“兩角一夾邊”.由已知條件和三角形內(nèi)角和定理，可知/B= 45;過點(diǎn)C作CD丄AB于D,貝U Rt ACD是可解三角形，可求出CD的長，從而 Rt CDB可解，由此得解；第(2)題的條件是“兩角一對邊”；第(3)題的條件是“兩邊一夾角”，均可用類似的方法解決.類型三、解直角三角形及應(yīng)用4 如圖所示，D 是 AB 上一點(diǎn)，且 CDL

14、 AC 于 C, S ACD : S CDB 2:3 , cos DCBAC+CD= 18,求tanA的值和AB的長.專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識性專題專題1銳角三角函數(shù)的定義【專題解讀】例1 如圖28- 123所示, 則下列結(jié)論正確的是(A. sin A=2C. cosB = -2銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主.在 Rt ABC 中，/ ACB = 90,)1B . tan A= 一2D. tan B = J3BC = 1 ,例2 在厶ABC中，/ C= 903,cosA =-,則 tan A 等于 (53 一 4c4 - 5B專題2特殊角的三角函數(shù)值【專題解讀】要熟記特殊角的三角函

15、數(shù)值.例 4 計(jì)算3|+ 2cos 45 (.3 1)0.1 _例 5 計(jì)算一 +9 + ( 1)2007 cos 602例 6 計(jì)算.2 |+ (cos 60 tan 30 )0+8 .計(jì)算1 1-(n 3.14)0 |1 tan 60 2.3 2專題3銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合運(yùn)用AC【專題解讀】銳角三角函數(shù)常與其他知識綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識解決問題的能力例8 如圖28 124所示，在 ABC中，AD是BC邊上的高，E為邊的中點(diǎn)，BC= 14, AD = 12, sin B=-.5(1)求線段DC的長； 求tan/ EDC的值.tan B= cos/ DAC .AIS 肽 吃,/

16、 C = 30例9 如圖28- 125所示，在 ABC中，AD是BC邊上的高, 求證AC = BD ;若 sin C= 1- , BC= 12,求 AD 的長.13例10 如圖28- 126所示，在 ABC中，/ B= 45 + 30 3，求AB的長.專題4用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題【專題解讀】加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問題 逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測量問題、高度測量問題 等，解決各類應(yīng)用問題時要注意把握各類圖形的特征及解法.例13

17、如圖28- 131所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)利用所學(xué)知識 去測量沱江流經(jīng)我市某段的河寬.小凡同學(xué)在點(diǎn) A處觀測到對岸 C點(diǎn)，測得/ CAD=45 ，又在距A處60米遠(yuǎn)的B處測得/ CBA= 30 ，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河 寬是多少？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）例14如圖28 - 132所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個海濱浴場岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營救.1號救生員從A點(diǎn)直接跳入海中；2號救生員沿岸邊（岸邊可以看成是直線）向前跑到C點(diǎn)再跳入海中；3號救 生員沿岸邊向前跑 300米到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的 速度都是6米/秒，在水中游泳的速度

18、都是 2米/秒.若/ BAD = 45, / BCD = 60 ,三名救生員同時從 A點(diǎn)出發(fā)，請說明誰先到達(dá)營救地點(diǎn)B.（參考數(shù)據(jù) 2衣1.4, 31.7)例15如圖28- 133所示，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從 A處 -運(yùn)往正東方向的 M處，在點(diǎn)A處測得某島C在它的北偏東60方向上，該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時再測得該島在它的北偏東30方向上；已知在 C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁， 若貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)？試說明理由.氐紋“ 1呼在相距8米的A，B兩處測得D點(diǎn)和C點(diǎn)的仰角分別為45 和 60,且 A，B, Fffi 28 - 134例16如圖28-

19、 134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌 CD，甲、乙兩人分別三點(diǎn)在一條直線上，若BE = 15米，求這塊廣告牌的高度.(.3疋1.73，結(jié)果保留整數(shù))例17如圖28- 135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬 AD = 2.5m, 壩高4 m,背水坡的坡度是1 : 1,迎水坡的坡度是1: 1.5,求壩底寬BC.圖 2K 136例18如圖28 - 136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高 CD = 30m，某人在點(diǎn) A處測得塔底C的仰角為20,塔頂D的仰角為23,求此人距 CD的水 平距離 AB.(參考數(shù)據(jù)：sin 20 0.342, cos 20 0.940, tan 20 0.364, sin

20、 23 0.391, cos 23 0.921, tan 23 0.424)28 - 142二、規(guī)律方法專題專題5公式法【專題解讀】本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關(guān)鍵.例19 當(dāng)0 a V90時，求Sin 的值.cos三、思想方法專題 專題6類比思想【專題解讀】 求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形，因此對解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念.我們可以像解方程（組）一樣求直角三角形中的未知元素.例 20 在 Rt ABC 中，/ C = 90,/ A，/ B,Z C 的對邊分別為 a, b, c,已知 a = 5 , b2=，解這個直角三角形.2專題7數(shù)形結(jié)合思想【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)”，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用, 是解決幾何問題常用的方法之一.3 x+-，貝y cos a等于( )33A .丄2 B .22C.邁3D. 一23例21 如圖28- 137所示，已知/ a的終邊OP丄AB，直線AB的方程為y=專題8分類討論思想【專題解