第五章 壓桿穩(wěn)定

1、 5.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 5.2 壓桿的臨界力與臨界應(yīng)力壓桿的臨界力與臨界應(yīng)力 5.3 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 5.4 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施 小結(jié)小結(jié) 鋼板尺長為300mm，寬為20mm，厚為1mm。 （1）壓力）壓力F不大時不大時 給桿一微小的橫向干擾，使桿發(fā) 生微小的彎曲變形，在干擾撤去后， 桿經(jīng)若干次振動后仍會回到原來的直 線形狀的平衡狀態(tài)。 壓桿原有直線形狀的平衡狀態(tài)稱 為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 （2）壓力）壓力F增至某一極限值增至某一極限值Fcr時時 給桿一微小的橫向干擾，使桿發(fā)生 微小的彎曲變形，則在干擾撤去后，桿 不再恢復(fù)到原來直線

2、形狀的平衡狀態(tài)， 而是仍處于微彎形狀的平衡狀態(tài)。 臨界平衡狀態(tài)實(shí)質(zhì)上是一種不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因 為此時桿一經(jīng)干擾后就不能維持原有直線形狀的平衡狀 態(tài)了。 壓桿從穩(wěn)定的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài), 這種現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)失穩(wěn)。 受干擾前桿的直線形狀的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡臨界平衡 狀態(tài)狀態(tài)，壓力Fcr稱為壓桿的臨界力壓桿的臨界力。 A Fcr cr 式中：A壓桿的橫截面面積。 由于桿件失穩(wěn)是在遠(yuǎn)低于強(qiáng)度許用承載能力的情況 下驟然發(fā)生的，所以往往造成嚴(yán)重的事故。 在1907年，加拿大長達(dá)548m的魁北克大橋在施工中 突然倒塌，就是由于兩根受壓桿件的失穩(wěn)引起的。 在設(shè)計(jì)受

3、壓桿件時，除了進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算外，還必 須進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算，以滿足其穩(wěn)定性方面的要求。 5.2.1 細(xì)長壓桿的臨界力的歐拉公式細(xì)長壓桿的臨界力的歐拉公式 2 2 cr )( l EI F 上式通常稱為歐拉公式歐拉公式。 相當(dāng)長度相當(dāng)長度 表表5.1 四種典型細(xì)長壓桿的臨界力四種典型細(xì)長壓桿的臨界力 表表5.1 四種典型細(xì)長壓桿的臨界力四種典型細(xì)長壓桿的臨界力(續(xù)續(xù)) 44 41244 m10049.0 64 m10100 64 d I 因?yàn)榕R界力是使壓桿產(chǎn)生失穩(wěn)所需要的最小壓力，而因?yàn)榕R界力是使壓桿產(chǎn)生失穩(wěn)所需要的最小壓力，而 鋼壓桿在各縱向平面內(nèi)的彎曲剛度鋼壓桿在各縱向平面內(nèi)的彎曲剛度EI相同，所以

4、公式中的相同，所以公式中的 應(yīng)取較大的值，即失穩(wěn)發(fā)生在桿端約束最弱的縱向平面應(yīng)取較大的值，即失穩(wěn)發(fā)生在桿端約束最弱的縱向平面 內(nèi)。內(nèi)。 由已知條件，鋼壓桿在由已知條件，鋼壓桿在xy平面內(nèi)的桿端約束為兩平面內(nèi)的桿端約束為兩 端鉸支，端鉸支，=1；在；在xz平面內(nèi)桿端約束為一端鉸支、一端平面內(nèi)桿端約束為一端鉸支、一端 固定，固定，=0.7。故失穩(wěn)將發(fā)生在。故失穩(wěn)將發(fā)生在xy平面內(nèi)，應(yīng)取平面內(nèi)，應(yīng)取=1進(jìn)行進(jìn)行 計(jì)算。計(jì)算。 臨界力為臨界力為 0kN60N106 . 0 N 41 10049. 010200 )( 6 2 492 2 2 cr l EI F 44 4 3 mm103 .597 mm

5、12 80140 y I 故臨界力為故臨界力為 kN5 . 56N10655 N 31 10103 .5971010 )( 2 2 12492 2 2 cr l EI F y 5.2.2 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 將臨界應(yīng)力的表達(dá)改寫為 2 2 2 2 cr cr )( )( i l E lA EI A F 故 2 2 cr E 慣性半徑慣性半徑 A I i 柔度或長細(xì)比柔度或長細(xì)比 i l 越大，越大， 臨界應(yīng)力越小，使壓桿產(chǎn)生失穩(wěn)所需的壓力越小，壓桿臨界應(yīng)力越小，使壓桿產(chǎn)生失穩(wěn)所需的壓力越小，壓桿 的穩(wěn)定性越差。反之，的穩(wěn)定性越差。反之，越小，壓桿的穩(wěn)定性越好。越小，壓桿的穩(wěn)定

6、性越好。 在歐拉公式的推導(dǎo)中使用了壓桿失穩(wěn)時撓曲線的近 似微分方程，該方程只有當(dāng)材料處于線彈性范圍內(nèi)時才 成立，這就要求在壓桿的臨界應(yīng)力cr不大于材料的比例 極限的情況下，方能應(yīng)用歐拉公式。即 p 2 2 cr E p 2 E 或 令 p 2 p E p是對應(yīng)于比例極限的柔度值柔度值。由上可知，只有 對柔度p的壓桿，才能用歐拉公式計(jì)算其臨界力。 大柔度壓桿或細(xì)長壓桿大柔度壓桿或細(xì)長壓桿 繪出臨界應(yīng)力cr與柔度的關(guān)系曲線，稱為歐拉歐拉 曲線曲線。 圖中歐拉曲線 上B點(diǎn)以右部分是適 用的，B點(diǎn)以左部分 是不適用的。 木壓桿，木壓桿，p110。 Q235鋼材制成的壓桿，鋼材制成的壓桿，p100。 5

7、.2.3 拋物線公式拋物線公式 的壓桿稱為中、小柔度壓桿中、小柔度壓桿 Q235鋼：鋼： cr=235 0.006682； 2 scr a 這種圖線稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。臨界應(yīng)力總圖。 5.3.1 安全因數(shù)法安全因數(shù)法 st t cr F n F F s 或 式中：nst穩(wěn)定安全因數(shù)； Fst穩(wěn)定許用壓力； st穩(wěn)定許用應(yīng)力。 st st st nA F 5.3.2 折減因數(shù)法折減因數(shù)法 A F 強(qiáng)度許用應(yīng)力。 計(jì)算用表計(jì)算用表 表表5.2 Q235鋼鋼a類截面中心受壓直桿的折減因數(shù)類截面中心受壓直桿的折減因數(shù) 續(xù)表續(xù)表5.2 Q235鋼鋼a類截面中心受壓直桿的折減因數(shù)類截面中心受壓直桿的折

8、減因數(shù) 表表5.3 Q235鋼鋼b類截面中心受壓直桿的折減因數(shù)類截面中心受壓直桿的折減因數(shù) 續(xù)表續(xù)表5.3 Q235鋼鋼b類截面中心受壓直桿的折減因數(shù)類截面中心受壓直桿的折減因數(shù) 樹種強(qiáng)度等級為樹種強(qiáng)度等級為TC17、TC15及及TB20： 當(dāng)柔度75時 2 80 1 1 當(dāng)柔度75時 2 3000 當(dāng)柔度91時 2 65 1 1 當(dāng)柔度91時 2 2800 穩(wěn)定校核穩(wěn)定校核確定許用荷載確定許用荷載 【解】【解】 正方形截面的慣性半徑為正方形截面的慣性半徑為 mm75.31mm 12 110 12 a i 4 .113 75.31 106 . 31 3 i l 218. 0 2800 2 AB

9、桿的工作應(yīng)力為桿的工作應(yīng)力為 MPa18. 2MPa066. 2 m10110 N1025 262 3 A F 滿足穩(wěn)定條件式。因此，滿足穩(wěn)定條件式。因此，AB桿是穩(wěn)定的。桿是穩(wěn)定的。 A=12.74cm2 ，z0=1.52cm Iz=198.3cm4 ，Iy=25.6cm4 1) 求圖求圖(a)情況中鋼柱的許用荷載。情況中鋼柱的許用荷載。 組合截面對組合截面對z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 Iz=2198.3cm4=396.6cm4 由型鋼規(guī)格表查得由型鋼規(guī)格表查得10號槽鋼對其側(cè)邊的慣性矩為號槽鋼對其側(cè)邊的慣性矩為 54.9cm4，故組合截面對，故組合截面對y軸的慣性矩為軸的慣性矩為 因?yàn)闂U端

10、約束為兩端固定，所以失穩(wěn)將發(fā)生在彎因?yàn)闂U端約束為兩端固定，所以失穩(wěn)將發(fā)生在彎 曲剛度曲剛度EI最小的形心主慣性平面最小的形心主慣性平面xz內(nèi)。該平面內(nèi)鋼柱內(nèi)。該平面內(nèi)鋼柱 的柔度為的柔度為 3 .96 8 .109 74.122 1045 . 0 2 yy y I A l i l 10 3 根據(jù)穩(wěn)定條件式，鋼柱的許用荷載為根據(jù)穩(wěn)定條件式，鋼柱的許用荷載為 Fst=A =212.7410-4 m20.579160106 Pa =236047 N=236.05 kN 2) 求圖求圖(b)情況中鋼柱的的許用荷載。情況中鋼柱的的許用荷載。 組合截面對組合截面對z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 Iz=2198

11、.3cm4=396.6cm4 Iy=2Iy1+(z0+ )2A =225.6+(1.52+ )2 12.74 cm4=403.8cm4 2 a 2 4 . 4 可見失穩(wěn)平面為可見失穩(wěn)平面為xy平面，該平面內(nèi)鋼柱的柔度為平面，該平面內(nèi)鋼柱的柔度為 7 .50 6 .396 74.122 1045 . 0 2 zz z I A l i l 由計(jì)算用表查得折減因數(shù)為由計(jì)算用表查得折減因數(shù)為 =0.856(0.8560.852) =0.853 10 7 因此鋼柱的許用荷載為因此鋼柱的許用荷載為 Fst=A =212.7410-4m20.853160106Pa =347751N=347.8kN 2 2

12、E 由于各種鋼材的E值大致相同，所以對大柔度鋼 壓桿不宜選用優(yōu)質(zhì)鋼材，以避免造成浪費(fèi)。 i l （1）加強(qiáng)桿端約束）加強(qiáng)桿端約束 壓桿的桿端約束越強(qiáng)，值就越小，也就越小。 若將兩端鉸支的細(xì)長壓桿的桿端約束增強(qiáng)為兩端固 定，則由歐拉公式可知其臨界力將變?yōu)樵瓉淼乃谋丁?（2）減小桿的長度）減小桿的長度 桿長l越小，則柔度越小。 增設(shè)中間支撐增設(shè)中間支撐 （3）選擇合理的截面）選擇合理的截面 1) 在截面積相同的情況下，采用空心截面或組在截面積相同的情況下，采用空心截面或組 合截面比采用實(shí)心截面的抗穩(wěn)能力高，如圖合截面比采用實(shí)心截面的抗穩(wěn)能力高，如圖(b)比圖比圖 (a)合理。合理。 2) 在抗穩(wěn)能

13、力相同的情況下，則采用空心截面在抗穩(wěn)能力相同的情況下，則采用空心截面 或組合截面比采用實(shí)心截面的用料省。這是由于空或組合截面比采用實(shí)心截面的用料省。這是由于空 心截面或組合截面的材料分布在離中性軸較遠(yuǎn)的地心截面或組合截面的材料分布在離中性軸較遠(yuǎn)的地 方，故方，故i較大，較大，較小，臨界力較大。較小，臨界力較大。 3) 應(yīng)使壓桿在兩個縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的柔度大致相應(yīng)使壓桿在兩個縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的柔度大致相 等，使其抵抗失穩(wěn)的能力得以充分發(fā)揮。等，使其抵抗失穩(wěn)的能力得以充分發(fā)揮。 當(dāng)壓桿在各縱向平面內(nèi)的約束相同時，宜采用當(dāng)壓桿在各縱向平面內(nèi)的約束相同時，宜采用 圓形、空心圓形、正方形等截面，這一類截面對

14、任一圓形、空心圓形、正方形等截面，這一類截面對任一 形心軸的慣性半徑相等，從而使壓桿在各縱向平面內(nèi)形心軸的慣性半徑相等，從而使壓桿在各縱向平面內(nèi) 的柔度相等。的柔度相等。 當(dāng)壓桿僅在兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的約束相同時，宜當(dāng)壓桿僅在兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的約束相同時，宜 采用圖采用圖(c)所示所示iy=iz的一類截面。的一類截面。 當(dāng)壓桿在兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的約束不同時，宜采當(dāng)壓桿在兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的約束不同時，宜采 用矩形、工字形或圖用矩形、工字形或圖(d)所示一類截面所示一類截面，并在確定截面尺，并在確定截面尺 寸時寸時，盡量使，盡量使y=z。 (1) 穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài) 桿件在軸向壓力作用下，若給

15、桿一微小的橫向干擾， 使桿發(fā)生微小的彎曲變形，在干擾撤去后，桿經(jīng)若干次振 動后仍會回到它原來的直線形狀的平衡狀態(tài)，我們把桿件 原來處于的直線形狀的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 (2) 不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 桿件在軸向壓力作用下,如果在經(jīng)微小的橫向干擾 后桿件不能回到它原來的直線形狀平衡狀態(tài)，而是停 留在一個新的位置上維持微彎形狀下的平衡或者發(fā)生 彎折破壞，我們把桿件原來的直線形狀平衡狀態(tài)稱為 不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 (3) 失穩(wěn)失穩(wěn) (4) 臨界平衡狀態(tài)和臨界力、臨界應(yīng)力臨界平衡狀態(tài)和臨界力、臨界應(yīng)力 A Fcr cr (1) 大柔度壓桿或細(xì)長壓桿（大柔度壓桿或細(xì)長壓桿（ p），其臨界力、），其臨界力、 臨界應(yīng)力用歐拉公式計(jì)算，分別為臨界應(yīng)力用歐拉公式計(jì)算，分別為 2 2 cr )( l EI F 2 2 cr E i l （2）中、小柔度壓桿或中長、粗短壓桿（）中、小柔度壓桿或中長、粗短壓桿（ p ， 其臨界應(yīng)力用拋物線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，為其臨界應(yīng)力用拋物線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，為 2 scr a (1) 判斷壓桿的失穩(wěn)平面判斷壓桿的失穩(wěn)平面 (2) 根據(jù)柔度值，采用相應(yīng)公式計(jì)算臨界力、臨界根據(jù)柔度值，采用相應(yīng)公式計(jì)算臨界力、臨界 應(yīng)力應(yīng)力