拉普拉斯變換

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔第7章拉普拉斯變換拉普拉斯(Laplace)變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的一種簡(jiǎn)便的方法，而且在 自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用.本章將扼要地介紹拉普拉斯變換(以下簡(jiǎn)稱拉氏變換)的基本概念、主要性質(zhì)、逆變換以及它在解常系數(shù)線性微分方程中的應(yīng)用.7.1拉氏變換的基本概念在代數(shù)中，直接計(jì)算 3N =6.28唱觀曲02 .代礦是很復(fù)雜的，而引用對(duì)數(shù)后，可先把上式變換為13lg N -lg 6.28 (lg 5781 -Ig9.82lg20)Ig1.16435,然后通過(guò)查常用對(duì)數(shù)表和反對(duì)數(shù)表，就可算得原來(lái)要求的數(shù)N .這是一種把復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單運(yùn)算的做法，而拉氏變換則是

2、另一種化繁為簡(jiǎn)的做法.一 f(t)edt0在P的某一區(qū)域內(nèi)7.1.1拉氏變換的基本概念定義 設(shè)函數(shù)f (t)當(dāng)t 一 0時(shí)有定義，若廣義積分收斂，則此積分就確定了一個(gè)參量為 P的函數(shù)，記作F(P)，即 訟tF(P) = f(t)edt(7-1 )L 0稱 (7-1 )式為函數(shù)f(t)的拉氏變換式，用記號(hào)Lf(t)=F(P)表示.函數(shù)F(P)稱為f(t) 的拉氏變換(Laplace)(或稱為f(t)的象函數(shù)).函數(shù)f(t)稱為F ( P)的拉氏逆變換(或稱 為F(P)象原函數(shù))，記作LF(P) = f(t)，即 f(t) = LF(P).關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點(diǎn)說(shuō)明：(1) 在定義中，只

3、要求f(t)在t -0時(shí)有定義為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后總 假定在t ：0時(shí)，f (t) = .(2) 在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數(shù)P是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值.為了方便起見(jiàn)，本章我們把 P作為實(shí)數(shù)來(lái)討論，這并不影響對(duì)拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用.(3) 拉氏變換是將給定的函數(shù)通過(guò)廣義積分轉(zhuǎn)換成一個(gè)新的函數(shù)，它是一種積分變換.般來(lái)說(shuō)，在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的.例7-1求一次函數(shù)f(t)二at( t0, a為常數(shù))的拉氏變換.亠 a 亠 at - a 亠L(fēng) at atedt 二-一 tdCe) =一e_PtJeH3tdt解0P 0PP 0a-pta -pta=0 . e

4、dt e 02, c、p 0pp (p 0).7.1.2單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動(dòng)勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流時(shí)，要涉及到我們要介紹的脈沖函數(shù)，在原來(lái)電流為零的電路中，某一瞬時(shí) (設(shè)為t =0)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn)要確定電路上的電流i(t)，以Q(t)表示上述電路中的電量，則Q(t)50,t = 0,t =0.1,精彩文案由于電流強(qiáng)度是電量對(duì)時(shí)間的變化率，即實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔精彩文案./+、 dQ(t) Q(t+At)Q(t)i (t)limdt -0所以，當(dāng)t = 0時(shí)，i(t) =0 ；當(dāng)t = 0時(shí)，Q(0 ：t) -Q(0)/1、i(0) = limlim ()：WAtWA

5、t上式說(shuō)明，在通常意義下的函數(shù)類(lèi)中找不到一個(gè)函數(shù)能夠用來(lái)表示上述電路的電流強(qiáng) 度.為此，引進(jìn)一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為狄拉克函數(shù).定義t ：00,稱為狄拉克(Dirac )函數(shù)，簡(jiǎn)稱為t ；，當(dāng)二一；0時(shí)，：；(t)的極限、.(t) = lim. (t)；0 :一函數(shù).當(dāng)t = 0時(shí)，：(t)的值為0 ；當(dāng)t =0時(shí)，：(t)的值為無(wú)窮大, 和；(t)的圖形如圖7-1和圖7-2所示.6(t)即等于亠 1、；(t)dtdt=1顯然，對(duì)任何； 0,有二0 ；，所以工程技術(shù)中，常將: -函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，有些工程書(shū)上，將：-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度 1的有向線段來(lái)表示(如圖7-2所示)，這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示

6、-函數(shù)的積分，叫做-bo、(t)dt =1a函數(shù)的強(qiáng)度.例7-2 求(t)的拉氏變換.解根據(jù)拉氏變換的定義，有-pcz 1L卜(t)二 edt 二 (lim )edt lim- 0 旨 1 -e=-0pt1 e =lim - ； p0plimplim訟tZ 1 t0 e dt =lime dt1 pe ;lim1p ：.o 17-3求單位階梯函數(shù)u(tt ：0-teLu(t)二.0u(t)eTtdt7-4求指數(shù)函數(shù)Leat一 =0f (t) = eatat - pte e dt(1 _ep )(；)t - 的拉氏變換.:iLj11=-丄 e0P-pt01p , (P 0)a為常數(shù))的拉氏變換.

7、4=c1e_(p)tdt_ (p a)0P _ a，即Leat(p a)p _ acopLsint 22 (p 0) Lcos t 22 (p 0)類(lèi)似可得p；p 習(xí)題7 - 1求1-4題中函數(shù)的拉氏變換1. f(t)=e.22. f(t).3. f =teat4. f(t)=sin(：)( , 是常數(shù)).7.2拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換有以下幾個(gè)主要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，性質(zhì)1 （線性性質(zhì)）若& , a2是常數(shù)，且 則La1fdt） a2f2（t）二泌戸a2Lf2（t）證明可以求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的拉氏變換.Lft）二 Fg , Lf2（t）二 F2（p）,-a1F1 (P)a2F2( p)(7-

8、2 )4=0-heLa1f1(t) a2f2(t)二.a/dt) a? f2(t) edt = af1 (t)ptdta?.0 0=&丄辦(圳 a2Lf2(t) =aF(p) a2F2(p) 例7-5 求下列函數(shù)的拉氏變換：1 f(t) = (1-e)a ;(LetH 1L1Laaf2(t)etdt0(1)解1L (1-ea-at ie =f (t) = sintcost11 =p a(2)性質(zhì)2Lsintcost二 sin 2t二 12 22p22211p1p241p(p a)證明(平移性質(zhì))若L f (t)二F(p)Leatf(t) = F(pa)Leatf(t)二eatf(t)edt 二

9、0，則（a為常數(shù)）.二 F（p-a）0(7-3 )位移性質(zhì)表明：象原函數(shù)乘以 eat等于其象函數(shù)左右平移a個(gè)單位.例 7-6 求 Lteat , Letsi門(mén)眥和 Let cot.1pLtLsiZt= 2* 2 Lcos灼t = 2 “2解因?yàn)閜 ,p ,p ，由位移性質(zhì)即得at1atLte 2， Le sin t22，(P-a)2(p+a)2 心Le_at cos t22(p+a)2 心 若 Lf(t) =F(p)-a)ePF(p)性質(zhì)3 (滯后性質(zhì))Lf(t，則(a 0)a(7-4 )證明-heLf(t-a)= f(t-a)etdtf (a)e_pidtL 0_ 0L a-bef (t -

10、a)etdt在拉氏變換的定義說(shuō)明中已指出，當(dāng) t a ： 0 (即 t : a)時(shí)， 分，令t -a ，則由于函數(shù)f(t _a)值，正是這個(gè)道理，我們才稱它為滯后性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中，為了突出“滯后”這一特點(diǎn), 常在f(t -a)這個(gè)函數(shù)上再乘曰、匕是當(dāng)t - a時(shí)才有非零數(shù)值.故與f(t)相比，在時(shí)間上滯后了一個(gè) au(t - a)，所以滯后性質(zhì)也表示為L(zhǎng)u(t-a)f(t-a)=epF(p)7-7求 Lu(t -a)1Lu(t _a) =ep丄由滯后性質(zhì)得p-)因?yàn)?Lu(t) = p7-8 求 Lea(t ju(tLeat=丄Lea(t-)u(t- ) =ep 1因?yàn)閜 a，所以7-9求下列

11、函數(shù)的拉氏變換：P a，(p a)f (t)=丿(1)c1,0 wt 蘭 a,c2,at.(2)3,f(t)T7.0,0 乞 t : 2,2 乞 t : 4,4空t.t : 0時(shí)，f (t) = 0 .因此，對(duì)于函數(shù)f (t - a)，當(dāng) f (t - a) = 0，所以上式右端的第一個(gè)積分為0，對(duì)于第二個(gè)積Lf(ta)f()e( a)d. =epf C)ed. =epF(p) 0 0滯后性質(zhì)指出：象函數(shù)乘以 ep等于其象原函數(shù)的圖形沿t軸向右平移a個(gè)單位(如圖7-3所示).解(1)由圖7-4容易看出，當(dāng)t-a時(shí)，f(t)的值是在c1的基礎(chǔ)上加上了( c2-G),即 G)u(t a).故可把

12、f (t)寫(xiě)成 f (t) =c,u(t) + cju(t a)，于是Lf(t)HC1p.C2 -GpepG -G)epp(2 )仿(1),把 f (t)寫(xiě)成 fQFuQ-4u(t-2)十 u(t-4)，于是3L f P2p4 p4e e+P P3-4尹_4P我們可以用拉氏變換定義來(lái)驗(yàn)算例7-9所得的結(jié)果.由例7-9看出，用單位階梯函數(shù)可將分段函數(shù)的表達(dá)式合寫(xiě)成一個(gè)式子.c,0 蘭 t c a f(t)二2c,a Et c3a例 7-10 已知.,t 3a ，求 L f (t).解：如圖7-5所示，f(t)可用單位階梯函數(shù)表示為f(trcu(t) cu(t-a)-2cu(t-3a), 于是L

13、f(t)二 Lcu(t) cu(t a) 2cu(t 3a)c c -apc -3apcap3ape -2 e(1 e -2e )PPPP,由拉氏變換定義來(lái)驗(yàn)證：a3aLf(t)= cedt2cedt0)4Lf(t) = pF(p) f()L f (n) (t)H pnF(p)p2f(0) + pnr(0) + .+ f(T(0)5/F(p)LJ f(x)dx- 0p61pLf(at)=-F(上)aa(a0)7Ltnf(t)=(1)nF(n)(p)8f (t)咼L F(p)dp tp表7-2常用函數(shù)的拉斯變換表序號(hào)f(t)F(p)16(t)12u(t)1 p3t12 p4tn( n=1,2,.

14、)n!n* p5eat1Pa61 -etaP(p+a)7teat1(P-a)28tneat (n = 1,2,)n!/、n出(P-a)9sincotQ2丄2p +國(guó)10costp2丄2p11si nt +e)psin W cos2 I、2 p十12COS(at + 申)pcos co sin p2 +co213t si ncot2p(p2g2)214sin cot cot cosE2灼3 2 2、2(p + 國(guó))15t coscot2 2p 一國(guó)/2 丄22(p + )16_at丄e sin cotCOz、22(p +a)17et cos cotp + a(p +a)2 +時(shí) 2181-2 (

15、1 cos at) a12 2p(p +a )19_atbte - ea - b(p-a)(p-b)202匸2仏px p211Virt丄 J p習(xí)題7-2求5-12題中函數(shù)的拉氏變換5.3e.67.sin 2tcos2t8-1,0蘭t蘭4,9.f(t) =1,24.0,0 Et 2,1,2 Et V4,11.f(t) =24軌10125sin2t -3cost3 .sin t.sin t, 0 空 t 空:, f(t) = t,兀.f(t) =tneat7.3拉氏變換的逆運(yùn)算前面我們主要討論了怎樣由已知函數(shù) 面是已知象函數(shù) F ( p)要求它的象原函數(shù) 氏變換的性質(zhì)用逆變換形式一一列出. 性質(zhì)

16、1(1f求它的象函數(shù)F ( P)的問(wèn)題運(yùn)算法的另 f(t)，這就是拉斯逆變換問(wèn)題同時(shí)把常用的拉線性性L，a1F1(p) a2F2(p)二 aLF1(p) a2LF2(p) = a (t) a2f2(t). 性質(zhì) 2 (平移性質(zhì))L二F(p-a)二eatLF(p)二eatf(t). 性質(zhì) 3 (滯后性質(zhì))LJLepF(p)二 f(t-a) u(t-a).例7-15 求下列象函數(shù)的逆變換：1 F(p) =(1) p 3 ；2p 5F(P)(3)p ;F(p)(2)F(P)(4)41f(t)二L13(P-2)；4p_3_ P2 4 .解(1 )將a = -3代入表二(5)，得(2)由性質(zhì)2及表二(4

17、)，得f(t)二 L1(P-2)(3) 由性質(zhì)1及表二(1 2 p 5 f(tHL 2 P(4) 由性質(zhì)1及表二(f(t)亠筲 3 =4L-p +4p +42p 3F(p) - 2 o +例7-16求p _2p 5的逆變換.七込常2t 11 ,= e L -y p2)、(3),得1 - =2L -5L p9)、 (10),得/ h|l22te23tHe12!12 2tLte12】=2-5tP123=4cos2t sin2tp 42f(t)二L解P -2p 5(p-1)41 p 15 _1= 2L-LJ (p-1)2+42-2etLJ占5etL4尋 p2 +42p2+455=2et cos2te

18、t sin 2t = et2cos2tsin 2t22.在運(yùn)用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)有問(wèn)題時(shí)，通常遇到的象函數(shù)常常是有理分式，于有理分式一般可采用部分分式方法將它分解為較為簡(jiǎn)單的分式之和，然后再利用拉氏變換表求出象原函數(shù).22(p-1)42例 7-17F(P)二 求p25P 6的逆變換.F(P)分解為兩個(gè)最簡(jiǎn)分式之和P 2p 3p 976B 一6 ,所以p25p 6P 2 一p 361i1、_ = 7LJ-6L =7ep 3P 2p 36e曰 疋2(P 2)A=2, B = 3, C =用待定系數(shù)法求得442，所以3=4P2p 2 (p 2)11 3 1f (t) = L F(p) = L

19、 4 p 433e431112 4 p 4 p 22 (p 2)H1LJ12P 22 (p 2)21 +_2tte2習(xí)題7-3求13-18題中函數(shù)的拉氏逆變換2F(P)13.F(p)15.F(p)p-3 .2p -8 p236 .P22141617.p3 6p2 9p18F(P)仁F(P)二 p(p+1)(p+2).P2 +1F(p)2P(P-1)2p 92p 5p 6(p 2)( p 3)用待定系數(shù)法求得 A = 7,117f(t) =LF(p) =Lp+2p +3 F(P23 丄：2 例7-18求p 4p 4P的逆變換.解 先將F ( P)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單分式之和：p 3p 3 A BC”，

20、T-322p 4p 4P P( p 2) p p 27.4拉氏變換應(yīng)用舉例下面舉例說(shuō)明拉氏變換在解常微分方程中的應(yīng)用.例7-19求微分方程x(t)+2x(t)=0滿足初值條件x(0)=3的解.解 第一步對(duì)方程兩邊取拉氏變換，并設(shè)Lx(t)H X(p):Lx(t)+2x(t)=L0Lx(t)2Lx(t) =0pX(p) _x(0)2X(p) =0將初始條件x(0)二3代入上式，得(p+2)X(p)=3 .這樣，原來(lái)的微分方程經(jīng)過(guò)拉氏變換后，就得到了一個(gè)象函數(shù)的代數(shù)方程.3 第二步解出 X(P)： X(p)= p 2 .11 3_2tx(t)=LX(p) = LJ =第三步求象函數(shù)的拉氏逆變換：p 2.這樣就得到了微分方程的解 x(t) =3et.由例7-19可知，用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程的方法的運(yùn)算過(guò)程如表7-3 :y(0) =2，y (0) = -1 的解.解 對(duì)所給微分方程的兩邊分別作拉氏變換