2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1作業(yè)：第3章空間向量與立體幾何章末綜合檢測(cè)Word版含解析

1、章末綜合檢測(cè)g一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上 )1若空間三點(diǎn) A(1 , 5, 2), B(2, 4, 1), C(p, 3, q+ 2)共線，則 p=, q =解析：A、B、C三點(diǎn)共線，則有AB與AC共線，即AB = /AC ,又AB= (1 , 1 , 3), AC = (p 1, 2, q+ 4),r、11 =入(p 1) ,/= 2，.* 1 = 2 入 解得 k =1.|OA|QB|即向量OA與OB的夾角是n . 答案：n7設(shè)A, B, C, D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足 AB AC = 0, AC AD = 0, AB AD = 0, 則

2、厶BCD是三角形.解析：過(guò)點(diǎn)A的棱兩兩垂直，通過(guò)設(shè)棱長(zhǎng)應(yīng)用余弦定理可得三角形為銳角三角形.答案：銳角8已知 A(1 , 1, 1), B(2, 2, 2), C(3, 2, 4),則厶 ABC 的面積為 .解析：應(yīng)用向量的運(yùn)算，計(jì)算出cos AB , AC再計(jì)算sin AB , AC從而得S= 1|AB |AC| sin = .答案：Y9下列命題： 若m, n 2分別是平面a ,3的法向量，貝U叫/ n 2? a/ B; 若ni,n2分別是平面a,3的法向量，貝Ua丄3?n 1n2= 0; 若n是平面 a的法向量，a與a共面，則n a= 0; 若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直；

3、其中正確的個(gè)數(shù)為.解析：中平面a, 3可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，易知正 確.答案：310.在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中，i, j, k分別是x軸、y軸、z軸的方向向量，設(shè) a為 非零向量，且 = 45 , = 60,則a, k=.解析：如圖所示,設(shè)|a|= m(m 0),a= OP, PA丄平面xOy,y/2則在 RtPBO 中,|PB|=|OP| cos =牙m(xù),在 RtCO 中, |OC|= |OP|cos = m,(AB|= m,在 Rt3AB 中，/ 222 2m2 mPA=PB - AB= - , 4m - 4 =-,OD =羅,在 Rt DO 中,OD 1cos

4、 = OP = 2又 0w w 180, = 60答案：6011在正方體 ABCD A1B1C1D1中，M、N分別為棱 AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin Cm , DN 的值為.解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC, DD1,所在的直線為x軸、y 軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，可知CM = (2, 2, 1), dTn= (2, 2, 1),所以 cosCM , D-|N=一 9,故 sin Cm , D7n= 495.答案：心59-3 -1 2 -12. 點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCD - A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AP = 4AB + 2AD + 3AA1, 則點(diǎn)

5、P到棱AB的距離為 .解析：如圖所示，過(guò)P作PQ丄平面ABCD于Q,過(guò)Q作QE丄AB于E,連結(jié)PE.- 3 - 1 - 2 -AP = 4AB + 2AD + 3AA1,2 1PQ = 3 eq= 2,點(diǎn)P到棱AB的距離為PE=PQ2+ EQ2= 5.5 答案：5613. 在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， / ACB= 90,側(cè)棱A= 2,D, E分別是 CC1, A1B的中點(diǎn)，點(diǎn) E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G,貝U A1B與 平面ABD所成角的余弦值為 .解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z 軸，建立如圖所示的空

6、間直角坐標(biāo)系，設(shè) CA= CB= a,則 A(a, 0, 0), B(0, a, 0), A1(a, 0, 2), D(0, 0, 1).a aa a 1-E(a , a , 1) , G(a , 3,乳f a a 2 fGE = (6 , 6 , 3) , BD = (0, a, 1), 點(diǎn)E在平面ABD上的射影是 ABD的重心 G ,GE丄平面ABD ,Ge BD = 0,解得 a= 2.f 112 fGE =(3，3，3), BAi = (2 , 2,2).GE丄平面ABD ,GE為平面ABDf f Ge BA1那么 cosGE, bA1 =|GE|BAi|的一個(gè)法向量，4_匚=返63

7、,3X 2,3A1B與平面ABD所成角的余弦值為答案：-3-314.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面-( R ,且A, B, C不同時(shí)為零)，點(diǎn)P(xo,a 的一般方程為 Ax + By+ Cz+ D= 0(A, B , C , D|Axo+ Byo+ Cz0 + D |y0 , z0)到平面 a的距離為：d= 寸代*巳2十c?則在底面邊長(zhǎng)與高都為 2的正四棱錐中，底面中心 O到側(cè)面的距離等于 .Ji解析：如圖，以底面中心0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 0 xyz,則 A(1, 1, 0), B( 1, 1, 0), P(0, 0, 2),設(shè)平面 PAB 的方程為 Ax+ By+ Cz+ D= 0,

8、1a G將以上3個(gè)坐標(biāo)代入計(jì)算得 A= 0, B= D, C = D,證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則 A(1, 0, 0), P 0, 0, 2 ,M 2, 1, 0 , N(1, y, 1).1 , 0, 2)MN = 2, y 1, 1 .AP MN = ( 1) X 2 + 0x y AP =1 12 +尹仁，.Ap jmn ,即A1B1上任意一點(diǎn) N都有MN丄AP.16.(本小題滿分14分)已知空間向量AB, AC, AD滿足AC|= 5, |AB|= 8, AD = DB ,且CD AB = 0.求 |AB AC|;4n設(shè)/ BAC = 0,且已

9、知 cos(B+ x)= 5, n x4，求 sin( 0+ x).解：由已知得 Ab= Db IDA = DB + Ad = dB ,所以 Db = aB, Ad = DB=*AB,則|AD|=為両=5, |DBI=號(hào)因?yàn)镃D AB= 0,所以CD丄AB,在 Rt少CD 中，BC2 = BD2+ CD2,又 CD2= AC2 AD2,所以 BC2 = BD2 + AC2 AD2= 49,所以 |AB AC|= |CB|= 7.1在 RtKDC 中，cosZBAC= ?,所以n0= 3 ；n4所以 cos( 0+ x) = cos(匚 + x)=35n故 sin(3 + x)=3n而一nx7,

10、2 n n n亍3+x.n如果 o3+7tnn則 sin(- + x)sinsinWn 1 3n36、1、5,故 sin(3+x)=5舍去,n3所以 sin(了 + x)=：.3 517. (本小題滿分14分)在四棱錐P ABCD 中,底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA丄底面ABCD ,AB = 3, BC = 1, FA= 2, E 為 PD 的中點(diǎn).(1) 求直線AC與PB所成角的余弦值；在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE丄面PAC,并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離.解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A, B, C, D, P, E 的坐標(biāo)為 A(0, 0, 0)、B( .3, 0, 0)、C

11、( , 3, 1 , 0)、D(0, 1 , 0)、P(0, 0, 2)、E(0 , 1),從而 AC =(羽,1, 0), PB =(羽,0, 2),設(shè)AC與 PB的夾AC PB 33、/714|Ac|PB| 2 *7角為 0,貝U cos 0=,AC與PB所成角的余弦值為 既7(2) 由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x, 0, z),則NE = ( x , - , 1 z),由NE丄面PAC ,NE AP = 0,可得tNE AC = 0,1(-X, 2, 1-z)(0, 0, 2)= 0,即(X, 1 1 - z) - ( . 3, 1, 0)= 0,z 1 = 0,x=fz=

12、 1.即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(罟,0, 1),從而N點(diǎn)到AB和AP的距離分別為1,6 618. (本小題滿分16分)已知一個(gè)多面體是由底面為 ABCD的長(zhǎng)方體被截面 AEC1F所截而 得到的，其中 AB = 4, BC= 2, CC1= 3, BE= 1.(1) 求BF的長(zhǎng)；求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則 D(0, 0, 0), B(2 , 4 , 0) , C(0 , 4 , 0) , E(2 , 4 , 1) , A(2 , 0 , 0) , G(0, 4 , 3); 設(shè) F(0, 0 , z),四邊形AEC1F為平行四邊形，Af = EC1，得(2 ,

13、0 , z) = ( 2 , 0 , 2),z= 2, /F(0 , 0 , 2) , /BF = ( 2, 4 , 2).于是|BF|= 2 .6,即BF的長(zhǎng)為2 6設(shè)n 1為平面AEC1F的法向量，顯然n 1不垂直于平面 ADF ,故可設(shè)m = (x , y , 1), n 1 AE= 0 ,0Xx+ 4 X y+ 1 = 0 ,由得n 1 AF = 0 ,| 2X x + 0 X y+ 2 = 0 ,|4y+ 1 = 0,即2x + 2= 0,X= J . _1 1)1 - n1 = (1 , 4 , 1). y=-1又CC1 = (0 , 0 , 3),設(shè)CC1與n 1的夾角為a,CC

14、1 n 13433則cos a=十產(chǎn)=垮.|CC1|n1| 3 X . 1 + 16+ 1C到平面AEC1 F的距離為 d |CC |cos3X 33 =遁d= |CC1|cos a= 3X 33=11.19. (本小題滿分16分)如圖，四棱錐P ABCD的底面為直角梯形，AB / DC , / DAB =190 , PA丄底面 ABCD ,且 PA= AD = DC = AB , M 是 PB 的中點(diǎn).證明：平面 PAD丄平面PCD ;求AC與PB所成角的余弦值；求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0, 0,10)

15、, B(0, 2, 0), C(1 , 1, 0), D(1, 0, 0), P(0 , 0 , 1) , M(0 , 1 ,-).(1)證明：因AP = (0 , 0, 1), DC = (0, 1, 0),故 AP DC = 0,所以AP丄DC.由題設(shè)知 AD丄DC ,且AP A AD = A,由此得 DC丄平面FAD.又DC在平面 PCD上，故平面PAD丄平面PCD.(2) 因?yàn)?AC = (1,1 , 0), PB = (0, 2, 1),故|AC|= .2, |PB|= 5, AC PB= 2,t t ac PB所以 cos =.t -t5AC|PB|故所求AC與PB所成角的余弦值為

16、電05(3) 在 MC 上取一點(diǎn) N(x, y, z),則存在入 R,使NC = MC ,NC = (1 -x, 1 y, z), MC = (1, 0, 2),1x = 1入 y= 1, z= 2 入要使AN丄MC ,只需AN MC = 0,1 4 即x -z = 0,解得入=?2 54 12可知當(dāng)入=5時(shí)，n點(diǎn)坐標(biāo)為(5, 1, 5),.AN MC = 0,t 12 f 12此時(shí) AN= (5, 1, 5), BN = (5, 1, 5),有BN MC = 0.由AN MC = 0, BN MC = 0 得AN JMC , BN 丄/IC,所以/ ANB為面AMC與面BMC所成二面角的平面

17、角.兩=嚴(yán)，|bN|= , AN BN = 4,f f AN BN cosAN, BN=t23.|AN|BN|故所求的二面角的余弦值為一20. (本小題滿分16分)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面PAD丄底面ABCD ,側(cè)棱PA = PD = . 2,底面ABCD 為直角梯形，其中 BC / AD , AB丄AD, AD = 2AB= 2BC= 2, O為AD中點(diǎn).(1) 求證：PO丄平面ABCD ;(2) 求異面直線PB與CD所成角的余弦值；求點(diǎn)A到平面PCD的距離.解：(1)證明：如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC, OD、OP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 O

18、xyz.則 A(0, 1, 0), B(1, 1, 0), C(1, 0, 0), D(0, 1, 0), P(0, 0, 1).所以 OP= (0, 0, 1), AD = (0, 2, 0), OPAD = 0,所以PO丄AD,又側(cè)面PAD丄底面ABCD ,平面FAD門平面ABCD = AD, PO?平面FAD , 所以PO丄平面ABCD.(2)CD = (- 1 , 1 , 0), PB = (1 , 1, 1),所以 cos PB CD 1 1|Pb|CD| 3八 2所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為(3) 設(shè)平面 PCD 的法向量為 n = (xo, yo, zo), CP= ( 1 , 0, 1), CD = ( 1, 1, 0), n CP = 0 X0 + Z0= 0由 t ,得,n CD = 0 X0+ y0= 0即X0= y