向量知識點題型歸納

1、專題 - 平面向量1. 向向量的相關(guān)概念、 、2. 向量的線性運算二向量的表示方法 ：4）已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2DB ，CD rAB sAC ，則r s的值是 答： 0）四實數(shù)與向量的積 ：實數(shù)1 arar , 2 當(dāng) 0 時，與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下：a 的方向與 a 的方向相同，當(dāng)0，且ra、br 不同向， ar br 0是 為銳角的必要非充分條件 ；當(dāng) 為鈍角時， a ? b 0；當(dāng) P點在線段1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點( 7,2)平移到點uuuur 延長線上時1；當(dāng) P點在線段 P2 P1的延長線

2、上時10；若點 P分有向線段 P1P2 所成uuuur 1的比為 ，則點 P分有向線段 P2P1所成的比為 1 。如y cos2x 1 ，則 a uuur uuur 若點P分AB所成的比為 3，則 A分BP所成的比為 42)函數(shù) y sin 2x的圖象按向量 a 平移后，所得函數(shù)的解析式是 答： ( 4,1)答： 73 )1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；12、向量中一些常用的結(jié)論 ：uuuur3線段的定比分點公式：設(shè) P1(x1,y1)、P2(x2,y2)， P(x,y)分有向線段 P1P2所成的比為，則x1 x21y1 y21x x1 = y y1 線段 P1P2

3、的中點公式 x2 x y2 y yx1 x22 y1 y2 。2在使用定比分點的坐標(biāo)公式2)|a| |b| |a b| |a| | b |，特別地，當(dāng) a、b同向或有 0 |a| |a|b|a| |b|a b|；當(dāng) a、b反向或有0|a b| |a|b| |a|b| |ab|；當(dāng) a、b 不共線時，在具體計算時應(yīng)根應(yīng)明確 (x, y)，(x1, y1)、(x2, y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo)|a| |b| |a b| |a| |b|( 這些和實數(shù)比較類似 ).。如據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比在 ABC 中，11)若 M(-3，-2)，N(6

4、，-1)，且 MP 3 MN，則點 P的坐標(biāo)為3答： ( 6, 73) )；31 uuuur uuur2)已知A(a,0),B(3,2 a)，直線 y 1ax與線段 AB交于M，且AM 2MB ，則a2等于若 A x1, y1 ,B x2,y2 ,C x3, y3 ，則其重心的坐標(biāo)為 G若ABC的三邊的中點分別為( 2，1)、(-3 ，4)、(-1，24( 32,43) )；x1 x2 x3y1 y23y3 。如-1 )，則 ABC的重心的坐標(biāo)為答：uuur uuur uuur rPA PB PC 0 P為 ABC 的重心；uuur uuur uuur uuur PG 31(PA PB PC)

5、 G 為 ABC的重心，特別地 3uuur uuur uuur uuur uuur uuur PA PB PB PC PC PAP 為 ABC 的垂心；uuur uuur 向量 ( uAuBuruAuCur )(0) 所在直線過 ABC的內(nèi)心( 是 BAC的角平分線所在直線 )；|AB | |AC |三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理 : 三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例（上右圖）題型一：共線定理應(yīng)用uuur uuur uuuruuruur4）向量 PA、PB、PC 中三終點 A、B、C 共線 存在實數(shù) 、 使得 PA PBuuruPC且1.如平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，

6、已知兩點 A（3,1） , B（ 1,3）,若點C滿足 OC1 OA 2 OB, 其中例一：平面向量 a,b 共線的充要條件是 （ ）A. a,b方向相 同 B. a,b 兩向量中至少有一個為零向量 C. 存在 R, b a D存在不全為零的實數(shù) 1, 2, 1 a 2 b 01, 2 R且 1 21, 則點 C 的軌跡是（答：直線 AB）12、向量與三角形外心.三角形外接圓的圓心 , 簡稱外心 . 是三角形三邊中垂線的交點 . （下左圖）變式一：對于非零向量 a,b，“a b 0”是“ a/ b”的（ ）A.充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件變式

7、二： 設(shè)a,b 是兩個非零向量（）A.若a b a_b則a b B. 若a b，則 a b a _b重心C. 若 a b a _ b ，則存在實數(shù) ，使得 ba D 若存在實數(shù) ，使得 ba，三角形三條中線的交點 , 叫做三角形的重心 .掌握重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的 2倍. （上右圖）三、垂心三角形三條高的交點 , 稱為三角形的垂心 . （下左圖）四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心 , 簡稱為內(nèi)心 . 是三角形三內(nèi)角平分線的交點例二：設(shè)兩個非零向量 e1與e2 ，不共線，（1）如果 ABe1e2,BC3e12e2 ,CD 8e12e2 ,求證： A,C,D三點共線；（2）如果 ABe1e2

8、,BC2e13e2 ,CD2e1ke2,且A,C,D三點共線，求實數(shù) k 的值。變式一：設(shè)e1與e2兩個不共線向量， AB 2e1 ke2,CB e1 3e2,CD 2e1 e2 ,若三點 A,B,D 共線， 求實數(shù) k 的值。變式二：已知向量 a,b，且 AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,則一定共線的三點是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D題型二：線段定比分點的向量形式在向量線性表示中的應(yīng)用例一：設(shè) P是三角形 ABC所在平面內(nèi)的一點， 2BP BC BA,則A. 0 PA PBB. 0 PC PA C.0 PB PC D. 0 PC PA

9、 PB變式一：已知 O是三角形 ABC所在平面內(nèi)一點， D為 BC邊的中點，且0 2OA OB OC ,那么（ ）若 AC a, BD b, 則 AF ( )A.11a b, B.21a b,1 1 1 2 C. a b, D. a b,42332 4 3 3題型三：三點共線定理及其應(yīng)用例一：點P在 AB上，求證： OPOA OB 且=1( ,R,)變式四：在平行四邊形 ABCD中，AC與 BD交于點 O,E 是線段 OD的中點，AE的延長線與 CD交于點 F，A. A0 OD B. A0 2OD C. A0 3OD D. 2A0 OD變式二： 在平行四邊形 ABCD中 AB示）a，AD b

10、， AN 3NC,M 為 BC的中點，則 MN （ 用 a,b 表例二：在三角形 ABC中， ABc，ACb,若點 D滿足 BD2DC , 則 AD ( )A.215b c, B. c3332b,3b,C.21 b c, D.3312b c,33變式一： （高考題） 在三角形 ABC中，點 D在邊 AB上，CD平分角 ACB,CB a，CA b, a 1,b 2,變式：在三角形 ABC中，點 O是 BC的中點，過點 O的直線分別交直線 AB、AC于不同的兩點 M和 N, 若 AB mAM, AC nAN,則 m+n=例二：在平行四邊形 ABCD中，E,F分別是 BC,CD的中點，DE與 AF交

11、于點 H,設(shè) AB a, BC b,則AH24242424A. ab, B. a b, C. a b, D. a b,55555555變式：在三角形 ABC中，點 M是 BC的中點，點 N是邊 AC上一點且 AN=2NC,AM與 BN相交于點 P,若 AP PM,求 的值。則 CD ( )題型四： 向量與三角形四心12213443A. ab, B.ab,C.ab, D.ab,33335555內(nèi)心變式二： 設(shè) D,E,F 分別是三角形 ABC的邊 BC,CA,AB上的點，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,則例一：O是 ABC所在平面內(nèi)一定點，動點 P滿足 OP OAAB AC (

12、 ),ABAC），重心 D. 垂心AD BE, CF 與 BC ( )則點 P 的軌跡一定通過 ABC的（ ）A. 外心 B. 內(nèi)心 C.A. 反向平行 B. 同向平行 C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形 ABCD中，E和F分別是邊 CD和 BC的中點，若 AC AE AF ,其 ,R,則變式一： 已知非零向量 AB與AC 滿足 （ ABAC ） BCABACAB AC，且 AB AACCAB12 ，則ABC為( )A. 等邊三角形 B. 直角三角形C.等腰非等邊三角形 D. 三邊均不相等的三角形變式二：AB PCBC PACAPB 0P 為 ABC的內(nèi)心、重心例一：O

13、是ABC內(nèi)一點， OCOAOB 0 ，則為ABC的( )A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D. 垂變式一：在ABC中，G為平面上任意一點，證明：GO13(GA GB GC )O為 ABC的重變式二： 在ABC中，G為平面上任意一點，證明：GO1 (AB AC)O 為 ABC的重心3三垂心：例一：求證：在 ABC中， OA OB OB OCOCOA O 為 ABC的垂心例一：若 O是 ABC的外心， H是 ABC的垂心，則 OH變式一：已知點 O，N，P 在 ABC所在平面內(nèi)，且 OAPA PB PB PCA. 重心、外心 、垂心C. 外心 、重心、垂心題型五：向量的坐標(biāo)運算OA OC OBOBOC

14、 , 0 NA NB NC ，PC PA ，則 O， N， P依次是例一： 已知 A(-2,4),B(3 ，標(biāo)。變式一： 已知平面向量 aB. 重心、外心 、內(nèi)心D. 外心 、重心、 內(nèi)心ABC的(變式一：O 是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點 ，動點 P 滿 足-1) ，C(-3 ，-4) ，且CM 3CA,CN( 3, 1),b (21 , 23 ),向量 x a2CB , 試求點 M,N和 MN 的坐t 3)b, y ka tb, 其中t和k 為不同時為零的實數(shù)，(1)若xy，求此時k和t 滿足的函數(shù)關(guān)系式 k=f(t);(2) 若x/ y，求此時 k 和 t 滿足的函數(shù)關(guān)

15、系式 k=g(t).變式二：平面內(nèi)給定 3個向量 a (3,2),b ( 1,2),c (4,1) ，回答下列問題。(1)求3a b 2c；OP OA (ABAC2)求滿足 a mb nc的實數(shù) m,n;(3) 若(a kc)/(2b a) ，求實數(shù) k；(4)設(shè) (x, y)滿足 (d c)/(a b) 且 d c1 ，求 d 。AB COSBAC COSC ),R, 則點 P 的軌跡一定通過 ABC的()題型六：向量平行(共線) 、垂直充要條件的坐標(biāo)表示A. 外心B.內(nèi)心 C. 重心D. 垂心例一：已知兩個向量 a (1.2),b ( 3,2) ,當(dāng)實數(shù) k取何值時，向量 ka 2b與2a

16、 4b平行？四外心變式一：設(shè)向量 a,b 滿足|a|= 2 5 ， b=(2,1 )，且 a與 b反向，則 a坐標(biāo)為例二：已知向量 OA （k,12）,OB （ 4,5）, OC （ k,10）且 A,B,C 三點共線，則 k=（ ）A: 3 B: 2 C: 2 D: 32 3 3 231變式一： 已知 a （3sin ）,b （cos ,1）, 且 a/b ，則銳角為 23變式二：ABC的三內(nèi)角 A,B,C所對邊的長分別為 a,b,c 設(shè)向量 p （a c, b）, q （b a,c a）,若 p/q， 則 C的大小為（）A: B: C: D:6 3 2 3題型七：平面向量的數(shù)量積若BQ C

17、P 2, 則 =（ ）A: 1 B: 233例三：已知向量 a,b,c滿足 a b c 0變式一：變式二：變式三：在 ABC中，若 AB已知向量 a,b, c滿足 a已知向量 a,b, c滿足 a題型八：平面向量的夾角3,BC4, ACbcbc0,且aC: 4 D:236, 則 AB BC BC CA CA ABb1b, a 1,b2, 則 c0,且（a b） c,a b,1,則2 2 2 abc例一：已知向量 a （1, 3）,b （ 2,0）,則a與b的夾角是例一：（1）在 RtABC中， C=90， AC=4，則 AB AC （ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16例二：已知 a,

18、b是非零向量且滿足（a 2b） a,（b 2a） b,則a與b的夾角是變式一： 已知向量 a,b, c滿足 a 1,b 2,c a變式二：已知 a, b是非零向量且滿足 a b ab,a c,則 a與b的夾角是b,則 a與a b的夾角是（2）（高）已知正方形 ABCD的邊長為 1，點 E是AB邊上的動點，則DE CB的值為；DE CB的最大值為 3）在ABC中，M是BC中點，AM=1，點P在AM上滿足 AP 2PM ，則PA （PB PC）等于（ ）A:B:C:D:變式一： （高） 如圖所示，平行四邊形 ABCD中， APBD，垂足為 P，且 AP=3，則 AP AC =變式二：在ABC中，A

19、B=1，BC= 2 ，AC= 3 ，若O為ABC的重心，則 AO AC的值為變式三： 若向量 a與b 不共線， a b 0,且c a （a a）b,則 a與c 的夾角是 ab變式四： （高） 若向量 與 滿足 1,1,且以向量 與 為鄰邊的平行四邊形的面積為 . ，則與 的夾角的取值范圍是例二：（高）在矩形 ABCD中，AB= 2 ,BC=2,點E為BC的中點，點F在邊 CD上，若AB AF 2,則 AE BF的值是例二：已知a 2,b 1， a與b的夾角為 450，求使向量a b與 a b的夾角為銳角的 的取值范 圍。變式一：（高）在ABC中， A 900, AB 1,AC=2.設(shè)點 P,Q

20、滿足 APAB,AQ （1 ）AC, R,變式一：設(shè)兩個向量e1,e2，滿足e1 2,e2 1，e1與e2的夾角為 3 ，若向量2te1 7e2與e1 te2的夾角為鈍角，求實數(shù) t 的范圍變式二：已知 a與b 均為單位向量，其夾角為2p1 :ab1 0, 3 );p2 : ap4 :ab1 ( , ; 其中的真命題是，有下列b3)A.4 個命題：(23p1, p4;p3 : a b 10,3);題型九：平面向量的模長例一： 已知 a5 ，向量 a與b 的夾角為 ，求 a3b，B.p1, p3 C. p2,p3 D.p2,p4b。變式一： 已知向量 a與b 滿足 a1,2,a b2 ，則 ab

21、=變式二： 已知向量 a與b 滿足 a1,b2, a與b的夾角為 3，則a變式三： 在 ABC中，已知 AB 3, BC4, ABC 600,求 AC .例二： 已知向量 a與b的夾角為 2 ，33,a b 13,則b =變式一：(高) 已知向量 a與b 的夾角為 ，且41,2a b10,則 b=變式二：設(shè)點 M是線段 BC的中點，點 A在直線 BC外， BC 16, AB AC = AB AC , 則 AM變式三：已知向量 a (2,4),b ( 1,2) ，若 c a (a b)b,則 c例三：已知向量 , ( 0, ) ，滿足1，且 與的夾角為 1200，則 的取值范圍是變式一： 已知單位向量 a,b,c，且a b 0，(a c) (b c) 0,則a b c 的最大值為變式二： (高)已知直角梯形 ABCD中， AD/BC, ADC 900 ,AD=2，BC=1，P是腰 DC上的 動點，則PA 3PB 的最小值為題型十：平面向量在三