彈性力學重點(適合入門)

1、.1 試簡述力學中的圣維南原理，并說明它在彈性力學分析中的作用。圣維南原理： 如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應力分布將有顯著的改變，但遠處的應力所受影響可以忽略不計。作用：（ 1）將次要邊界上復雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（ 2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應力邊界條件處理2 （ 8 分）彈性力學中引用了哪五個基本假定？五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？答：彈性力學中主要引用的五個基本假定及各假定用途為：（答出標注的內(nèi)容即可給滿分）1）連續(xù)性假定： 引用這一假定后， 物體中的應力、 應變和位移等物理量就可

2、看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2）完全彈性假定：這一假定包含應力與應變成正比的含義，亦即二者呈線性關系，復合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反應這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E 和泊松比 等）就不隨位置坐標而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。 同時，在研究物體的變形

3、和位移時， 可以將它們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程。3 （ 8 分）彈性力學平面問題包括哪兩類問題？分別對應哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特答：彈性力學平面問題包括平面應力問題和平面應變問題兩類，兩類問題分別對應的彈性體和特征分別為：平面應力問題：所對應的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應力分量x ,y ,xy 存在，且僅為 x,y 的函數(shù)。平面應變問題： 所對應的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 軸無變化，只有平面應變分量x ,y ,xy 存在

4、，且僅為x,y 的函數(shù)。4 簡述按應力求解平面問題時的逆解法。所謂逆解法， 就是先設定各種形式的、滿足相容方程的應力函數(shù)；并由應力分量與應力函數(shù)之間的關系求得應力分量； 然后再根據(jù)應力邊界條件和彈性體的邊界形狀， 看這些應力分量對應于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應力函數(shù)可以解決的問題。5 有限元分析的解題步驟。答：（ 1）力學模型的確定；（ 2）結構的離散化；（ 3）計算載荷的等效節(jié)點力；（ 4）計算各單元的剛度矩陣； （ 5）組集整體剛度矩陣； （ 6）施加便捷約束條件 ;(7) 求解降階的有限元基本方程；（ 8）求解單元應力；（ 9）計算結果的輸出 7 逆解法：設定各種形式的、

5、滿足相容方程的應力函數(shù)，求出應力分量后，根據(jù)應力邊界條件判斷該應力函數(shù)能解決什么問題。8 半逆解法 ：針對所求問題， 假定部分或全部應力分量的函數(shù)形式、從而推出應力函數(shù)的形式。然后代入相容方程， 求出應力函數(shù)的具體表達式。最后求出應力分量，并考慮這些應力分量是否滿足全部應力邊界條件及多連體中的位移單值條件9 圣維南 (Saint Venant)原理 ：作用于物體某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用一個與之1 / 5.靜力等效的力系來代替。而兩力系所產(chǎn)生的應力分布只在力系作用區(qū)域附近有顯著的影響 , 在離開力系作用區(qū)域較遠處 , 應力分布幾乎相同(1) 必須滿足靜力等效條件；(2) 只能在次要邊界上用

6、圣維南原理，在主要邊界上不能使用。彈性力學問題的求解方法：10 按位移求解以 u、v 為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v 表示，并求出 u、v，再由幾何方程、物理方程求出應力與形變分量11 按應力求解以應力分量為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應力分量表示，并求出應力分量；再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移12. 混合求解以部分位移分量和部分應力分量為基本未知函數(shù)， 并求出這些未知量，再求出其余未知量。以應力分量為基本未知函數(shù)， 將所有方程都用應力分量表示， 并求出應力分量；再由幾何方程、物理方程求出形變彈性力學概念研究對象材料力學基本上只研究所謂桿狀構件， 研究這種構件在拉伸（

7、壓縮）、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲作用下的應力和位移。結構力學主要是在材料力學的基礎上研究桿狀構件所組成的結構， 即桿系系統(tǒng)，如桁架、剛架。彈性力學可對桿狀構件作進一步的、 較精確的分析； 另外還對非桿狀結構，例如板和殼，以及擋土墻、堤壩、地基 等實體結構加以研究 .2 / 5.研究方法材料力學：借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如平面假設等，然后由靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析。結構力學：與材料力學類同。彈性力學：僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。彈性力學的任務和材料力學、結構力學的任務一樣， 是分析各種結構物或其構件在彈性階段的應力和位移，校核它們是否具有所需

8、的強度和剛度。13 邊界條件 ：這里是指已知條件中彈性體外表面各部分點上所受的約束和荷載。位移邊界條件：約束已知的部分稱為位移邊界條件。應力邊界條件：荷載已知的部分稱為應力邊界條件。混合邊界條件：一部分約束已知，一部分荷載已知稱為混合邊界條件。14 應力狀態(tài) 指彈性體內(nèi)任一點個個不同方向截面上應力的全部情況。 包括：任意方向斜截面的應力和坐標面方向平面上的關系； 主應力及其所在方位， 即主方向，主平面位置；一點應力極值的大小及應力變化范圍。展開的32I2I30I1方程的三個系數(shù)為I1xyzI 2222x yyzz xxyyzzxI 32222x y zxyyz zxxyzy zxz xy方程（

9、 2-6 ）稱為應力狀態(tài)特征方程，其系數(shù)的三個表達式稱為應力狀態(tài)三個不變量。其所以不隨坐標變化而變化，是因為物體受力平衡時， 每點的應力狀態(tài)就是確定的， 并不隨所取坐標系而變化。 所以特征方程和應力不變量反映了彈性體內(nèi)一點應力狀態(tài)的確定性。彈性體在受力過程中如果始終表示平衡，因而無動能變化， 假定非機械能也3 / 5.無變化，則外力勢能就完全轉(zhuǎn)化為形變勢能。 或者說，外力做功完全轉(zhuǎn)化為變形能。例如，在 x 方向受均勻正應力 x ，相應的正應變?yōu)?x ，微分單元體每單位體積中具有的形變勢能為1x x ，或者稱為形變勢能密度或比能。再比如，x 和2y 方向由均勻剪應力xy 及相應的剪應變xy 計算

10、的比能就是 1xy xy 。2微元體六個獨立應力分量及相應的六個應變分量都會產(chǎn)生比能。 根據(jù)能量守恒定理，微元體的全部比能可由下式計算，即U11（48）( x xy yz zxy xyyz yzzx zx )2在一般情況下，應力和應變是位置坐標的函數(shù)，因而比能U 1 也是位置坐標的函數(shù)。這樣，彈性體總的形變勢能就可以由比能在彈性體范圍內(nèi)的積分來計算?？梢詫懗蒛U 1dxdydz（49）( x xy yz zxy xyyz yzzx zx )dxdydz或 U2（ 4 10）平面應力問題平面應變問題：E E2 ，11平面應變問題平面應力問題：E E(12) ， (1)21位移邊界條件：邊界曲線上受約束的點有位移已知的邊界條件。usuvsv（65）應力邊界條件：邊界曲線上受荷載作用的點上有內(nèi)力與面力平衡的已知條件l ( x ) sm(yx ) sXl ( xy )sy ) s（66）m(Y混合邊界條件：約束和荷載已知條件。單連通體：彈性體由一條閉合曲線圍成。其邊界條件稱為簡單邊界條件。多連通體：由兩條以上閉合曲線圍成一個彈性體。平面問題中一點的應力狀態(tài)（參考）4 / 5.14、彈性力學中應力如何表示？正負如何規(guī)定？答：彈性力學