2020-2021學年高中數學 第一章 常用邏輯用語 1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關系學案新人教A版選修1-1

1、2020-2021學年高中數學 第一章 常用邏輯用語 1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關系學案新人教a版選修1-12020-2021學年高中數學 第一章 常用邏輯用語 1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關系學案新人教a版選修1-1年級：姓名：11.2四種命題 11.3四種命題間的相互關系內容標準學科素養(yǎng)1.了解命題的四種形式，會寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題2.理解并掌握四種命題之間的關系及其真假性關系3.能夠利用命題的等價性解決有關問題.利用數學抽象提高邏輯推理授課提示：對應學生用書第4頁基礎認識知識點一四種命題請將命題“正弦函數是周期函數”改寫成“

2、若p，則q”的形式提示：若f(x)是正弦函數，則f(x)是周期函數觀察下面四個命題：(1)若f(x)是正弦函數，則f(x)是周期函數(2)若f(x)是周期函數，則f(x)是正弦函數(3)若f(x)不是正弦函數，則f(x)不是周期函數(4)若f(x)不是周期函數，則f(x)不是正弦函數命題(1)與其他三個命題的條件與結論之間有什么關系？提示：命題(2)的條件和結論分別是命題(1)的結論和條件，命題(3)的條件和結論分別是命題(1)的條件的否定和結論的否定命題(4)的條件和結論分別是命題(1)的結論的否定和條件的否定 知識梳理四種命題的定義如下表所示名稱闡釋互逆命題對于兩個命題，如果一個命題的條件

3、和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題互否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題互為逆否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆否命題.知識點二四種命題的相互關系設：命題(1)“若p，則q”是原命題，那么：命題(2)“若q，則p”是原命題的逆命

4、題，命題(3)“若綈p，則綈q”是原命題的否命題，命題(4)“若綈q，則綈p”是原命題的逆否命題你能發(fā)現它們之間有什么關系嗎？1根據定義，如果把命題(2)稱為原命題，那么其他三個命題分別是命題(2)的什么命題？提示：命題(1)是命題(2)的逆命題命題(3)是命題(2)的逆否命題命題(4)是命題(2)的否命題2如果把命題(3)稱為原命題呢？提示：命題(1)是命題(3)的否命題命題(2)是命題(3)的逆否命題命題(4)是命題(3)的逆命題 知識梳理四種命題間的關系知識點三四種命題的真假性關系原命題，逆命題，否命題，逆否命題的真假有什么聯系？原命題(1)若f(x)是正弦函數，則f(x)是周期函數；逆

5、命題(2)若f(x)是周期函數，則f(x)是正弦函數；否命題(3)若f(x)不是正弦函數，則f(x)不是周期函數； 逆否命題(4)若f(x)不是周期函數，則f(x)不是正弦函數判斷以上四個命題的真假提示：原命題(1)是真命題，它的逆命題(2)是假命題，它的否命題(3)也是假命題，而它的逆否命題(4)是真命題知識梳理四種命題間的真假關系原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四種命題的真假性之間有如下關系：(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系自我檢測1命題“若a3，則a6”以及它的逆命題、否命題、逆否

6、命題中，真命題的個數為()a1b2c3 d4答案：b2命題“若ab，則2a2b1”的否命題是_答案：若ab，則2a2b1授課提示：對應學生用書第5頁探究一四種命題及其關系教材p6練習(3)寫出命題“奇函數的圖象關于原點對稱”的逆命題、否命題、逆否命題解析：逆命題：“若一個函數的圖象關于原點對稱，則這個函數是奇函數”否命題：“若一個函數不是奇函數，則這個函數的圖象不關于原點對稱”逆否命題：“若一個函數的圖象不關于原點對稱，則這個函數不是奇函數”例1寫出下列各個命題的逆命題、否命題以及逆否命題：(1)若sin ，則tan ；(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；(3)當1x2時，x23x20；(

7、4)若ab0，則a0或b0.解析(1)逆命題：若tan ，則sin .否命題：若sin ，則tan .逆否命題：若tan ，則sin .(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高(3)逆命題：若x23x20，則1x2 018，則x0”的否命題是()a若x2 018，則x0b若x0，則x2 018c若x2 018，則x0d若x0，則x2 018解析：否命題需將條件和結論分別否定，所以否命題為：若x2 018，則x0.答案：c探究二四種命題的真假判斷教材p8習題1.1a組2

8、題寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：(1)若a，b都是偶數，則ab是偶數；(2)若m0，則方程x2xm0有實數根解析：(1)逆命題：“若兩個整數a與b的和ab是偶數，則a，b都是偶數”，假命題否命題：“若兩個整數a，b不都是偶數，則ab不是偶數”，假命題逆否命題：“若兩個整數a與b的和ab不是偶數，則a，b不都是偶數”，真命題(2)逆命題：“若方程x2xm0有實數根，則m0”，假命題否命題：“若m0，則方程x2xm0無實數根”，假命題逆否命題：“若方程x2xm0無實數根，則m0”，真命題例2判斷下列各個命題的真假：(1)“對頂角相等”的逆命題；(2)“直角三角形的兩銳角

9、互為余角”的逆否命題解析(1)法一：“對頂角相等”的逆命題是“若兩個角相等，則它們是對頂角”，是假命題法二：“對頂角相等”的否命題是“若兩個角不是對頂角，則它們不相等”，顯然是假命題，而逆命題和否命題等價，故“對頂角相等”的逆命題是假命題(2)法一：“直角三角形的兩銳角互為余角”的逆否命題是“若一個三角形的兩個銳角不互為余角，則這個三角形不是直角三角形”，是真命題法二：由于命題“直角三角形的兩銳角互為余角”是真命題，而原命題與逆否命題等價，因此“直角三角形的兩銳角互為余角”的逆否命題是真命題方法技巧判斷一個命題的真假通常有以下兩種方法(1)分清該命題的條件與結論，直接對該命題的真假進行判斷；(

10、2)不直接寫出命題，而是根據命題之間的關系進行判斷，即原命題與其逆否命題等價、逆命題與否命題等價，特別是當命題本身不容易判斷真假時，通常都通過判斷其逆否命題的真假來實現跟蹤探究3.下列命題中為真命題的是()a命題“若x20，則x1”的逆否命題b命題“若x1，則x21”的否命題c命題“若x2x20，則x1”的逆命題d命題“若xy，則x|y|”的逆命題解析：a中逆否命題與原命題同真假，原命題假，故錯誤；b中命題的否命題是“若x1，則x21”，當x2時不成立；c中命題的逆命題是“若x1，則x2x20”，當x2時，x2x20，故錯誤；d中命題“若xy，則x|y|”的逆命題是“若x|y|，則xy”，無論

11、y是正數、負數、零都成立答案：d探究三等價命題的應用閱讀教材p8例4及解答證明：若x2y20，則xy0.題型：利用互為逆否命題的真假性相同，判斷命題的真假方法步驟：假設x，y中至少一個不為0，得到x2y20.這就證得原命題的逆否命題為真命題從而原命題為真命題例3求證：當a2b2c2時，a，b，c不可能都是奇數證明構造命題p：若a2b2c2，則a，b，c不可能都是奇數該命題的逆否命題是：若a，b，c都是奇數，則a2b2c2.下面證明該逆否命題是真命題由于a，b，c都是奇數，則a2，b2，c2都是奇數，于是a2b2必為偶數，而c2為奇數，所以有a2b2c2，故逆否命題為真命題，從而原命題也是真命題

12、方法技巧由于原命題與其逆否命題是等價的，因此當不容易直接證明一個命題是真命題時，則按“正難則反”的思想去思考，分析題目，證原命題的逆否命題成立跟蹤探究4.證明：若a24b22a10，則a2b1.證明：命題“若a24b22a10，則a2b1”的逆否命題為“若a2b1，則a24b22a10”由a2b1，得a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b24b14b24b210，顯然原命題的逆否命題為真命題，所以原命題也為真命題故原命題得證授課提示：對應學生用書第6頁課后小結(1)四種命題首先找清原命題的條件和結論，然后：交換原命題的條件和結論，得到逆命題；同時否定原命題的條件和結論，得到否命題；交換原命題的條件和結論，并且同時否定，得到逆否命題(2)四種命題的真假判斷原命題與它的逆否命題同真假，原命題的逆命題和否命題互為逆否命題也具有相同的真假性所以對于一些命題的真假判斷(或證明)，我們可以借助與它同真假的(具有逆否關系的)命題來判斷(或證明)素養(yǎng)培優(yōu)1不能正確否定命題的條件或結論致誤寫出命題“若x2y20，則x，y全為0”的否命題易錯分析對結論的否定不正確“x，y全為0”的否定應為“x，y不全為0”，而不是“x，y全不為0”，考查邏輯推理的數學素養(yǎng)自我糾正“若x2y20，則x，y全為0”的否命題是“若x2y20，則x，y不全為0”2判斷命題真假