2020版高考數(shù)學一輪復習（二十四）解三角形的綜合應用理（含解析）

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時跟蹤檢測(二十四) 解三角形的綜合應用一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1如圖，兩座燈塔a和b與海岸觀察站c的距離相等，燈塔a在觀察站南偏西40,燈塔b在觀察站南偏東60，則燈塔a在燈塔b的_方向上解析：由條件及圖可知,ab40,又bcd60，所以cbd30，所以 dba10，因此燈塔a在燈塔b南偏西80。答案:南偏西802（2019揚州調研）如圖，勘探隊員朝一座山行進,在前后a，b兩處觀察山頂c的仰角分別是30和45,兩個觀察點a，b之間的距離是100 m，則此山cd的高度為_m。解析：設山高cd為x，在rtbcd中有:bdcdx,在rtacd中有:ac2x，adx

2、。而abadbd(1）x100.解得x50(1）答案:50(1) 3。(2019南通模擬)2018年12月，為捍衛(wèi)國家主權，我國海軍在南海海域進行例行巡邏，其中一艘巡邏艦從海島a出發(fā)，沿南偏東70的方向航行40海里后到達海島b，然后再從海島b出發(fā),沿北偏東35的方向航行40 海里后到達海島c.如果巡邏艦直接從海島a出發(fā)到海島c，則航行的路程為_海里解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示在abc中，abc7035105，ab40，bc40。根據(jù)余弦定理，得ac2ab2bc22abbccosabc402（40)224040400(84)400(）2,ac20（）故所求航行的路程為20()海里答案：20（

3、)4已知a船在燈塔c北偏東80處，且a到c的距離為2 km，b船在燈塔c北偏西40，a，b兩船的距離為3 km，則b到c的距離為_ km。解析：由條件知，acb8040120，設bcx km則由余弦定理知9x244xcos 120,因為x0，所以x1。答案:15.某同學騎電動車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點a處測得電視塔s在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點b處，測得電視塔s在電動車的北偏東75方向上，則點b與電視塔的距離是_km.解析:如題圖，由題意知ab246,在abs中，bas30，ab6，abs18075105，所以asb45，由正弦定理知,所以bs3（km

4、）答案:36(2018天一中學檢測)線段ab外有一點c,abc60，ab200 km,汽車以80 km/h的速度由a向b行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，則運動開始_h后，兩車的距離最小解析：如圖所示，設過x h后兩車距離為y，則bd20080x，be50x,所以y2(20080x）2（50x）22（20080x）50xcos 60整理得y212 900x242 000x40 000(0x2.5），所以當x時y2最小答案：二保高考，全練題型做到高考達標1一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈

5、塔，其方向是南偏東70，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么b，c兩點間的距離是_海里解析:如圖所示，易知，在abc中,ab20海里，cab30，acb45，根據(jù)正弦定理得，解得bc10（海里）答案：102如圖，一條河的兩岸平行,河的寬度d0。6 km，一艘客船從碼頭a出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭b。已知ab1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭a駛到碼頭b所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為_km/h。解析：設ab與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知,sin ，從而cos ，所以由余弦定理得2212221,解得v6.答案：63（2018啟東二模

6、）如圖所示，為了測量a，b兩處島嶼的距離，小明在d處觀測，a，b分別在d處的北偏西15、北偏東45方向，再往正東方向行駛40海里至c處，觀測b在c處的正北方向,a在c處的北偏西60方向，則a，b兩處島嶼的距離為_海里解析：由題意可知cd40,adb60,acb60,bcd90，acd30,adc105,cad45。在acd中,由正弦定理，得,ad20，在rtbcd中,bdc45，bdcd40.在abd中，由余弦定理,得ab 20。故a,b兩處島嶼的距離為20海里答案：204一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點a測得水柱頂端的仰角為45,

7、沿點a向北偏東30前進100 m到達點b，在b點測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是_m.解析：設水柱高度是h m，水柱底端為c，則在abc中，a60，ach，ab100,bch,根據(jù)余弦定理得,(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100）0，即h50，故水柱的高度是50 m。答案：505（2018鎮(zhèn)江模擬)在不等邊三角形abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(bc）sin2bsin2c，則角a的取值范圍為_解析：由題意得sin2asin2bsin2c，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20。則c

8、os a0,因為0a，所以0a。又a為最大邊,所以a.因此角a的取值范圍是.答案:6。 （2019通州中學高三測試）甲船在湖中b島的正南a處，ab3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同時乙船自b島出發(fā),以12 km/h的速度向北偏東60方向駛去，則行駛15 min時，兩船間的距離是_km.解析：畫出示意圖如圖所示,設行駛15 min時,甲船到達m點，乙船到達n點,由題意知am82（km),bn123（km)，mbabam321(km)，由余弦定理得mn2mb2bn22mbbncos 1201921313，所以mn（km）答案：7（2018南京模擬）校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗

9、桿正好處在坡度為15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30,第一排和最后一排的距離為10 m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上若國歌時長為50 s，升旗手應以_m/s的速度勻速升旗解析：依題意可知aec45,ace1806015105,所以eac1804510530.由正弦定理可知，所以acsincea20 m.所以在rtabc中，abacsinacb2030 m.因為國歌時長為50 s，所以升旗速度為0.6 m/s。答案：0.68如圖所示，在坡度一定的山坡a處測得山頂上一建筑物cd的頂端c對于山坡的斜度為15,沿山坡向山頂前進100 m

10、到達b處，又測得c對于山坡的斜度為45，若cd50 m,山坡的坡角為，則cos _。解析：在abc中，由正弦定理可知bc50（)(m)在bcd中，由正弦定理可知sinbdc1。由題圖知cos sinadesinbdc1.答案：19（2018鎮(zhèn)江期末）如圖,某公園有三條觀光大道ab，bc，ac圍成直角三角形，其中直角邊bc200 m，斜邊ab400 m現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在ab,bc，ac大道上嬉戲，所在位置分別記為點d，e,f。（1）若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點b出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲、乙兩人之間的距離；(

11、2) 設cef，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且def，請將甲、乙之間的距離y表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離解：（1)依題意得bd300，be100。在abc中，cos b，所以b。在bde中，由余弦定理得de2bd2be22bdbecos b30021002230010070 000，所以de100。答：甲、乙兩人之間的距離為100 m.(2)由題意得ef2de2y，bdecef。在rtcef中，ceefcoscef2ycos .在bde中,由正弦定理得，即,所以y,0，所以當時,y有最小值50。答:甲、乙之間的最小距離為50 m.10（2019淮安模擬)如圖，某軍艦艇位于

12、島a的正西方c處,且與島a相距12海里經過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以10海里/小時的速度從島a出發(fā)沿北偏東30方向逃竄,同時,該軍艦艇從c處出發(fā)沿北偏東90的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時在b處追上（1)求該軍艦艇的速度；（2）求sin 的值解：(1）依題意知，cab120,ab10220,ac12，acb，在abc中，由余弦定理,得bc2ab2ac22abaccoscab20212222012cos 120784,解得bc28，所以該軍艦艇的速度為14海里/小時(2)在abc中,由正弦定理，得，即sin 。三上臺階,自主選做志在沖刺名校1如圖,航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內，已

13、知飛機的飛行高度為10 000 m,速度為50 m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5,經過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5,則山頂?shù)暮０胃叨葹開m（取1.4，1。7)解析：如圖，作cd垂直于ab的延長線于點d，由題意知a15，dbc45,所以acb30，ab5042021 000(m）又在abc中，所以bcsin 1510 500（）因為cdad，所以cdbcsindbc10 500()10 500（1）7 350.故山頂?shù)暮０胃叨萮10 0007 3502 650(m）答案：2 6502(2019南京調研）某市有一中心公園，平面圖如圖所示，公園的兩條觀光路為l1，l2,公園管理中心位于點o正南方2 km l1上的a處，現(xiàn)計劃在l2即點o北偏東45方向，觀光路l2路旁b處修建一公園服務中心（1）若為方便管理，使ab兩點之間的直線距離不大于2 km,求ob長度的取值范圍；（2)為了方便市民活動，擬在l1，l2上分別選點m，n，修建一條小路mn.因環(huán)境需要，以o為圓心， km為半徑的扇形區(qū)域有珍貴的植物不能被破壞，即不適宜修建，請確定m，n的位置，使m,n之間的距離最短解：(1)在abo中，oa2，obx，aob135，根據(jù)余弦定理得，ab2oa2ob22oaobcos 135,22x22x2(2）