常微分方程試題及答案

1、第十二章常微分方程 （A） 、是非題 1 任意微分方程都有通解。（X ） 2 微分方程的通解中包含了它所有的解。（X ） 3 .函數(shù)y 3sinx 4cosx是微分方程y y 0的解。（O ） 4函數(shù)y x在橫線上填上方程的名稱 y 3 In xdx xdy 0是可分離變量微分方程。 xy2 x dx y x2y dy 0是可分離變量微分方程。 x y In 丫是齊次方程。 dxx xy y x2 sin x是一階線性微分方程。 y y 2y 0是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。 y sin xy x cosx的通解中應(yīng)含_3個(gè)獨(dú)立常數(shù)。 1 ex是微分方程y 2y y 0的解。（X ） 1 2

2、5. 微分方程xy In x 0的通解是y - I nx C （C為任意常數(shù)）。（O ） 2 6. y sin y是一階線性微分方程。（X ） 7. y x y xy不是一階線性微分方程。（O ） 8. y 2y 5y 0的特征方程為r2 2r 50。( O ) 9.矽 1 x y2 xy2是可分離變量的微分方程。（O ） dx 、填空題 7. 8. 1 丄所滿足的微分方程是y x 空的通解為y x Cx2。 9. dx dy 0的通解為 x 10. dy dx 2y x 1 5 x 1 2 ,其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為y C x x2 11. 方程xy 1 12. 3階微分方程 0的通解為y

3、Cxe2 1 6 x 120 x3 * 5 6 7 8的通解為y CXC2 x C 3 、選擇題 1.微分方程 xyy 3 y4y 0的階數(shù)是（D ） o A. 3 B 2 .微分方程 x51的通解中應(yīng)含的獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)為 A. 3 B 3.下列函數(shù)中，哪個(gè)是微分方程 dy 2xdx 0的解（ A . y 2x B . y x2 C . 2x D cosx a cosx C. yx asinx bcosx y acosx bsinx 9.下列微分方程中, 是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。 A. y 2y 0 y xy 3y20 C. 5y 4x 0 y 2y 10 10.微分方程y 0滿足初始條

4、件y0 1的特解為（A ） A. ex B .ex xx C . e 1 D .2 e 11. 在下列函數(shù)中，能夠是微分方程 y y 0的解的函數(shù)是（C ） A.y 1 B . y x C . ysin xD . y ex 12 .過點(diǎn)1,3且切線斜率為2x的曲線方程y y x應(yīng)滿足的關(guān)系是 A . y 2x B . y 2x C .y 2x ,y 13 D .y 2x, y 13 . 下列彳 微分方程中， 可分離變量的是 ( B )0 A . dy y e B. dy k x a b y ( k, a , b是常數(shù)） dx x dx C. dy sin y x D. y xy 2 y x e

5、 dx 14 . 方程 y 2y 0 白 勺通解是（ C ) 。 A . y sin x B . y 4 e2x C . y C 2 x e D . x y e 1 dx 15 .微分方程坐 y dy x 0滿足y |x 3 4的特解是（A ）o A. x2 y2 25 B 3x 4y C C . x2y2 C D . x2 y27 16 .微分方程 dy 1 y 0的通解是 y ( b ) o dx x A . C B .Cx C .-C D . x C x x 17 .微分方程 y y 0的解為（B )0 A . ex B .e x C xx .e e D .ex 18 .下列函數(shù)中，為微

6、分方程xdx ydy 0的通解是（B ） O Cx2 y 0 A. x y C B . x2 y2 C C . Cx y 0 D 19.微分方程2ydy dx 0的通解為（A ） A.y x C B . y xC C . y x C D A. sin x cosy C B .cos y sin x C C. cosx sin y C D cosx sin y C 21. y e x的通解為y (C ) o A. x e B . e x C . e x C1 xC2 D .e x C1x C 22. 按照微分方程通解定義，y sinx的通解是（ A )o A. sin x C1x C2 B si

7、n x C1 C2 C. sin x C1x C2 D sin x C1 C2 20.微分方程cosydy sin xdx的通解是（D ） o 四、解答題 1.驗(yàn)證函數(shù)y C e3x e2x（C為任意常數(shù)）是方程巴 e 2x 3y的通解, dx 并求出滿足初始條件ylx。0的特解。 2 2 2.求微分方程 xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。 y Ixo 1 解：C , 2x2 y21 1 x 3.求微分方程魚tan的通解 dx x x 解：sin 丫 Cx o x y y 4.求微分方程y y x的特解。 y |x1 2 解：y2 2x2 ln x 2 解：y esinxx C 6

8、. 求微分方程 翌 sin x的通解。 dx x 1 解：ysi nx xcosx C x 7 7. 求微分方程x 1 y 2y x 1至0的特解。 y Ixo 1 2 31 八 解：y x 12 x 1 3 3 y 0 D . ln 2 x ln2y 1 7.微分方程1 x2 dy 1 y 2 dx 0的通解是（ A )。 A. arctan x arctan y C B . tan x tan y C C. ln x ln y C D cot x cot y C 8 .微分方程y sin x的通解是（C ）。 A.y sin x B .ysin x C. ysin xC1 |X C2 D

9、y sin x C1 x C 2 9 .方程xy y 3的通解是（ A ) 。 “C C 3 cC cC A. y3 B . y - C .y一 3 D . y3 x x x x 四、解答題 1.求微分方程 y 9y 24x 6 cos3x 2sin3x 的通解。 解：y 0 x cos3x C2 2x2 x sin x3x 2.求微分方程 y 7y 6y sin x 的通解。 解：y C1e6x C2ex 1 7 cosx 5sin x 74 3.求微分方程 3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0的通解。 C 解：y2 xy x2 x （） 、是非題 1 只要給出n階線性微分方程

10、的n個(gè)特解，就能寫出其通解。X 2 .已知二階線性齊次方程 y P x y Q x y 0的一個(gè)非零解y，即可 求出它的通解。（0 ） 二、填空題 1 .微分方程 y 4y 5y 0的通解是 y e2x Cicosx 2sinx。 2 .已知 y 1 , y x , y x2某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)解，則該方 程的通解為y e2x C1 cosx C2sin x。 3.微分方程 2y 2y ex的通解為y x e C1 cos x C2 sin x 1 。 三、選擇題 1.微分方程 1 牙的通解為（ x x 1 A. arctanx 1 arctan x x 1 C . arctanx

11、C D x .arctanx 2. 微分方程 1的通解是（ 3. 4. 5. A . y C exB . y C 3的解是() y 0 A . y 3 11 B . y x ex 1 D . 31 微分方程光x tanx的通解為（） A . sin Cx x B . sin x Cx C . .x sin y Cx .x sin y 1 Cx 已知微分方程 5 1 的一個(gè)特解為 7 2，則此微分 方程的通解是（） 2 11 C. C x 1 2 x 11 6.微分方程y 1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式 （式中a , b為常數(shù)）（） A . aex b B . axex b C . aex bx D .

12、axex bx 四、解答題 1.設(shè)y ex是微分方程xy p x y x的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件 y|x ln2 0的特解。 解：代入y ex到方程xy P x y x 中, 得p x x xex 原方程為xy xe x x y x y xe x e 1 C e ，y x e 1 y 1 / x In 2， y 0 二 C 1 e 2。 e yex 1 e x 1 2 。 2 .已知 y1 xex 2x e ， y2xe xx e ， y3 x2x xe e e x是某二階線性非齊次 微分方程的三個(gè)解，求此微分方程。 解：y y3 e x , y3 y2 e2x 2e x均是齊次方程的解

13、且線性無關(guān)。 Ge x C2 e2x 2e x是齊次方程的通解。當(dāng)Ci 2，C2 1時(shí)，齊次方程的 特解為e2x ex、e2x都是齊次方程的解且線性無關(guān)。 Cie x C2e2x是齊次方程的通解。 由此特征方程之根為-1 , 2,故特征方程r2 r 20。 相應(yīng)的齊次方程為y y 2y 0 故所求的二階非齊方程為 y y 2y f x yi是非齊次方程的特解代入上式得 x f x 1 2x e 所以y y 2y 1 2x ex為所求的微分方程。 3 .已知f 0 1 ,試確定f x，使ex f x ydx f x dy 0為全微分方程，并 2 求此全微分方程的通解。 解：P ex f x y， Q f x，由-Q 得 x y f x ex f x，即 f x f x ex dx dx 得全微分方程: ydx dy 0 解得u x, y x 0dx 0 ex -dy 2 ex 故此全微分方程的通解為e 2 3.y e 2x 的通解是-e 2x C1x C2。 4 1 4.ysin2xcosx 的通解是sin 2xcosx C1xC2。 4 5.xy2x2y2 x3y x4 51是3階微分方程。 6 .微分方程y y y 6 0是階微分方程。 2 4 .微分方程y 3y3的一個(gè)特解是（ 33 A .y x 1 B . y x 2 C . y 5 .函數(shù)y cosx是下列哪個(gè)