直線與圓的方程典型例題剖析

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過(guò)兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系.分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小， 而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系， 只須看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系， 若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑， 則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi).解法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a) 2例2求半徑為4,與圓x y 4x 2y4=0相切，且和直線 y=0相切的圓的方程.亠(y-b)2 = r2.圓心在y = 0上，故b = 0 .圓的方程為(x-a)2，y2=r2.又

2、該圓過(guò) A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn).廠22.(1 a) +16 =r 丿2 2(3a) +4=r解之得：a 1 , r2 =20.所以所求圓的方程為(x 1)2 y2 =20.解法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)因?yàn)閳A過(guò) A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段 AB的垂直平分線丨上，又因?yàn)? 一2kAB1，故I的斜率為1，又AB的中點(diǎn)為(2,3)，故AB的垂直平分線I的方程為：1-3y -3 = x -2 即 x - y 1=0 .又知圓心在直線 y =0上，故圓心坐標(biāo)為 C(-1,0)半徑 r = AC| =J(1 +1)2 +42 =V20 .故所求圓的方程為(x 1)2 y

3、20 .又點(diǎn)P(2,4)到圓心C(-1,0)的距離為d =|PC = J(2+1)2 +42 25 r .點(diǎn)P在圓外.分析：根據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓C:(x-a)2 (y-b)2二r2.圓C與直線y = 0相切，且半徑為4,則圓心C的坐標(biāo)為G(a,4)或C2(a,_4).又已知圓x2 y2-4x-2y-4 = 0的圓心A的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為3.若兩圓相切，則 CA = 47或CA = 4-3=1.(1) 當(dāng) Ci(a,4)時(shí)，(a-2)2 (4-1)2=72 ,或(a-2)2 (4-1)2 = 12 (無(wú)解),故可得 a =2 _2.10 .所

4、求圓方程為(x-2 -2 一 10)2 (y 一4)2 =42，或(x-2 2.10)2 (y4)2 .(2) 當(dāng) C2(a,-4)時(shí)，(a-2)2 (-4-1)2=72 ,或(a - 2)2 (-4 一 1)2 = 12 (無(wú)解),故a = 2 _2 6所求圓的方程為(x-2-26)2，(y，4)2 =42，或(x-2 6)2 (y 4)42 .說(shuō)明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線y=0相切且半徑為4 ,則圓心坐標(biāo)為C(a,4),且方程形如2 2 2 2 2 2 2 2(x - a) (y -4) =4 .又圓 x y -4x-2y-4=0，即(x-2)(y-1) =3，其圓心

5、為A(2,1)，半徑為3.若兩圓相切，則 CA = 4+3 .故(a2)2 +(4 1)2 =72，解之得 a = 22i0 .所 以欲求圓的方程為(X-2-2J0)2 (y-4)2 =42，或(x-2 2.10)2 (y-4)2 =42 .上述誤解只考慮了圓心在直線y = 0上方的情形，而疏漏了圓心在直線y = 0下方的情形.另外，誤解中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的情況.也是不全面的.例3求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,5)，且與直線x-2y =0和2x y = 0都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn) A，故只需確定圓心坐標(biāo).又 圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分

6、線上.解：圓和直線x-2y=0與2x，y=0相切，圓心C在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線 x -2y =0和2x 0的距離相等.|x?y|_|x+?y|55兩直線交角的平分線方程是x 30或3x-y=0 .第3頁(yè)共21頁(yè)又圓過(guò)點(diǎn) A(0,5),圓心C只能在直線3x-y=0上.設(shè)圓心C(t ,3t)/ C到直線2x+y=0的距離等于 AC2t +3t|52 2=t2 (3t-5)化簡(jiǎn)整理得t2 -6t -5=0 .解得：t =1或t=5圓心是(1,3)，半徑為.5或圓心是(5,15)，半徑為5 5 .所求圓的方程為(x-1)2 (y _3)2 =5或(x_5)2 (y-15)2 =12

7、5.說(shuō)明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到 圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法.例4、設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為2； (2)被x軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線丨：x-2y=0的距離最小的圓的方程.分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.滿足兩個(gè) 條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線 的距離公式，通過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方 程.解法一：設(shè)圓心為

8、P(a , b)，半徑為r.貝U P到x軸、y軸的距離分別為b和a .由題設(shè)知：圓截 x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為 90，故圓截x軸所得弦長(zhǎng)為.2r .2 2 r = 2b又圓截y軸所得弦長(zhǎng)為2 . r2 二a2 1.又 P(a,b)到直線x-2y =0的距離為a2b92 5d2 = a -2b2 2=a 4b - 4ab_a2 4b -2(a2 b2)2 2二 2b a 1當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)dmin,55這時(shí)有C-a1Pi又=2b2 =2故所求圓的方程為(x -1)2 (y -1)2-2或(x 1)2 (y 1)2 =2解法二：同解法一，得a2b a -2b = 5d . a2

9、 =4b2 -4 . 5bd 5d2.將a2 =2b2 -1代入上式得：2b2 一4 5bd 5d2 1 = 0 .上述方程有實(shí)根，故2：=8(5d -1)-0, d 二.55將d代入方程得b = 1.5又 2b2 二 a2 1 a = 一1 .a2b=1知a、b同號(hào).第6頁(yè)共21頁(yè)故所求圓的方程為（x-1）2 （y 1）2 =2或（x 1）2 （y 1）2 .說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢?類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓O: x2 y 4，求過(guò)點(diǎn)P 2,4與圓0相切的切線.解：點(diǎn)P 2,4不在圓0上，切線PT的直線方程可設(shè)為 y = k

10、x - 24根據(jù)d =r一2k 4 =2.i k2解得3 k =-4所以3y 二 一 x _244即3x-4y i0 =0因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為x =2 .說(shuō)明：上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解.本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）.還可以運(yùn)用x0x y0y =r2，求出切點(diǎn)坐標(biāo) 怡、y0的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解.例 6 兩圓 G：x2y2 DixEiy Fi=0與C2：x2y2D2X E2yF2 = 0 相交于 A、B 兩點(diǎn)，求它們的公共弦 AB所在直線的方程.分析

11、：首先求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線AB的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧.解：設(shè)兩圓C1、C2的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為（x0 , y0），則有：2 2x y0 Dix0 Eiy0 Fi - 02 2 冷 y 。2冷 Ezy。F2 =0得：（Di -D2）x （巳-E2）y Fi -F2 =0 . A、B 的坐標(biāo)滿足方程（U -D2）x （巳-E2）y R-F2 =0 .方程（Di -D2）x （Ei -E2）y Fi -F2=0是過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程.又過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線是唯一的.兩圓Ci、C2的公共弦AB所在直線的方程為（Di-D2）x （Ei

12、-E2）y * Fi - F2 =0 . 第5頁(yè)共2i頁(yè)說(shuō)明：上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧， 從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本 質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛.2 2例7、過(guò)圓x y =1外一點(diǎn)M (2,3)，作這個(gè)圓的兩條切線 MA、MB，切點(diǎn)分別是 A、B，求 直線AB的方程。練習(xí):2 21.求過(guò)點(diǎn)M(3,1)，且與圓(x-1) - y =4相切的直線I的方程.解：設(shè)切線方程為 y -1k(x -3)，即kx - y

13、 -3k 1 0 ,圓心(1,0)到切線丨的距離等于半徑 2 ,3切線方程為 y-1 (x-3)，即 3x，4y-13=0,4當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x = 3，圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑 2 ,故直線x =3也適合題意。所以，所求的直線I的方程是3x 4y -13 =0或x = 3.2252、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓 x y -4x - 2y 0相切的直線的方程為 25解：設(shè)直線方程為 y = kx，即kx - y = 0 .T圓方程可化為(x - 2)2 (y 1)2圓心為(2,怖|2k+1|尿1-1),半徑為 .依題意有，：=，解得k = -3或k= ，直線方程為 y =

14、 -3x或2 補(bǔ)2 +1231y x.32 23、已知直線5x 12y0與圓x -2x y =0相切，則a的值為.5 + a解：圓(x1)2+y2=1的圓心為(1, 0)，半徑為1；.=仁 解得a = 8或a = 18.苗 +122類型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題2 2例&求直線I :3x -y -6 =0被圓C：x y -2x-4y =0截得的弦AB的長(zhǎng).例9、直線.3x y -2.、3 = 0截圓x2 y2 =4得的劣弧所對(duì)的圓心角為 解：依題意得，弦心距 d = J3，故弦長(zhǎng)AB| =2jr2 d2 =2，從而 OAB是等邊三角形，故截TT得的劣弧所對(duì)的圓心角為.AOB .3例10、求兩圓x2 y2

15、 -x y -2 = 0和x2 y2 =5的公共弦長(zhǎng)類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線.、3x y - 2.3二0和圓x2 y4，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線、二x m與曲線y = 4-x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：曲線y = 4-x2表示半圓x2 y2 =4(y_0)，二利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是 - 2 _ m : 2 或 m = 2. 2 .例13圓(x 一3)2 (y -3)2 =9上到直線3x 4y -1 0的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線11、|2的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答.解法一：圓(x -3)2 (

16、y-3)2 =9 的圓心為。1(3,3)，半徑 r =3 .設(shè)圓心。1到直線3x 4y -11 =0的距離為d，則d -3x 3+恥 3-11.3242=2：3 .第24頁(yè)共21頁(yè)如圖，在圓心。1同側(cè)，與直線3x 4y -10平行且距離為1的直線h與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意.與直線3x，4y-11 =0平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意.符合題意的點(diǎn)共有 3個(gè).解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線 3x 4y -10，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn).設(shè)m+l1所求直線為3x 4y m = 0，則d1,x342 m 11 = 5，即 m = _6，或 m = -16，也即l：x

17、4y -6 = 0，或 l2：3x 4y16 = 0.2 2設(shè)圓O：x-3)(y-3) =9的圓心到直線l1、l2的距離為d1、d2，則d*4*61,32 420x3+4x3163 , d21 .2 . 32 42 h與O1相切，與圓。1有一個(gè)公共點(diǎn)；J與圓。1相交，與圓O1有兩個(gè)公共點(diǎn).即符合題意的 點(diǎn)共3個(gè).說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：3工 3 + 4工 3_11 設(shè)圓心01到直線3x +4y 11 =0的距離為d，則d=(=2 c3 .0 , 03l21.練習(xí)2 :若直線 y=kx，2與圓(x-2)2 (y-3)2 =1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，貝Uk的取值范圍是.|2k -1|

18、44解：依題意有 1，解得0 ： k , k的取值范圍是(0,).Jk2 +1332 2分析：把x y 2x 4y 一3 = 0化為x- iy 28 ,圓心為-1, - 2 ,半徑為r =2 2，圓心到直線的距離為 、2，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于、2，所以選C.4、 過(guò)點(diǎn)P(3, 4 )作直線l，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線l與圓C：x-lf +(2) =4有公共點(diǎn)，如圖所示.y分析：觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路. 解：設(shè)直線丨的方程為y 4 = k x 3kx_y 3k_4=0即k +2+3k -4 v1 k2整理得23k 4k=0解得類型五：圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定

19、？例 14、判斷圓 C, : x2 y2 2x -6y -26 =0 與圓 C2 : x2 y4 2y 0 的位置關(guān)系，2 2 2 2例15：圓x y -20和圓x y40的公切線共有 條。解：T圓(x -1)2 y2 =1 的圓心為 Oi(1,0)，半徑 ri =1，圓 x2 (y 2)4的圓心為。2(0,-2) 半徑2=2O1O2= J5,1=3,21=1.T21TO1O2I V1十2 ,兩圓相交共有 2條公切線。練習(xí)2 2 2 2 2 21 ：若圓x y -2mx m -4 = 0與圓x y 2x -4my 4m -8二0相切，則實(shí)數(shù) m的取 值集合是.解：圓(x -m)2 y2 =4

20、的圓心為 Oi(m,0)，半徑 r 2，圓(x 1)2 - (y-2m)2 =9 的圓心為 O2(1,2m),半徑r2=3 ,且兩圓 相切，/O1OrH r2或OjO?=r2 A ,/.(m 1)2(2m)2 = 5 或.(m 1)2(2m)2 =1,解得 m-12 或 m = 2，或 m二 0 或 m - - 5 ,52125實(shí)數(shù)m的取值集合是 _ 12 , 一 5,0, 2.522：求與圓x2y2 =5外切于點(diǎn)P( -1,2)，且半徑為 2,5的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為 Oda,b)，則所求圓的方程為(x-a)2 (y - b)2 = 20.：兩圓外切于點(diǎn) P ,- OP =1OO1

21、，二(-1,2) =ka,b) , a 二-3,b =6，所求圓的方程為(x 3)2 (y-6)2 =20.3 3類型六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題例16、圓x2 y2 -2x -6y *9=0關(guān)于直線2x y 5=0對(duì)稱的圓的方程是 例17自點(diǎn)A -3,3發(fā)出的光線丨射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C: x2 y2 -4x -4y 7 = 0 相切(1) 求光線I和反射光線所在的直線方程.(2) 光線自A到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程.分析、略解：觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路.根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，首先求出點(diǎn) A的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為 -3, -3，其次設(shè)過(guò) A的圓C的切線方程為y 二k x 3 -3根據(jù)d二r，即求出

22、圓C的切線的斜率為4 3k 或 k =3 4進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為4x -3y，3=0 或 3x -4 y -3 = 0最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于x軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為4x 3y 3 = 0 或 3x 4y-3 = 02 2 2 光路的距離為 AM，可由勾股定理求得 AhM| = AC -CM I =7 .說(shuō)明：本題亦可把圓對(duì)稱到 x軸下方，再求解.類型七：圓中的最值問(wèn)題例18：圓x2 y2 -4x -4y 一10 = 0上的點(diǎn)到直線x y -10的最大距離與最小距離的差是 解：圓(x-2) (y-2) =18的圓心為(2, 2),半徑r = 3： 2 ,圓心到直線的

23、距離直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是(d r) -(d -r) =2r =62例19 (1)已知圓O：x3)2 (y-4)2 =1, P(x, y)為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求 x2 y2的最大、最小值.2 2v 2(2)已知圓O2:(x 2) y 1 , P(x, y)為圓上任一點(diǎn).求 的最大、最小值，求x-2y的 x -1最大、最小值.分析：(1)、兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2 (y-4)2 =1.x = 3十cos日, 亠可設(shè)圓的參數(shù)方程為丿(日是參數(shù)).y =4 +si門(mén)日，2 2 2 2則 d

24、 = xy =9 6cos cos 16 8sin) sin=26 6cos 8sin - 26 10cos( - )(其中 tan =4 ).3所以 dmax=26 10=36, dmin =26-10=16.(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1等于圓心到原點(diǎn)的距離d1加上半徑1,圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d2等于圓心到原點(diǎn)的距離d1減去半徑1.所以 d1 =32 42 1 =6 .d2 二 32 42 -4 .所以dmax二36 . dmin =16.2 2(2)(法1)由(x 2) y =1得圓的參數(shù)方程:y _2 _ sin 二 _2 令 sin 二 -2x1 cos 二3 cos 二-

25、3得 sin r _t cost - 2 _3t, . 1 t2 sin(v _ ) = 2 -3tl+l=sin(日一0) 3 -、3 t .33所以tmax，tmin即y 一 2的最大值為33，最小值為 ？ x -144此時(shí) x -2y - -2 cos： - 2sinv - -25cos( ) 所以x -2y的最大值為-2 .、5，最小值為-2 - 5 V 2(法2)設(shè)k，則kx-y-k 2 =0 由于P(x , y)是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如x -1圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值.-2k -k 2.1 k2=1，得 k 二所以 丄三的最大值為 色，最小值為 匕上？x T

26、44令x -2y =t，同理兩條切線在 x軸上的截距分別是最大、最小值.,_2 m廠由 d =尸=1，得 m = -25 J5所以x -2y的最大值為-25，最小值為-2 - 5 例 20：已知 A(-2,0) , B(2,0)，點(diǎn) P 在圓(x-3)2 (y-4)2 = 4上運(yùn)動(dòng)，則 PA2 PB2 的最小值是.解：設(shè) P(x, y)，則 pa PB = (x 2)2 y2 (X - 2)2 寸二 2(x2 y2) 8 = 2OP 8 .設(shè)圓心2 2為 C(3,4)，則 OPmin =0C _r=5_2=3，二 PA +|PB 的最小值為 2x32 +8 =26.練習(xí)：1 ：已知點(diǎn)P(x,

27、y)在圓x2 (y -1)2 =1上運(yùn)動(dòng).(1 )求 鼻1的最大值與最小值；(2)求2x y的最大值與最小值x-2解：(1)設(shè) 上! =k，則k表示點(diǎn)P(x, y)與點(diǎn)(2，1)連線的斜率當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，k取得x-2最大值與最小值由 2k 1，解得k - , y 的最大值為三，最小值為3 .Jk2+13 x 233(2)設(shè)2x y = m，則m表示直線2x y = m在y軸上的截距當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，m取得最大值與最小值由 匚凹=1，解得m=1 士 J5 , 2x + y的最大值為1 + J5，最小值為1-J5. 52設(shè)點(diǎn)P(x , y)是圓x - y2 =1是任一點(diǎn)，求u二上 的取值范圍

28、.x+1分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替x、y，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決.解法一：設(shè)圓 x2 y2 = 1上任一點(diǎn) P(cosv , sinv)則有 x = cos T , y = sin v j 0,2二)sin日一2心丄 a c- u, u cos u = sin2cos 日 +1 u cos)- sin v - -(u 2).即,u2 1sin(： - J 二 u 2( tan u )sin ()(u_2).u21又 sin但一申)1u 2u2 11解之得：u.4分析二：y 222u的幾何意義是過(guò)圓 x2 y-1上 一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)(-1,2)的連線的斜率，利用x 1此直線與圓x2 y2 =

29、1有公共點(diǎn)，可確定出 u的取值范圍.解法二：由u=y 2得：y-2=u(x7)，此直線與圓x2y2=1有公共點(diǎn)，故點(diǎn)(0,0)到x 1直線的距離d 1 ,故只需列出三個(gè)方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié) 合的思想方法求解.練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2 y2 =1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為 A、B，乙APB =60,則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡方程是.解：設(shè) P(x, y) . APB=60, OPA =30 / OA _ AP , . OP =2OA=2, a x2 y2 = 2 , 化簡(jiǎn)得x2 y2 =4，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2 y2 =4.練習(xí)鞏固：設(shè) A(-c,0

30、), B(c,0)(c 0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P到A點(diǎn)的距離與到 B點(diǎn)的距離的比為定值 a(a 0)，求P點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x, y) 由PAPB=a(a 0)，得.(x c)2 y2 一(x -c)2 y2化簡(jiǎn)得(1 _a2)x2 0 -a2)y22c(1 a2)x c2(1 -a2) = 0 2 2當(dāng) a 上1 時(shí)，化簡(jiǎn)得 x2 y2 - c(1_x c2 =0，整理得(x -c)2 y2 = ( 2*。)2 ；1 -a2a -1a -1當(dāng)a =1時(shí)，化簡(jiǎn)得x = 0.所以當(dāng)a =1時(shí),P點(diǎn)的軌跡是以(a2 一1c, 0)為圓心，當(dāng)a =1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是y軸.2、已知兩定點(diǎn)

31、A(-2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA = 2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(x,y).由 PA = 2PB，得 J(x+2)2 +y2 =2j(x1)2 +y2，化簡(jiǎn)得(x -2)2 y2 =4 ,點(diǎn)P的軌跡是以(2, 0)為圓心，2為半徑的圓，二所求面積為 4 .4、已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓x2 y2 =1上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB上的一點(diǎn)，且AM JmB ,3問(wèn)點(diǎn)M的軌跡是什么? 1 1解：設(shè) M (x, y), A(m , %). / AM MB , (x - 治，y - yj(3 - x,-y),331 、x - X1(3 - x)3- 1y _

32、y1 一3 y4 彳x-ix -13 . 點(diǎn)A在圓x2 +y2 =1上運(yùn)動(dòng)，4yY11 , 討)2 ”1 ,即(x)2y2 =2，點(diǎn)M的軌跡方程是41632丄2(ry916第34頁(yè)共21頁(yè)AOB的平分線交 AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的. AM_OA =丄，. aim J MB .由變式MB |OB 33例5、已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓x2y2 =1上運(yùn)動(dòng),軌跡方程是 解：設(shè) M(x, y), A(xyj. / OM 是 AOB 的平分線,i可得點(diǎn)m的軌跡方程是(X-？)2 y -.4 16練習(xí)鞏固：已知直線 y = kx 1與圓x2 - y2 = 4相交于A、B兩點(diǎn)，以0A、OB為鄰邊作平行四 邊

33、形OAPB，求點(diǎn)P的軌跡方程解：設(shè)P(x,y) , AB的中點(diǎn)為M OAPB是平行四邊形，二 M是0P的中點(diǎn)，.點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (X y),且 0M _ AB 直線 y 二 kx 1 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) C(0,1) ,/ 0M _ CM ,2 2OM CM =(X,y) (-, -1) =(-)2 1(2 _1) =0 ,化簡(jiǎn)得 x2 (y-1)2 =1.點(diǎn) P 的軌跡方程是2 2 2 2 2 2 2x2 (y -1)2 =1.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓x2 y2 x - 6y m = 0與直線x 2y - 3 = 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP _ OQ，求實(shí)數(shù)m的值.丿，由直線l與圓

34、的方x分析：設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(捲,yj、(x2,y2)，則由kOPkg- -1 ,可得x1x2y-iy0 , 再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為kOP kOQ的值，從而使問(wèn)題得以解決.程構(gòu)造以y為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出X解法一：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為(捲,yj、(X2, y2)方面，由OP _ OQ，得y1心卩koQ = -1，即X1匝=-1，也即:X2另一方面，(X1 , yj、(x2, y2)是方程組x+2y _3 = 02 2x y x _6y m = 0的實(shí)數(shù)解，即x1、x2是方程 5x210x 4m27 = 0的兩個(gè)根.4m -27 x

35、1x2 - -2 ,x-|X2 二5又P、Q在直線x 2y - 3 =0上,1 1- y“2 =2(3 -X1)尹 -X2)m +12將代入，得 y1 y2 = 5將、代入，解得 m=3 ,m 3 19 -3(x1 X2) X1X2 4代入方程，檢驗(yàn) :0成立,解法二：由直線方程可得3 = x 2y，代入圓的方程 X y2- 6y m = 0 ,有22 1m2x y (x 2y)(x _6y) (x 2y) = 0,3 9整理，得(12 m)x2 4(m -3)xy (4m -27) y2 二 0.由于x = 0，故可得(4m _27)(y)24(m -3)-12 m =0 .xx二kop,

36、koQ是上述方程兩根故 kop kg - -1 得12 m4m -27解得m =3 .經(jīng)檢驗(yàn)可知 m =3為所求.說(shuō)明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求 P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值.除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的m值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中并沒(méi)有確保有交點(diǎn)P、Q存在.解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于y的二次x齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時(shí)也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢， 一氣呵成之感.例26、已知對(duì)于圓x2 (y -1)2 =1上任一點(diǎn)P(x, y)，不等式x y m_0恒成立，求實(shí)數(shù) m的 取值范圍.分析一：為了使不等式x y m _0恒成立，即使x y】：-m恒成立，只須使(x y)min #：-m就行了 因此只要求出 x y的最小值，m的范圍就可求得. 解法一：令u = x y ,x + y = u2 2.X +(y1) =1得: 2y2 -2(u 1)y u2 = 0厶 _0且