4.數(shù)列求和的性質(zhì)與求和技巧

1、 2017年課標(biāo)高考母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑.預(yù)測(cè)高考試題的有效手段 453 中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題(第141號(hào))數(shù)列求和的性質(zhì)與求和技巧 求數(shù)列an的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和sn,是研究數(shù)列的兩大主題,課標(biāo)全國(guó)卷數(shù)列試題具有濃郁的數(shù)列求和“情結(jié)”;其中,數(shù)列求和的性質(zhì)與兩個(gè)求和技巧,值得關(guān)注.母題結(jié)構(gòu):()(求和性質(zhì))若數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為sn,tn,則數(shù)列kan+tbn的前n項(xiàng)和=ksn+ttn;()(并項(xiàng)求和)若數(shù)列an的an中含(-1)n,令bn=a2n-1+a2n,并求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn,然后由s2n=tn,s2n-1=tn-a2n求s2n,s2n-1;()(分段求和)若數(shù)列a

2、n:an=f(n)(nm),an=g(n)(nm),則:當(dāng)nm時(shí),sn由an=f(n)求出;當(dāng)nm時(shí),先由an=f(n)求sm;再由an=g(n)求sn-sm;然后由sn=sm+(sn-sm),求sn.母題解析:略. 1.求和性質(zhì) 子題類型:(2016年北京高考試題)已知an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.()求an的通項(xiàng)公式; ()設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.解析:()由等比數(shù)列bn的公比q=3bn=b2qn-2=3n-1(n=1,2,3,)a1=b1=1,a14=b4=27等差數(shù)列an的公差d=2an=2n-1(n=1,2,3,);

3、()由cn=an+bn數(shù)列cn的前n項(xiàng)和=數(shù)列an的前n項(xiàng)和+數(shù)列bn的前n項(xiàng)和=n2+(3n-1).點(diǎn)評(píng):利用求和性質(zhì),可由基本數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和(分別為sn與tn),求合成數(shù)列kan+tbn的前n項(xiàng)和(=ksn+ttn).同類試題:1.(2015年福建高考試題)等差數(shù)列an中,a2=4,a4+a7=15.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; ()設(shè)bn=2+n,求b1+b2+b3+b10的值.2.(2005年全國(guó)高考試題)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和sn0(n=1,2,).()求q的取值范圍; ()設(shè)bn=an+2-an+1,記bn的前n項(xiàng)和為tn,試比較sn與tn的大小. 2.并項(xiàng)求和

4、 子題類型:(2014年山東高考理科試題)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為sn,且s1,s2,s4成等比數(shù)列.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; ()令bn=(-1)n-1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解析:()由s1s4=s22a1(4a1+12)=(2a1+2)2a1=1an=2n-1;()由bn=(-1)n-1=(-1)n-1(+)cn=b2n-1+b2n=(+)-(+)=-t2n=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2n-1+b2n)=c1+c2+cn=1-=t2n-1=t2n-b2n=+(+)=.點(diǎn)評(píng):并項(xiàng)求和法不僅適用于通項(xiàng)an中含(-1)n的數(shù)列an求和,而且還適用于通項(xiàng)an中含三角

5、函數(shù)的數(shù)列an求和.同類試題:3.(2014年山東高考文科試題)在等差數(shù)列an中,已知公差d=2,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; ()設(shè)bn=a,記tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求tn. 454 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑.預(yù)測(cè)高考試題的有效手段 2017年課標(biāo)高考母題 4.(2016年天津高考試題)已知an是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為sn(nn*),且-=,s6=63.()求an的通項(xiàng)公式; ()若對(duì)任意的nn*,bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng),求數(shù)列(-1)nbn2的前2n項(xiàng)和. 3.分段求和 子題類型:(2007年上海高考試題)如果有窮數(shù)

6、列a1,a2,an(n為正整數(shù))滿足條件:a1=an,a2=an-1,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,n),我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”.如由組合數(shù)組成的數(shù)列cm0,cm1,cmm.就是“對(duì)稱數(shù)列”.()設(shè)bn是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”,其中b1,b2,b3,b4是等差數(shù)列,且b1=2,b4=11,依次寫出bn的每一項(xiàng);()設(shè)cn是項(xiàng)數(shù)為2k-1(正整數(shù)k1)的“對(duì)稱數(shù)列”,其中ck,ck+1,c2k-1是首項(xiàng)為50,公差為-4的等差數(shù)列.記cn的各項(xiàng)和為s2k-1,當(dāng)為何值時(shí),s2k-1取得最大值？并求出s2k-1的最大值.()對(duì)于確定的正整數(shù)m1,寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)2m的“對(duì)稱數(shù)列”

7、,使得1,2,22,2m-1依次是該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng);當(dāng)m1500時(shí),求其中一個(gè)“對(duì)稱數(shù)列”前2008項(xiàng)的和s2008.解析:()設(shè)bn的公差為d,由b1=2,b4=11d=3bn:2,5,8,11,8,5,2;()由s2k-1=2(c1+c2+ck)-ck=-4(k-13)2+4132-50k=13時(shí),s2k-1取得最大值=626;()所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是:1,2,22,2m-2,2m-1,2m-2,22,2,1;1,2,22,2m-2,2m-1,2m-1,2m-2,22,2,1;2m-1,2m-2,22,2,1,2,22,2m-2,2m-1;2m-1,2m-2,22,2,1,1,2,22

8、,2m-2,2m-1;對(duì)于,當(dāng)m2008時(shí),s2008=22008-1;當(dāng)1500m2007時(shí),s2008=2m+2m-1-22m-2009-1;對(duì)于,當(dāng)m2008時(shí),s2008=22008-1;當(dāng)1500m2007時(shí),s2008=2m+1-22m-2008-1;對(duì)于,當(dāng)m2008時(shí),s2008=2m-2m-2008;當(dāng)1500m2007時(shí),s2008=2m+22009-3;對(duì)于,當(dāng)m2008時(shí),s2008=2m-2m-2008;當(dāng)1500m2007時(shí),s2008=2m+22008-m-2.點(diǎn)評(píng):類似于分段函數(shù)問(wèn)題分類求解;對(duì)于分段數(shù)列,也要分段求和;分段數(shù)列的一個(gè)典型是等差數(shù)列的絕對(duì)值.同類

9、試題:5.(2013年浙江高考試題)在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.()求d,an; ()若dma1a2am. 5.子題詳解:1.解:()由a2=4,a4+a7=15(a4-a2)+(a7-a2)=77d=7d=1an=n+2;()由bn=2n+nb1+b2+b3+b10=2(210-1)+55=2101.2.解:()由sn0a1=s10當(dāng)q=1時(shí),sn=na10;當(dāng)q1時(shí),由sn=0(q-1)(qn-1)0q1,或-1q1q的取值范圍是(-1,0)(0,+);()由bn=an+2-an+1=anq2-anq=(q2-q)antn=(q2-q)

10、sntn-sn=(q2-q-1)sn=(q-2)(q+)sn;當(dāng)q=2,或q=-時(shí),sn=tn;當(dāng)-qtn;當(dāng)-1q2時(shí),sntn.3.解:()由a1(a1+6)=(a1+2)2a1=2an=2n;()由bn=n(n+1);令cn=-b2n-1+b2n=-(2n-1)2n+2n(2n+1)=4nt2n=c1+c2+cn=2n(n+1)t2n-1=t2n-b2n=-2n2.4.解:()由-=-=2q2-q=2等比數(shù)列bn的公比q=-1,或q=2;但當(dāng)q=-1時(shí),s6=0,不合題意;由q=2,s6=63a1=1an=2n-1;()由bn=(log2an+log2an+1)=n-;令cn=(-1)2

11、n-1b2n-12+(-1)2nb2n2=b2n2-b2n-12=(b2n-b2n-1)(b2n+b2n-1)=4n-2數(shù)列(-1)nbn2的前2n項(xiàng)和=數(shù)列cn的前n項(xiàng)和=2n2.5.解:()由5a1a3=(2a2+2)2d2-3d-4=0d=-1或d=4an=-n+11或an=4n+6;()當(dāng)d11時(shí),|an|=n-11|a1|+|a2|+|a3|+|an|=+-=+110.6.解:()由f(x)=+sinx(x)=+cosx,令(x)=0cosx=-x=2n;又因f(x)的極小值點(diǎn)y=cosx單調(diào)遞增部分與y=-的交點(diǎn)x=2n-xn=2n-(nn+);()由xn=2n-sn=n(n+1)

12、-,注意到:n(n+1)為偶數(shù)sinsn=sinn(n+1)-=-sin;當(dāng)n=3k-2(kn+)時(shí),sinsn=-;當(dāng)n=3k-1(kn+)時(shí),sinsn=;當(dāng)n=3k-2(kn+)時(shí),sinsn=0.7.解:()設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由a1=2,a3=a2+4q2-q-2=0q=2(-1舍去)an=2n;()由sn=2(2n-1)+n2. 456 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑.預(yù)測(cè)高考試題的有效手段 2017年課標(biāo)高考母題 8.解:()an=3n;由q=2bn-an=2n-1bn=2n-1+3n;()數(shù)列bn的前n項(xiàng)和=(2n-1)+n(n+1).9.解:()an=2n,bn=n(n+1);()由cn=()n-(-);(i)sn=-()n;(ii)由cn=n(n+1)-2n當(dāng)n4時(shí),cn0,當(dāng)n4時(shí),cn;同時(shí),tn=-+(+)-+(+)2時(shí),|an|=3n-7sn=5+-=+10.14.解:()由a1,a2009,a2008,a1005是