波動方程的簡諧平面波解

1、波動方程的簡諧平面波解在建立了波動方程之后，我們來討論其解的形式及其特性。1、簡諧平面波(1)波動方程的簡諧平面波解聲波在空間中傳播，其傳播方向和波陣面垂直。平面波是波陣面是平面的聲 波，而簡諧平面波是波陣面(對簡諧波而言，波陣面也是等相位面)是平面的簡 諧聲波。具有任意波形的聲波可以通過付里葉變換分解為多個(gè)具有不同頻率的簡 諧平面波的疊加。因此，簡諧波傳播是波動傳播的基礎(chǔ)。一般簡諧平面波的聲壓幅值在等相面上有一定的分布。這里只討論聲壓幅值 在等相面上處處相同(均勻平面波)的簡單情況，較為復(fù)雜的非等聲壓幅值平面 波(非均勻平面波)在后面的學(xué)習(xí)中會遇到。對一維均勻簡諧平面波,聲壓幅值可以只用一個(gè)

2、坐標(biāo)來描述。 若取平面波的 傳播方向?yàn)閤軸正方向，假設(shè)波動方程中c為常數(shù)，則波動方程的均勻簡諧平面 波解可以分離變量有如下形式：p(x,t) = p(x)t(t) ,(2-23)其中，p(x)和t(t)分別為p(x,t)的空間坐標(biāo)相關(guān)因子和時(shí)間相關(guān)因子。將 (2-23) 式代入到(2-15)中，并分離變量，得222(2-24)(2-25)1 d2tc2 d2p(x)t(t) dt2p(x) dt2其中，為2為分離常數(shù)。由(2-24)式可得兩個(gè)方程:d2t(t)2t5)= d2p(x)dt22_+ k p(x) = 0 o(2-26)12其中，k2 =2/c2 ,為常數(shù)(2-25)式的兩個(gè)特解為

3、e網(wǎng)和ej(右，后者描述具有“負(fù)頻率”的振動，無實(shí)際意義，只保留ejm； (2-26)式的兩個(gè)特解為ejkx和ejx。由此得到波動方程的簡 諧平面波解為p(x,t) = p (x,t)p,(x,t)二aei對推導(dǎo)過程中幾個(gè)量物理意義的討論：- obejt+kx(2-27) 由(2-25)的解e網(wǎng)可以看出，。是簡諧波的圓頻率，也可以理解為：在簡諧波傳播的過程中，介質(zhì)中某一質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過單位時(shí)間變化的相位值 （對應(yīng)著周期數(shù)） 先討論（2-27）式的第一項(xiàng)p+（x,t）。當(dāng)t=0時(shí)，聲壓p+（x,t）在x = %處的值（狀態(tài)）為ae;當(dāng)t=t1時(shí)，在x = x0+2ti位置上，p+（x,t）的值也為ae*

4、0。這說明由 kp4x,t）描述的聲波在ti時(shí)間間隔上，由x = x0位置傳播到了 x = x0+ti位置上， k即聲波傳播了距離 x - x0 = -ti o k由此可知，i. p/x,t）描述的是沿x軸正方向傳播的聲壓幅值為 a的均勻簡諧 平面波；ii.聲傳播的速度是：c=o/k。回顧c的定義（2-9）式，當(dāng)時(shí)我們還不清 楚這個(gè)量的真實(shí)物理意義，在此得到了明確。另外一種解釋方法：觀察者站在等相面上，等相面將向波前進(jìn)方向移動。此 時(shí)，等相面的相位值不隨時(shí)間變化而變化。因此有d _kx =0 , dtdx=0。dt即由此得dxc =00dt同樣道理，p_（x,t）描述的是沿x軸負(fù)方向傳播的聲壓

5、幅值為 a的均勻簡諧平 面波。（3） k=cc/c,6是簡諧平面波的頻率，c是聲波的速度，由=2nf和f=c九 （f和九分別為聲波的頻率和波長）可知，k =2兀/九。波長九的意義可以理解為：沿波傳播方向，不同質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)不同，波長ax =九這樣一個(gè)距離上，不同質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)剛好變化一個(gè)周期 kx=2n o也可以直觀理解為：在單位長度上， 不同質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)變化的周期數(shù)，亦即表示波動狀態(tài)沿空間上變化的快慢。類 比時(shí)間域的周期和圓頻率，九可以理解為空間域的周期，而k可以理解為空間域 的頻率。為和時(shí)間域頻率區(qū)分開來，我們把空間域的頻率k稱為波數(shù)。（4） （2-24）式中的分離變量常數(shù)取純負(fù)數(shù)-2

6、,為何不取純正數(shù)82 ?理論上，兩者都應(yīng)該保留。但當(dāng)分離變量常數(shù)取純正數(shù) 82時(shí)，分離變量后的時(shí)間相關(guān)部分 的微分方程為d2t(t)dt2- ,2t(t) =0該方程的解為ae-t bet,第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別是隨時(shí)間指數(shù)減小和增加的函 數(shù)，而不代表波動，在此無意義，故此舍去。通過求解波動方程，我們已經(jīng)得到了均勻簡諧平面波的聲壓。下面我們進(jìn)步討論均勻簡諧平面波的質(zhì)點(diǎn)振速，并由此給出其聲強(qiáng)。由運(yùn)動方程(2-14)式，并分別代入沿x軸正、反方向傳播的均勻簡諧平面波的聲壓可得質(zhì)點(diǎn)振速為1 fp u出二一j . t -kx eo(2-28)由(2-22)式，沿x軸正、反方向傳播的均勻簡諧平面波的聲強(qiáng)分別

7、為1 ti rep reu dt t 0(2-29a)(2-29b)1 ta = acos( t 一 kx)cos( t 一 kx)dtt 070c22a _ po270c - 2rc -21i_= repreudtt 0oa2po1一2-2米一一2混一一2 0cu0一 .a兩式中，po=a, uo =一。 (2-29b)式右環(huán)的-方表小嚴(yán)能流沿 x軸反方向卜0c0傳播。由(2-29a)和(2-29b)兩式可以看出，均勻簡諧平面波的聲強(qiáng)不隨距離變化, 即均勻簡諧平面波聲強(qiáng)不隨距離衰減。這是其非常重要的一個(gè)物理特征。為方便記憶，可將聲功率、聲壓幅值、質(zhì)點(diǎn)振速幅值及阻抗同交流電中電功率、電壓幅值、

8、電流幅值及電阻相類比。(2)聲波傳播速度我們在(2-9)式中定義02=5經(jīng)近似得到了c - co -dp1d p js, 0并在前一小節(jié)的討論中知道c的物理意義是聲波在介質(zhì)中的傳播速度。比值(dp/d p)s, 0代表了介質(zhì)的可壓縮性。如果聲波在介質(zhì)中的傳播過程是絕熱的，在平衡態(tài)附近，給定壓差dp,若dp變化很小，介質(zhì)中聲波的傳播速度就 快。否則，介質(zhì)中聲波的傳播速度就慢。如在金屬中的聲波速度較快，而在氣體 中聲波的速度較慢。(3)介質(zhì)特性阻抗先定義介質(zhì)的聲阻抗率為聲場中某點(diǎn)聲壓與振速之比：z = p/u。(2-30)其中，p和u分別為聲場的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速。聲阻抗率是一個(gè)復(fù)數(shù)。它的幅值表 示在

9、介質(zhì)中產(chǎn)生單位質(zhì)點(diǎn)振速所需的聲壓大??；它的相位表示聲場中聲壓和質(zhì)點(diǎn) 振速的相位差。后者可以理解為給介質(zhì)中的某質(zhì)點(diǎn)加一聲壓，而該質(zhì)點(diǎn)的振速沒有立即反應(yīng)，其狀態(tài)較聲壓狀態(tài)有一個(gè)延時(shí)(相位差)。對于所有形式的聲波，我們都可以通過(2-30)式求得其聲阻抗率，或者說(2-30) 式是一個(gè)對所有聲波普適的定義。對于平面波而言，聲阻抗率為z =： ；0c。(2-31)其中，符號“ +”為沿x軸正向傳播平面波的聲阻抗率；符號“-”為沿x軸負(fù)向 傳播平面波的聲阻抗率。平面波的聲阻抗率有如下特點(diǎn)： 平面波的聲阻抗率是實(shí)數(shù)，表明聲壓和振速處處相同（正向波）或反相（反 向波）。這表明聲能全部傳播到后面位置。聲壓和振

10、速之間存在相位差時(shí)，通過 計(jì)算聲強(qiáng)可以看出相位差對能量傳遞的影響。 （自行驗(yàn)證）平面波的聲阻抗率和聲波的聲壓幅值無關(guān)，和聲波頻率無關(guān)，只和介質(zhì)本身 的參數(shù)密度p。及聲速c有關(guān)。鑒于平面波聲阻抗率是介質(zhì)的特性常數(shù)， 我們把平 面波的聲阻抗率pc稱為介質(zhì)的特性阻抗。其它形式聲波的聲阻抗率不僅和介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，還和聲波參數(shù)（如頻率、聲壓幅值大小等）相關(guān)。不能用其阻抗率作為介質(zhì)自身的特性參數(shù)。（4）平面波在兩種不同均勻介質(zhì)分界面上的反射和折射聲波在海洋中傳播，海面是海水介質(zhì)和空氣介質(zhì)的分界面；海底是海水介質(zhì) 和海底介質(zhì)的分界面。在這兩個(gè)分界面上，聲波將發(fā)生反射和折射。另外，由于 海水介質(zhì)的折射率隨深度和

11、水平位置不同，聲波也會發(fā)生折射現(xiàn)象。因此，本小 節(jié)的知識將是研究海水中聲傳播過程理論基礎(chǔ)的一部分。這部分知識在聲學(xué)基礎(chǔ)中也是重點(diǎn)掌握的知識。因此，部分推導(dǎo)將略去。垂直入射3圖2.1平面波垂直入射到兩介質(zhì)分界面時(shí)參數(shù)示意圖在兩種不同介質(zhì)的分界面上，由于兩介質(zhì) 的特性阻抗不同，聲波分界面上會發(fā)生反射和 折射。在介質(zhì)1中：p1 =piei prei t k1x= plei gx 一旦尸路:?lc1:?lc1在介質(zhì)2中：ptu2 =- 82界面上聲壓連續(xù)：pi x , t心=p2 x , t x衛(wèi)p +pr =pt。界面上法向振速連續(xù)：u1 x , t =u2 x, t x_0 x 0,i x /即p

12、 _ pr r：lclci：2c2由此可以推得 聲壓反射系數(shù):(2-32)(2-33)pr;-2c2 -；1c1z2 - zipi12c2 ；1c n zi聲壓透射系數(shù):與 2 ：2c22z2p = 72c2 - ij = z2zi其中，zi = ng為介質(zhì)1的特性阻抗，z2 = p2c2為介質(zhì)2的特性阻抗。由(2-32)式和(2-33)式可知，聲波在分界面上反射和透射的大小決定于媒質(zhì) 的特性阻抗。下面分別討論幾種極端情況，以對阻抗變化和反射、透射的關(guān)系有 更深刻的認(rèn)識。i . zi =z2有r=0, d=i,表明聲波沒有反射，即全部透射。也就是說，即使存在兩 種不同介質(zhì)分界面，但只要兩種介質(zhì)

13、的特性阻抗相等，那么對聲傳播來講分界面 就好像不存在一樣。ii .乙 0 , d 0 ,因?yàn)榻橘|(zhì)n比介質(zhì)i在聲學(xué)上更“硬”,這種邊界稱為硬 邊界，在硬邊界上，反射波聲壓和入射波聲壓同相。iii .乙 z2有r0,這種邊界稱為軟邊界，在軟邊界上，反射波聲壓和入射波 聲壓相位相反，產(chǎn)生半波損失現(xiàn)象。而當(dāng) 乙？ z2時(shí)，r = -1, d=0。iv . zi z2有r/，d 22 ,介質(zhì)ii對介質(zhì)i來說“絕對硬”，反射波聲壓和入射波聲壓 大小相等，相位相同，所以在分界面上合成聲壓為入射聲壓的兩倍，實(shí)際上發(fā)生 的是全反射。雖然聲壓透射系數(shù)為2,但可以計(jì)算得出介質(zhì)2中的質(zhì)點(diǎn)振速為00因此, 在介質(zhì)2中沒

14、有透射波。下面討論能量的透射情況。為此先定義透射損失tl :ltl =10lg ； =10lgzzl1z2d2 =10lgz2-20lgd(2-34)uizpiurzcos %pigprcos入在邊界是絕對硬的條件下，zi z2, d化2 , tl值很大，表明透射能量比例很小，如聲波由空氣入射到水中，z1/z2 =3570透射損失tl=29.5db。在邊界是絕對軟的條件下，乙？ z2, d%0, tl值也很大，表明透射能量比例很小, 如聲波從海水中入射到海面，聲波能量幾乎全部反射回海水中。斜入射 入射波聲壓:pi (x , z, t )= p expi儂tk1xsin hi +k1zcosr

15、)反射波聲壓：pr x , z, t = pr exp l：t -k1xsin % k1zcos3 1折射波聲壓：pt (x , z , t )= pt exp l(cot k2xsin 4 +k2zcos8t j 圖 2.2 平面波斜入射到兩介質(zhì)分界面時(shí)參數(shù)示意圖上述聲波的法向振速：邊界上聲壓連續(xù)：(pi +pr 底=pt zm邊界上法向振速連續(xù)：(uiz *urz)z-0 =utz z=0由此推得,反射定律:(2-35)折射定律(snell):sin 3k2c1=nsin 入k1c2(2-36)聲壓反射系數(shù):(2-37)pr72c2c0sm ：icicosz2n - zinr =pi72c

16、2 cos工 eclcosz2n zn聲壓透射系數(shù):cpt2 72c2cos2z2nd =二=pip2c2 cos三- p1gcos%z2n - z1n(2-38)其中，zin = pici/cosq和z2n = p2c2，cos&分別為介質(zhì)1和2的法向聲阻抗率，n為折射率。取門=5/匕2、m = f2/pi ,則由折射定律得ncos =；n2-sin28i ,分別代入到(2-37)和(2-38)兩式中得mco si -】n2 -sinr =mc o si * n2 -s i n(2-39)2mc o si(2-40)從(2-39)和(2-40)兩式可知：1)當(dāng)n =ci/c2 1時(shí)，折射角q

17、 4 ,在介質(zhì)2中有折射波存在。2)當(dāng)門:兒4 ,當(dāng)入射角耳 久時(shí)發(fā)生全內(nèi)反射現(xiàn)象?；?yàn)?全內(nèi)反射臨界角。由折射定律可知qc =arcsinn = arcsinc1/c2。(2-40)當(dāng)全反射現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，斗不再是實(shí)數(shù)，在第二種介質(zhì)中沒有正常意義下的折射波。我們通過反射系數(shù)和透射系數(shù)進(jìn)一步討論反射波和折射波的特性。i.入射角大于全反射角時(shí)的反射波當(dāng)耳4c ， ncosr =vn2 -sin2 0 =j vsin2 -n2 ,根據(jù)熄滅原理，zt -0 ,折射波ejk2zcosj0,因此，ncos=jjsin2 n2 ,則反射系數(shù)為:(2-41)(2-42)mcosqi + j jsin26i -n

18、2 ir =i-2 i 匚=| r eimcosii - j . sin2 i -n22arctu mc o si（2-41）和（2-42）兩式表明，發(fā)生全內(nèi)反射現(xiàn)象時(shí)，反射系數(shù)的大小為1;反射波的相位較入射波發(fā)生躍變，大小由（2-42）式給出。當(dāng)入射波入射角 a=90：時(shí),相位跳躍最大邛=180: r趨于1,界面總聲壓為零。若第二介質(zhì)存在聲吸收（例如海底），就不會發(fā)生全反射現(xiàn)象（反射系數(shù)模 小于1）。數(shù)學(xué)上經(jīng)常用復(fù)數(shù)聲速或波數(shù)來描述介質(zhì)對聲波的吸收現(xiàn)象，同學(xué)們 自行推導(dǎo)用復(fù)數(shù)波數(shù)或聲速表示介質(zhì)吸收的情況。下面給出復(fù)數(shù)聲速表述介質(zhì)2聲吸收的推導(dǎo)。設(shè)介質(zhì)2聲速為c2=qo（1 + j。），qo代

19、表真實(shí)聲速，則(2-43)一 。gn = 一 =，c2c2o(1j ：)其中a為正的小量。對（2-43）式作近似可得n = no(1-,其中n = g/c20?？梢郧蟮谩in2 i -n2 : sin2 i - n2(1 - ： 2) 2 j.：in2=a+jb = m1 jm 2其中，a = sin2。n2(132), b=2n2 ,ml a2 b2 a, m2 = -1. a2 b2 - a、22把它們代入到反射系數(shù)表達(dá)式（2-41）式中得到mcos-i -m2 jm 1 r =:m cos-i m 2 - jm 1=rj其中,r _ i (mcosi -m 2)2 +m 12 y (m

20、cosi+m 2)2+m 12 ?2mlmcos ui: arctg (2r2t2)2222m cos 三- m 1 - m 2(2-43)(2-44)(2-45)()102030 40 jo 6080900圖2.3 m=2.7, n=0.83, a取不同值時(shí)的|r|和小(2-46)由(2-44)式可以看出，在介質(zhì) 2 中有聲吸收時(shí)，r1,且越大，r 越小。圖 2. 7 為 m=2.7, n=0.83 情況下, 反射系數(shù)的模和相位跳躍隨入射角 的變化，維之56二。ii.入射角大于全反射角時(shí)的透射波由反射系數(shù)和折射系數(shù)的定義 可知，在分界面上，d =1 +r,當(dāng)入射角大于全內(nèi)反射臨界角時(shí)， r

21、=1 ,把(2-43)式代入到(2-46)式中得(2-47)z0o (2-48)d =1 +ejcp = 2cos. je。2則折射聲壓為:j_;：pt =2cose 2 pi exp | j r：t -k2xsin 入 k2zcos 入：|根據(jù)折射定律，k2 cos =ki $n2-sin2 =jki；sin2 4 -n2 ,考慮到熄滅條件，則 折射波為：；- j22pt =2cos e 2 re 1 exp j gtk2xsin 斗)z 0。(2-49)折射波是沿x軸正向傳播的平面波，但幅值隨z1作指數(shù)衰減，見圖2.4。我們稱波陣面(等相位，中 i面)上振幅隨離分界面的距離增大作指數(shù)衰減的

22、平面波為非均勻平面波。.i非均勻平面波沿x軸正向的傳播速度可用:二 二如下方法求得。一聲波傳播過程中，狀態(tài)保持不變。因此，相位的全微分為0,即1圖2.4非均勻平面波ddt 二dx自 改 ,=dt-k1sinidx =0dxc|nc2dt sin 飛 sin %(2-50)且有， ci ch c2。非均勻平面波透入第二介質(zhì)的深度，取決于衰減因子中z的系數(shù)：6 =k1 vs i n9i -n2。（2-51）頻率愈低，3愈小，深入的距離愈大。低頻聲波深入海底深度較大，高頻聲 波只能在海底表面?zhèn)鞑?。這里存在一個(gè)能量守恒的問題。全反射時(shí)，入射波能量等于反射波能量。那 么，非均勻平面波能量的出現(xiàn)，是否違反

23、能量守恒原理？這個(gè)問題，布列霍夫斯 基赫給出了解釋。請參閱：分層介質(zhì)中的波，布列霍夫斯基赫著，有中譯本， 科學(xué)出版社出版。問題：平面波由均勻介質(zhì)1入射到均勻介質(zhì)2的分界面上，n = c1/c21, g 和c2分別為介質(zhì)1和介質(zhì)2中的聲速。當(dāng)入射角大于全內(nèi)反射臨界角時(shí)， 若介質(zhì) 2有吸收（r 1）時(shí)，是否有非均勻平面波存在？請討論。（提示：此時(shí)，取k2 為復(fù)數(shù)討論）分界面上聲波反射時(shí)的能量關(guān)系入射波強(qiáng)度:iip22 71cl反射波強(qiáng)度:irp2|r折射波強(qiáng)度:itp2d22 ： 2c2圖2.5斜入射時(shí)的聲能關(guān)系i.在垂直入射情況，有:ii.在斜入射情況，一般ii=ir+it。(2-52)如圖2.

24、5所示，根據(jù)能量守恒定律:s1i i = si i r + s2i t。般，q #斗，因而& #s2,所以ii i+it。這時(shí)，功率透射系數(shù)不能只用透射聲強(qiáng)和入射聲強(qiáng)來描述。定義功率透射系數(shù):wts2it=owisji(2-53)考慮到 s = ab cosei, s2 =ab cos6t ,tws21t _ zd2s1iiz2n4：1g 72c2 cos“ cos-t、.2i :2c2 cosi . ：1g cosrt(2-54)由(2-54)式可知，在兩種介質(zhì)特性阻抗相差不大的情況下，功率透射系數(shù)接近1,透射能量損失很小。這有利于換能器導(dǎo)流罩得設(shè)計(jì)。例如換能器振子與透 聲外殼中，往往充以和

25、水特性阻抗接近的篦麻油或有機(jī)硅油，以保障聲能透過。2、簡諧球面波 各向均勻的簡諧球面波 各向均勻簡諧球面波解波動方程的各向均勻簡諧球面波解為(2-55)質(zhì)點(diǎn)振速為其中，tgkru(r,t)=：01-dt=( 二 r72e;0ckr：0cr1 ：0ckr2)ej ：小. t -krej- t-kr(2-56)(2-57a)13聲阻抗率z二u0ckr,1 (kr)17(kr)21 (kr)2j 70ckr1 (kr)2(2-57b)分析(2-57a)和(2-57b)兩式可得各向均勻簡諧球面波的特性如下：i.聲阻抗率是復(fù)數(shù)，聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速間存在相位差，且該相位差隨著距離增加 而減小。ii .當(dāng)kr

26、? 1時(shí)，由(2-57b)式可知，z定pc。這表明球面波在遠(yuǎn)場的聲特性接近于平面波。這個(gè)現(xiàn)象可以解釋為：當(dāng)半徑很大時(shí)，球面波的球面曲率越來越小， 其聲特征也越來越接近于平面波。聲強(qiáng)由(2-22)式知，聲強(qiáng)pudt是一矢量。但由于均勻簡諧球面波的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速只有徑向分量，聲強(qiáng)也只有徑向分量，這里用i來表示聲強(qiáng)的徑向分量。1 ti repreudtto1 t aa=fcos(t -kr)- cos(t - kr +平)dt。 (2-58)t 0 r- 0cr cos2 2, a p2：ocr22：c對于均勻?qū)ΨQ球面波源，通過半徑為r封閉球面的總功率為w - 4：= r2 i -22 二 a2二0：c即總聲功率不隨距離變化。其它各類波動方程的波解參閱教材復(fù)習(xí)。三、相速度和群速度前面討論的幾種波的傳播速度，都是單一頻率波的傳播速度，也就是波陣面 (等相面)傳播的速度，稱為波的相速度。當(dāng)介質(zhì)中存在兩個(gè)以上不同頻率的聲 波時(shí)，不同頻率的聲波疊加在一起，形成波包。波包傳播的速度就是群速度。1 .相速度單一頻率簡諧波等相面?zhèn)鞑サ乃俣?，稱為波的相速度。簡諧平面波p(x,t) =aejsi),其相位為kx?？疾炱淠骋坏认辔幻?即某一相位值)的位置