《向量方法證明余弦定理》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

1、向量方法證明余弦定理一、 教學(xué)目標(biāo)解析1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。2、通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。4、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的。二、 教學(xué)問題診斷分析1、通過前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問題：已知三角形的任意兩個(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；已知三角形的任意兩個(gè)角與其中一邊的對(duì)角，

2、計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個(gè)角的問題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對(duì)余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對(duì)余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中

3、應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。三、 教學(xué)支持條件分析為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，將精力放在對(duì)定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來完成。當(dāng)使用計(jì)算器時(shí)，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時(shí)用等號(hào)，當(dāng)取其近似值時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號(hào)。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時(shí)用約等號(hào)。四、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)1、教學(xué)基本流程：從一道生活中的實(shí)際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。余弦定理的證明：啟發(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導(dǎo)學(xué)生自己探索獲得定理的證明。應(yīng)用余弦定理解斜三角形。2、教學(xué)情景：創(chuàng)設(shè)情境，提

4、出問題問題1：現(xiàn)有卷尺和測(cè)角儀兩種工具，請(qǐng)你設(shè)計(jì)合理的方案，來測(cè)量學(xué)校河兩岸兩點(diǎn)的距離【 設(shè)計(jì)意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性。讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。師生活動(dòng)：教師可以采取小組合作的形式，讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案嘗試解決。求異探新，證明定理問題2：在abc中，c = 90，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。教師總結(jié)：以上的證明都是把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直

5、角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進(jìn)一步指出以上的證明還不嚴(yán)密，還要分c為鈍角或直角時(shí)，同樣都可以得出以上結(jié)論，這也正是本節(jié)課的重點(diǎn)余弦定理。【設(shè)計(jì)意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì)有什么想法？【設(shè)計(jì)意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗(yàn)到成功的樂趣。教師：以上的證明避免了討論c是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明

6、了，過程簡單，體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標(biāo)表示，ab長度又可以聯(lián)系到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，你會(huì)有什么啟發(fā)？【設(shè)計(jì)意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。運(yùn)用定理，解決問題讓學(xué)生觀察余弦定理及推論的構(gòu)成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。例1：在abc中，已知a = 2，b = 3，c = 60，求邊c。在abc中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求a、b、c?！驹O(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；已知三角形三邊，求三內(nèi)角。小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對(duì)稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)?！驹O(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。作業(yè)第1題：用正弦定理證明余弦定理?！驹O(shè)計(jì)意圖】：繼續(xù)要求學(xué)生擴(kuò)寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉(zhuǎn)化成角，然后利用三角公式進(jìn)行推導(dǎo)證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方