2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、2 2.1.2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)(1) 蕪湖市徽文中學(xué)蕪湖市徽文中學(xué) 王坤王坤 引入引入 問題問題1 1：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1 1個(gè)分裂成個(gè)分裂成2 2個(gè)，個(gè)， 2 2個(gè)分裂成個(gè)分裂成4 4個(gè)，個(gè)，以此類推以此類推，1 1個(gè)這樣的細(xì)個(gè)這樣的細(xì) 胞分裂胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與與x的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān) 系式是什么？系式是什么？ 分裂 次數(shù) 細(xì)胞 總數(shù) 1次2次3次4次x次 )(2 * nxy x 個(gè)2個(gè)4個(gè)8個(gè)16 2 x 212223 24 引入引入 問題2、莊子天下篇中寫道：“一尺 之棰，日取其半，萬世不竭。”請(qǐng)你寫出 截

2、取x次后，木棰剩余量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān) 系式？ 截取 次數(shù) 木棰 剩余 1次2次3次4次x次 尺 2 1 尺 4 1 尺 8 1 尺 16 1 尺 x ) 2 1 ( )() 2 1 ( * nxy x 。 域是是自變量，函數(shù)的定義函數(shù)，其中 叫做指數(shù)一般地，函數(shù) r x aaay x ) 1, 0( :定義 :以上兩個(gè)函數(shù)有何設(shè)問1共同特征 ? ;) 1 ( 均為冪的形式 ;)2(底數(shù)是一個(gè)正的常數(shù) .)3(在指數(shù)位置自變量x x y) 2 1 ( x y2 我們把這種自變我們把這種自變 量在指數(shù)位置上而底量在指數(shù)位置上而底 數(shù)是一個(gè)大于數(shù)是一個(gè)大于0且不等且不等 于于1的常量的函數(shù)叫做的常量

3、的函數(shù)叫做 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù). 指數(shù)函數(shù)的特征：指數(shù)函數(shù)的特征： 【提示提示】依據(jù)指數(shù)函數(shù)依據(jù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且且a1)解析解析 式的結(jié)構(gòu)特征：式的結(jié)構(gòu)特征： 底數(shù)：大于零且不等于底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；的常數(shù)； 指數(shù)：自變量指數(shù)：自變量x； 系數(shù)：系數(shù)：1； 只有一項(xiàng)只有一項(xiàng)ax . 小結(jié)小結(jié) 下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？ 2 (2)yx (3)2xy (4)2 x y (5) x y 2 (6)2 x y (7) x yx (8)24 x y (9)(21) x ya 1 (1) 2 aa且 (1)2xy 底數(shù)：大于零且不等于底數(shù)：大于零且不等于1 1

4、的常數(shù)；的常數(shù)； 指數(shù)：自變量指數(shù)：自變量x； 系數(shù)：系數(shù)：1. 1. 只有一項(xiàng)只有一項(xiàng)ax 練習(xí)：練習(xí)： 1.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是 （ ） a. y=(-3)x b. y=3x+1 c. y=-3x+1 d. y=3-x 2.函數(shù)函數(shù) y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指數(shù)函數(shù)，求是指數(shù)函數(shù)，求 a的值的值. 解：由指數(shù)函數(shù)解：由指數(shù)函數(shù) 的定義有的定義有 a2 - 3a + 3=1 a0 a 1 a = 2 a =1或或a = 2 a0 a1 解得解得 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p35問題問題1 完成固學(xué)案完成固學(xué)案p18題題2 01aa且 （1）若0a 則當(dāng)

5、x 0時(shí)，0 x a 當(dāng)x0時(shí), x a無意義. （2）若0a 則對(duì)于x的某些數(shù)值，可使 x a無意義. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在. （3）若 1a 則對(duì)于任何 xr 1 x a 是一個(gè)常量，沒有研究的必要性 如 ，這時(shí)對(duì)于( 2) x 11 24 ,xx等等， 探討探討:若不滿足上述條件若不滿足上述條件 x ya會(huì)怎么樣會(huì)怎么樣? 探究探究2:2:函數(shù)函數(shù) 是指數(shù)函數(shù)嗎？是指數(shù)函數(shù)嗎？ x y32 有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻不是有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻不是. 指數(shù)函數(shù)的解析式指數(shù)函數(shù)的解析式 中，中， 的系數(shù)是的系數(shù)是1. x ay x a 有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻是有

6、些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻是. ), 10(zkaakay x 且如： ) 10( aaay x 且如： ) 1 1 0 1 () 1 ( aaa y x 且因?yàn)樗梢赞D(zhuǎn)化為： 設(shè)問2：已知函數(shù)的解析式，怎么得到函 數(shù)的圖象，一般用什么方法？ 列表、描點(diǎn)、連線作圖 2 x y 1 2 x y 在同一直角坐標(biāo)系畫出在同一直角坐標(biāo)系畫出 ， 的圖象。的圖象。 并觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？并觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？ 觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？ 1 ( ) 2 x y 兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱 指數(shù)函數(shù)在底數(shù)指數(shù)函數(shù)在底

7、數(shù) 及及 這兩種這兩種 情況下的圖象和性質(zhì)：情況下的圖象和性質(zhì)： 1a 01a 圖圖 象象 性性 質(zhì)質(zhì) 01a1a r （0，+） （1）過定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí),y=1 （2）在r上是減函數(shù)（3）在r上是增函數(shù) y x (0,1) y=1 0 y=ax (0a1) 定義域： 值域： 1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例.求下列函數(shù)的定義域、值域： 12 1 )25. 0()2(3) 1 ( x x yy 函數(shù)的定義域?yàn)閤|x 0, 值域?yàn)閥 |y0 ,且y1. 解 (1) (2) 2 1 , 012xx得由 函數(shù)的定義域?yàn)?), 2 1 , 012x 125.00 12 x .1 , 0(函數(shù)的

8、值域?yàn)?x y 0 y=1 y=ax (0,1) y 0 x y=ax 性 質(zhì) 0a1 1.定義域?yàn)閞，值域?yàn)?0,+). 2.過定點(diǎn)（0，1）即x=0時(shí)，y=1 3.在r上是增函數(shù) 3.在r上是減函數(shù) 4.當(dāng)x0時(shí),y1; 當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí), 0y1;當(dāng)x1. 5.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 圖 象 (0,1)y=1 完成課本完成課本p58題題2、p59題題5 )(2 * nxy x 2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 練習(xí)：練習(xí)： 1 y=ax(a0且 a1)圖象必過 點(diǎn)_ 2 y=ax-2(a0且 a1)圖象必 過點(diǎn)_ 3 y=ax+3-1(a0且 a1)圖象 必過點(diǎn)_ (0,1) (2,1)

9、(-3,0) 4 某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每 20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂成 兩個(gè)），經(jīng)過3小時(shí)這種細(xì)菌 由一個(gè)分裂成_個(gè) 512 x y 0 y=1 y=ax (0,1) y 0 x y=ax 性 質(zhì) 0a1 1.定義域?yàn)閞，值域?yàn)?0,+). 2.過定點(diǎn)（0，1）即x=0時(shí)，y=1 3.在r上是增函數(shù) 3.在r上是減函數(shù) 4.當(dāng)x0時(shí),y1; 當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí), 0y1;當(dāng)x1. 5.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 圖 象 (0,1)y=1 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p35問題問題2 完成固學(xué)案完成固學(xué)案p18題題3 求定點(diǎn)，先令指數(shù)為求定點(diǎn)，先令指數(shù)為0，再，再 計(jì)算計(jì)算x,y的值的值 已知指數(shù)函數(shù)

10、已知指數(shù)函數(shù) 的圖像經(jīng)過點(diǎn)的圖像經(jīng)過點(diǎn) 求求 的值的值. 0,1 x f xaaa 3, 013fff 、 先看課本先看課本p5657的解答過程，再的解答過程，再 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p36問題問題1 待定系數(shù)法求待定系數(shù)法求a 2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) x y 0 y=1 y=ax (0,1) y 0 x y=ax 性 質(zhì) 0a1 1.定義域?yàn)閞，值域?yàn)?0,+). 2.過定點(diǎn)（0，1）即x=0時(shí)，y=1 3.在r上是增函數(shù) 3.在r上是減函數(shù) 4.當(dāng)x0時(shí),y1; 當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí), 0y1;當(dāng)x1. 5.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 圖 象 (0,1)y=1 例7.比較下列各題中兩個(gè)值的

11、大?。?(1)1.52.5 ,1.5 3.2 ； (2)0.5 1.2 ,0.5 1.5 (3)1.50.3 ,0.8 1.2 (1)考察指數(shù)函數(shù)y=1.5x . 由于底數(shù)1.51 ,所以指數(shù)函數(shù) y=1.5x 在r上是增函數(shù). 解： 2.53.2 1.52.5-1.5 0.5-1.21.5 0=1 , 0.81.20.8 1.2 . (1)指數(shù)函數(shù)y=1.5x 在r上是增 函數(shù). 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小 完成課本完成課本p59題題7(1)(2) 搭橋法搭橋法,與中間變量與中間變量0,1比較大小比較大小 方法總結(jié)：方法總結(jié)： 1 1、對(duì)、對(duì)同底數(shù)冪同底數(shù)冪大小的比較用

12、的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，大小的比較用的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性， 必須要明確所給的兩個(gè)值是哪個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函必須要明確所給的兩個(gè)值是哪個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函 數(shù)值；數(shù)值； 2 2、對(duì)、對(duì)不同底數(shù)冪不同底數(shù)冪的大小的比較可以與中間值進(jìn)行比的大小的比較可以與中間值進(jìn)行比 較較. . 1已知 a= 0.80.7 , b= 0.80.9 ,c= 1.20.8 ， 按大小順序排列 a,b,c 答案：cab ba1 即ba11 和 0a1 時(shí) a3 a4 當(dāng) 0a a4 2比較a3 與 a4 的大小 x x x cy by ay cba 的大小關(guān)系：如圖：試確定, 0 x y 1 1 a b c abc 對(duì)對(duì)同指數(shù)

13、冪同指數(shù)冪比較比較 底數(shù)的大小可設(shè)底數(shù)的大小可設(shè) 指數(shù)為指數(shù)為1 x x x cy by ay cba 的大小關(guān)系：如圖：試確定變式,)( 0 x y 1 1 b a c bac 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p38問題問題1 當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升時(shí)，圖象上升 ，且，且底數(shù)越大時(shí)圖象向上越靠近于底數(shù)越大時(shí)圖象向上越靠近于y軸軸； 當(dāng)?shù)讛?shù)大于當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于小于1時(shí)，圖象下降，時(shí)，圖象下降，底數(shù)底數(shù) 越小圖象向右越靠近于越小圖象向右越靠近于x軸軸 0cd1ab. 比較比較a、b、c、d的大小的大小. 指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì) (1)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象

14、指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象 的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示， 則則0cd1a x y 0 y=1 y=ax (0,1) y 0 x y=ax 性 質(zhì) 0a1 1.定義域?yàn)閞，值域?yàn)?0,+). 2.過定點(diǎn)（0，1）即x=0時(shí)，y=1 3.在r上是增函數(shù) 3.在r上是減函數(shù) 4.當(dāng)x0時(shí),y1; 當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí), 0y1;當(dāng)x1. 5.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 圖 象 (0,1)y=1 )0 , 2 1 ( 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p35問題問題3 p38檢測(cè)題檢測(cè)題2 0 x y 1 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p36檢測(cè)題檢測(cè)題1 選選d 0 x y 1 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p36拓展問題拓展問題1 選選c 完成預(yù)學(xué)案完成預(yù)學(xué)案p36檢測(cè)題檢測(cè)題2 解析：分 a1 和 0a1 時(shí) a +1=3 a=2 當(dāng) 0a1 和 0a1 時(shí) 或 a=0（舍去） 當(dāng) 0a 0 1a )1 ,0( x y) 2 1 ( x y) 3 1 ( x