高中數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) 數(shù)列復(fù)習(xí)專(zhuān)題 精品練習(xí)題解析含答案

1、數(shù)列【例1】 求出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式解 (1)所給出數(shù)列前5項(xiàng)的分子組成奇數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n1，而前5項(xiàng)的分母所組成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為22n，所以，已知數(shù)列的(2)從所給數(shù)列的前四項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子組成偶數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n，而分母組成的數(shù)列3，15，35，63，可以變形為13，35，57，79，即每一項(xiàng)可以看成序號(hào)n的(2n1)與2n1的積，也即(2n1)(2n1)，因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：(3)從所給數(shù)列的前5項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子都是1，而分母所組成的數(shù)列3，8，15，24，35，可變形為13，24，35，46，57，即每一項(xiàng)可以看成序號(hào)n與n2的積，也即n(n2)各項(xiàng)的

2、符號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：1，4，9，16，25，是序號(hào)n的平方即n2，分母均為2因此所【例2】 求出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)2，0，2，0，2，(3)7，77，777，7777，77777，(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，解 (1)所給數(shù)列可改寫(xiě)為11，11，11，11，可以看作數(shù)列1，1，1，1，的各項(xiàng)都加1，因此所給數(shù)的通項(xiàng)公式an(1)n+11所給數(shù)列亦可看作2，0，2，0周期性變化，因此所給數(shù)列的數(shù)列n，分子組成的數(shù)列為1，0，1，0，1，0，可以看作是2，(4)所給數(shù)列0.2，0.22，0.222，0.2222，

3、0.22222，可以改寫(xiě)說(shuō)明1用歸納法寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律對(duì)于項(xiàng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的數(shù)列，可將其分成幾個(gè)部分分別考慮，然后將它們按運(yùn)算規(guī)律結(jié)合起來(lái)2對(duì)于常見(jiàn)的一些數(shù)列的通項(xiàng)公式(如：自然數(shù)列，an=n；自然數(shù)的平方數(shù)列，ann2；奇數(shù)數(shù)列，an2n1；偶數(shù)數(shù)列，an=2n；納出數(shù)列的通項(xiàng)公式3要掌握對(duì)數(shù)列各項(xiàng)的同加、同減、同乘以某一個(gè)不等于零的數(shù)的變形方法，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一些數(shù)列幾項(xiàng)【例4】 已知下面各數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn的公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)sn2n23n(2)snn21(3)sn2n3(4)sn(1)n+1n解 (1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=s11；當(dāng)n2

4、時(shí)，ansnsn-1=(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，因此an=4n5(2)當(dāng)n1時(shí)，a1s1=112；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn-1=n21(n1)212n1，由于a1不適合于此等式，(3)當(dāng)n1時(shí)，a1=s123=5；當(dāng)n2時(shí)，an=snsn-12n3(2n-13)2n-1，由于a1不適合于此等式，(4)當(dāng)n1時(shí)，a1s1=(1)21=1；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn-1=(1)n+1n(1)n(n1)=(1)n+1(2n1)，由于a1也適可于此等式，因此an(1)n+1(2n1)，nn*說(shuō)明 已知sn求an時(shí)，要先分n1和n2兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一

5、(1)寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)求an(2)由第(1)小題中前5項(xiàng)不難求出【例6】 數(shù)列an中，a11，對(duì)所有的n2，都有a1a2a3ann2(1)求a3a5；解 由已知：a1a2a3ann2得說(shuō)明 (1)“知和求差”、“知積求商”是數(shù)列中常用的基本方法(2)運(yùn)用方程思想求n，若nn*，則n是此數(shù)列中的項(xiàng)，反之，則不是此數(shù)列中的項(xiàng)【例7】 已知數(shù)an=(a21)(n32n)(a=1)是遞增數(shù)列，試確定a的取值范圍解法一 數(shù)列an是遞增數(shù)列，an+1anan+1an(a21)(n1)32(n1)(a21)(n32n)(a21)(n1)32(n1)n32n(a21)(3n23n1)(a21)(3n2

6、3n1)0又nn*，3n23n1=3n(n1)10a210，解得a1或a1解法二 an是遞增數(shù)列，a1a2即：(a21)(12)(a21)(84)化簡(jiǎn)得 a210a1或a1說(shuō)明 本題從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，利用遞增數(shù)列這一已知條件，將求取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式的問(wèn)題等比數(shù)學(xué)專(zhuān)題【例1】 已知sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，snpn(pr，nn*)，那么數(shù)列an a是等比數(shù)列b當(dāng)p0時(shí)是等比數(shù)列c當(dāng)p0，p1時(shí)是等比數(shù)列d不是等比數(shù)列分析 由snpn(nn*)，有a1=s1p，并且當(dāng)n2時(shí)，an=snsn-1pnpn-1(p1)pn-1但滿足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選d說(shuō)明 數(shù)列an成等比數(shù)列

7、的必要條件是an0(nn*)，還要注【例2】 已知等比數(shù)列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n解 1，x1，x2，x2n，2成等比數(shù)列，公比q21q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值a42【例4】 已知a0，b0且ab，在a，b之間插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比數(shù)列，求證明 設(shè)這n2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q，則b=aqn+1【例5】 設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2證法一 a、b、c、d成等比數(shù)列b2ac，c2bd，adbc左

8、邊=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右邊證畢證法二 a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則：baq，caq2，d=aq3左邊(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右邊證畢說(shuō)明 這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目證法一是抓住了求證式中右邊沒(méi)有b、c的特點(diǎn)，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子證法二則是把a(bǔ)、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性【

9、例6】 求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列an1是等比數(shù)列an1=33n-1 an=3n1an+1an是等比數(shù)列，即an+1an=(a2a1)2n-1=32n-1再注意到a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，這些等式相加，即可以得到說(shuō)明 解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列，即化生疏為已知(1)中發(fā)現(xiàn)an1是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn)an+1an是等比數(shù)列，這也是通常說(shuō)的化歸思想的一種體現(xiàn)證 a1、a2、a3、a4均為不為零的實(shí)數(shù)上述方程的判別式0，即又a1、a2、a

10、3為實(shí)數(shù)因而a1、a2、a3成等比數(shù)列a4即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比【例8】 若a、b、c成等差數(shù)列，且a1、b、c與a、b、c2都成等比數(shù)列，求b的值解 設(shè)a、b、c分別為bd、b、bd，由已知bd1、b、bd與bd、b、bd2都成等比數(shù)列，有整理，得bd=2b2d 即b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得d=4或d=0(舍)b=12【例9】 已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1與d的值；(2)b16是不是an中的項(xiàng)？思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程(2)b16=b1d15=32b1b16

11、=32b1=32a1，如果b16是an中的第k項(xiàng)，則32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33dk=34即b16是an中的第34項(xiàng)解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1(n1)d解這個(gè)方程組，得a1=1，d=2或a1=3，d=2當(dāng)a1=1，d=2時(shí)，an=a1(n1)d=2n3當(dāng)a1=3，d=2時(shí)，an=a1(n1)d=52n【例11】 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)解法一 按等比數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a，aq，aq2由已知：a，aq4，aq2成等差數(shù)列即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232成等比數(shù)列

12、即：(aq4)2=a(aq232)解法二 按等差數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為bd，b4，bd由已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列即：(b4)2=(bd)(bd)bd，b，bd32成等比數(shù)列即b2=(bd)(bd32)解法三 任意設(shè)三個(gè)未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比數(shù)列a1，a24，a3成等差數(shù)列得：2(a24)=a1a3a1，a24，a332成等比數(shù)列得：(a24)2=a1(a332)說(shuō)明 將三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為ad，a，ad；將三個(gè)成簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的作用【例12】 有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和

13、是12，求這四個(gè)數(shù)分析 本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一 設(shè)前三個(gè)數(shù)為ad，a，ad，則第四個(gè)數(shù)由已知條方法二 設(shè)后三個(gè)數(shù)為b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)由已知條件推得為2bbq方法三 設(shè)第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)分別為x，y，則第三、第四個(gè)數(shù)依次為12y，16x由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求的四個(gè)數(shù)，所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1解法二 設(shè)后三個(gè)數(shù)為：b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)為：2bbq所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1解法三 設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x，y，12y，16x這四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1【例13】 已知三個(gè)數(shù)成等

14、差數(shù)列，其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加，分別得到85，76，84求這兩個(gè)數(shù)列解 設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為bd，b，bd，由已知，bdbbd=126b=42這三個(gè)數(shù)可寫(xiě)成42d，42，42d再設(shè)另三個(gè)數(shù)為a，aq，aq2由題設(shè)，得解這個(gè)方程組，得a1=17或a2=68當(dāng)a=17時(shí)，q=2，d=26從而得到：成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)為17，34，68，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為68，42，16；或者成等比的三個(gè)數(shù)為68，34，17，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為17，42，67【例14】 已知在數(shù)列an中，a1、a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差

15、數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列證明 由已知，有2a2=a1a3即 a3(a3a5)=a5(a1a3)所以a1、a3、a5成等比數(shù)列【例15】 已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列(2)設(shè)正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列證明 (1)a，b，c成等差數(shù)列，且公差d0bc=ab=d，ca=2d代入已知條件，得：d(logmx2logmylogmz)=0logmxlogmz=2logmyy2=xzx，y，z均為正數(shù)x，y，z成等比數(shù)列(2)x，y，z成等比數(shù)

16、列且公比q1y=xq，z=xq2代入已知條件得：(bc)logmx(ca)logmxq(ab)logmxq2=0變形、整理得：(ca2b)logmq=0q1 logmq0ca2b=0 即2b=ac即a，b，c成等差數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【例1】 設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a(a0)，公比為q(q0)，前n項(xiàng)和為80，其中最大的一項(xiàng)為54，又它的前2n項(xiàng)和為6560，求a和q解 由sn=80，s2n=6560，故q1a0，q1，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為anan=aqn-1=54將代入化簡(jiǎn)得a=q1由，聯(lián)立方程組解得a=2，q=3證 sn=a1a1qa1q2a1qn-1s2n=sn(a1qn

17、a1qn+1a1q2n-1)=snqn(a1a1qa1qn-1)=snqnsn=sn(1qn)類(lèi)似地，可得s3n=sn(1qnq2n)說(shuō)明 本題直接運(yùn)用前n項(xiàng)和公式去解，也很容易上邊的解法，靈活地處理了s2n、s3n與sn的關(guān)系介紹它的用意在于讓讀者體會(huì)利用結(jié)合律、提取公因式等方法將某些解析式變形經(jīng)常是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，并且變得好，則解法巧【例3】 一個(gè)有窮的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)分析 設(shè)等比數(shù)列為an，公比為q，取其奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列仍然是等比數(shù)列，公比為q2，首項(xiàng)分別為a1，a1q解 設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n(nn*)，因

18、為a1=1，由已知可得q1即公比為2，項(xiàng)數(shù)為8說(shuō)明 運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行運(yùn)算、推理時(shí)，對(duì)公比q要分情況討論有關(guān)等比數(shù)列的問(wèn)題所列出的方程(組)往往有高次與指數(shù)方程，可采用兩式相除的方法達(dá)到降次的目的【例4】 選擇題：在等比數(shù)列an中，已知對(duì)任意正整數(shù)n，有sn=2n 解 da1=s1=1，an=snsn-1=2n-1an=2n-1bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1【例5】 設(shè)0v1，m為正整數(shù)，求證：(2m1)vm(1v)1v2m+1分析 直接作，不好下手變形：右邊分式的外形，使我們聯(lián)想到等比數(shù)列求和公式，于是有：(2m1)vm1vv2v2m發(fā)現(xiàn)左邊有(2m1)個(gè)v

19、m，右邊有(2m1)項(xiàng)，變形：vmvmvm1vv2v2m顯然不能左右各取一項(xiàng)比較其大小，試用“二對(duì)二”法，即左邊選兩項(xiàng)與右邊的兩項(xiàng)相比較鑒于左、右兩邊都具有“距首末等遠(yuǎn)的任意兩項(xiàng)指數(shù)之和均相等”的特點(diǎn)，想到以如下方式比較：vmvm1v2m，vmvmvv2m-1，vmvmvm-1vm+1，vm=vm即2vm1v2m，2vmvv2m-1，根據(jù)“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于其幾何平均值”，這些式子顯然成立(具體證法從略)說(shuō)明 本題最大的特點(diǎn)是解題過(guò)程中需要多次用到“逆向思考”：c，bd，等等善于進(jìn)行逆向思考，是對(duì)知識(shí)熟練掌握的一種表現(xiàn)，同時(shí)也是一種重要的思維能力，平時(shí)應(yīng)注意訓(xùn)練【例6】 數(shù)列an是等

20、比數(shù)列，其中sn=48，s2n=60，求s3n解法一 利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若q=1，則sn=na1，即na1=48，2na1=9660，所以q1=sn(1qnq2n)解法二 利用等比數(shù)列的性質(zhì)：sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比數(shù)列 (6048)2=48(s3n60) s3n=63解法三 取特殊值法取n=1，則s1=a1=48，s2n=s2=a1a2=60 a2=12 an為等比數(shù)列s3n=s3=a1a2a3=63【例7】 已知數(shù)列an中，sn是它的前n項(xiàng)和，并且sn+1=4an2(nn*)，a1=1(1)設(shè)bn=an+12an(nn*)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；解 (1) sn+

21、1=4an2sn+2=4an+12兩式相減，得sn+2sn+1=4an+1=4an(nn*)即：an+2=4an+14an變形，得an+22an+1=2(an+12an) bn=an+12an(nn*) bn+1=2bn由此可知，數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列由s2=a1a2=4a12，a1=1可得a2=5，b1=a22a1=3 bn=32n-1將bn=32n-1代入，得說(shuō)明 利用題設(shè)的已知條件，通過(guò)合理的轉(zhuǎn)換，將非等差、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決等差數(shù)列【例1】 在100以?xún)?nèi)有多少個(gè)能被7個(gè)整除的自然數(shù)？解 100以?xún)?nèi)能被7整除的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其中a1=7，d7，an9

22、8代入ana1(n1)d中，有987(n1)7解得n14答 100以?xún)?nèi)有14個(gè)能被7整除的自然數(shù)【例2】 在1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，b使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列解 設(shè)這五個(gè)數(shù)組成的等差數(shù)列為an由已知：a11，a5771(51)d 解出d2所求數(shù)列為：1，1，3，5，7插入一個(gè)數(shù)，使之組成一個(gè)新的等差數(shù)列，求新數(shù)列的通項(xiàng)【例4】 在1000，2000內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)共有多少個(gè)？解 設(shè)an=3n，bm4m3，n，mn得n4k1(kn)，得an，bm中相同的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列cn的通項(xiàng)cn12n3(nn)則在1000，2000內(nèi)cn的項(xiàng)為84123，85123，166123n1

23、66841=83 共有83個(gè)數(shù)【例5】 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方和為83，求此三個(gè)數(shù)解 設(shè)三個(gè)數(shù)分別為xd，x，xd解得x5，d2 所求三個(gè)數(shù)為3、5、7或7、5、3說(shuō)明 注意學(xué)習(xí)本題對(duì)三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)的設(shè)法【例6】 已知a、b、c成等差數(shù)列，求證：bc，ca，ab也成等差數(shù)列證 a、b、c成等差數(shù)列2b=ac(bc)(ab)a2bca(ac)c2(ac)bc、ca、ab成等差數(shù)列說(shuō)明 如果a、b、c成等差數(shù)列，?；?bac的形式去運(yùn)用；反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證2b=ac本例的意圖即在讓讀者體會(huì)這一點(diǎn)可能是等差數(shù)列分析 直接證明a、b、c不可能是等差數(shù)列，有關(guān)

24、等差數(shù)列的知識(shí)較難運(yùn)用，這時(shí)往往用反證法證 假設(shè)a、b、c是等差數(shù)列，則2b=ac2acb(ac)=2b2，b2ac又 a、b、c不為0， a、b、c為等比數(shù)列，又 a、b、c為等差數(shù)列， a、b、c為常數(shù)列，與ab矛盾， 假設(shè)是錯(cuò)誤的 a、b、c不可能成等差數(shù)列【例8】 解答下列各題：(1)已知等差數(shù)列an，an0，公差d0，求證：對(duì)任意kn，關(guān)于x的方程akx22ak+1xak+20有一公共根；分析與解答(1)akx22ak+1xak+20an為等差數(shù)列，2ak+1akak+2akx2(akak+2)xak+20(akxak+2)(x1)=0，ak0an為等差數(shù)列，d為不等于零的常數(shù)(2)

25、由條件得 2b=ac4rsinb2rsina2rsinc，2sinbsinasinc分析至此，變形目標(biāo)需明確，即要證由于目標(biāo)是半角的余切形式，一般把切向弦轉(zhuǎn)化，故有【例9】 若正數(shù)a1，a2，a3，an+1成等差數(shù)列，求證：證明 設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a1a2=a2a3anan+1=da1an+1=nd 原等式成立【例10】 設(shè)xy，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【例1】 等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125，求其第6項(xiàng)解 依題意，得解得a1=113，d=22 其通項(xiàng)公式為an=113(n1)(22)=22n135a6=2261353

26、說(shuō)明 本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法在本課中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而即a63可見(jiàn)，在做題的時(shí)候，要注意運(yùn)算的合理性當(dāng)然要做到這一點(diǎn)，必須以對(duì)知識(shí)的熟練掌握為前提【例2】 在兩個(gè)等差數(shù)列2，5，8，197與2，7，12，197中，求它們相同項(xiàng)的和解 由已知，第一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為an3n1；第二個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為bn=5n3若ambn，則有3n15n3若滿足n為正整數(shù)，必須有n3k1(k為非負(fù)整數(shù))又25n3197，即1n40，所以n1，4，7，40 n=1，6，11，66 兩數(shù)列相同項(xiàng)的

27、和為21732197=1393【例3】 選擇題：實(shí)數(shù)a，b，5a，7，3b，c組成等差數(shù)列，且ab5a73bc2500，則a，b，c的值分別為 a1，3，5b1，3，7c1，3，99d1，3，9又 145a3b， a1，b3首項(xiàng)為1，公差為2a50=c=1(501)2=99 a1，b3，c99【例4】 在1和2之間插入2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為2的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前半部分的和同后半部分的和之比為913，求插入的數(shù)的個(gè)數(shù)解 依題意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10個(gè)數(shù)【例5】 在等差數(shù)列an中，設(shè)前m項(xiàng)和為sm，前n項(xiàng)和為sn，且smsn，mn，求sm+n且smsn，

28、mnsm+n0【例6】 已知等差數(shù)列an中，s3=21，s6=64，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和tnd，已知s3和s6的值，解方程組可得a1與d，再對(duì)數(shù)列的前若干項(xiàng)的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出tn來(lái)解方程組得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各項(xiàng)為負(fù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為：當(dāng)n5時(shí)，tnn210n當(dāng)n6時(shí)，tns5|sns5|s5(sns5)2s5sntn2(2550)(n210n)n210n50說(shuō)明 根據(jù)數(shù)列an中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想可求|an|的前n項(xiàng)和【例7】 在等差數(shù)列an中，已知a6a9a12a1534，求前20項(xiàng)之和解法一 由a6a9a12a1534得4a138d342

29、0a1190d5(4a138d)=534=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17s20170【例8】 已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20項(xiàng)的和s20的值解法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得s20180解法二 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3a7=12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是遞增數(shù)列a36，a7=2【例9】 等

30、差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為sn和tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件：snan2bn可設(shè)sn2n2k，tnn(3n1)k說(shuō)明 該解法涉及數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件sn=an2bn，由k是常數(shù)，就不對(duì)了【例10】 解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列an中a23，a617，求a9；(2)在19與89中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列an中，a4a6a15a1750，求s20；(4)已知：等差數(shù)列an中，an=333n，求sn的最大值分析與解答a9=a6(96

31、)d=173(5)=32(2)a1=19，an+2=89，sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它們的下標(biāo)有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nn，當(dāng)n=10或n=11時(shí)，sn取最大值165【例11】 求證：前n項(xiàng)和為4n23n的數(shù)列是等差數(shù)列證 設(shè)這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為sn當(dāng)n2時(shí)，ansnsn-1an(4n23n)4(n1)23(n1)=8n1當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=43=7由以上兩種情況可知，對(duì)所有的自然數(shù)n，都有an=8n1又an+1an8(n1)1(8n1)8這個(gè)數(shù)列是首項(xiàng)為7，公差為8的等差數(shù)列說(shuō)明 這里使用了“a

32、n=snsn-1”這一關(guān)系使用這一關(guān)系時(shí)，要注意，它只在n2時(shí)成立因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，sn-1=s0，而s0是沒(méi)有定義的所以，解題時(shí)，要像上邊解答一樣，補(bǔ)上n1時(shí)的情況【例12】 證明：數(shù)列an的前n項(xiàng)之和snan2bn(a、b為常數(shù))是這個(gè)數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件由snan2bn，得當(dāng)n2時(shí)，ansnsn-1an2bna(n1)2b(n1)=2nabaa1s1ab對(duì)于任何nn，an2naba且anan-1=2na(ba)2(n1)aba2a(常數(shù))an是等差數(shù)列若an是等差數(shù)列，則sn=an2bn綜上所述，sn=an2bn是an成等差數(shù)列的充要條件說(shuō)明 由本題的結(jié)果，進(jìn)而可以得到下面的結(jié)論：

33、前n項(xiàng)和為sn=an2bnc的數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是c0事實(shí)上，設(shè)數(shù)列為un，則：【例13】 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和snm，前m項(xiàng)和smn(mn)，求前mn項(xiàng)和sm+n解法一 設(shè)an的公差d按題意，則有=(mn)解法二 設(shè)sxax2bx(xn)，得a(m2n2)b(mn)nmmn a(mn)b=1故a(mn)2b(mn)(mn)即sm+n(mn)說(shuō)明 a1，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設(shè)sx=ax2bx(xn)【例14】 在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為

34、90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則n之值是多少？解 s偶項(xiàng)s奇項(xiàng)=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27【例15】 在等差數(shù)列an中，已知a125，s9s17，問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值解法一 建立sn關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最大值a1=25，s17s9 解得d2當(dāng)n=13時(shí)，sn最大，最大值s13169解法二 因?yàn)閍1=250，d20，所以數(shù)列an是遞減等a125，s9s17an=25(n1)(2)=2n27即前13項(xiàng)和最大，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得s13=169解法三 利用s9=s17尋找相鄰項(xiàng)的關(guān)系由題意s9=s17得a10a11a12a17=0

35、而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14 a130，a140s13=169最大解法四 根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)圖像，確定取最大值時(shí)的nan是等差數(shù)列可設(shè)snan2bn二次函數(shù)y=ax2bx的圖像過(guò)原點(diǎn)，如圖321所示s9s17，取n=13時(shí)，s13169最大專(zhuān)題研究：數(shù)列的求和例題解析【例1】 求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和sn：(3)先對(duì)通項(xiàng)求和【例2】 求和：【例3】 求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和：比數(shù)列，另一個(gè)數(shù)組成以3n2為通項(xiàng)的等差數(shù)列，分別求和后再合并解 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為sn說(shuō)明 等比數(shù)列的求和問(wèn)題，分q=1與q1兩種情況討論的前n項(xiàng)之和

36、是 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn=b1b2bn【例5】 求在區(qū)間a，b(ba，a，bn)上分母是3的不可約分?jǐn)?shù)之和其中，可約分?jǐn)?shù)是a，a1，a2，b故不可約分?jǐn)?shù)之和為=b2a2解法二兩式相加：2s=(ab)(ab)(ab)其個(gè)數(shù)為以3為分母的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)減去可約分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)即3(ba)1(ba1)=2(ba) 2s=2(ba)(ab) s=b2a2【例6】 求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和sn：(1)a，2a2，3a3，nan，(a0、1)；(2)1，4，9，n2，；(3)1，3x，5x2，(2n1)xn-1，(x1)解 (1)sn=a2a23a3nan a0 asn=a22a33a4(n1)annan+1snasn=

37、aa2a3annan+1 a1(2)sn=149n2 (a1)3a3=3a23a1 2313=3123113323=3223214333=332331n3(n1)3=3(n1)23(n1)1(n1)3n3=3n23n1把上列幾個(gè)等式的左右兩邊分別相加，得(n1)313=3(1222n2)3(12n)n 122232n2(3) sn=13x5x27x3(2n1)xn-1 xsn=x3x25x3(2n3)xn-1(2n1)xn兩式相減，得(1x)sn=12x(1xx2xn-2)(2n1)xn兩式相減，得說(shuō)明 求形如anbn的數(shù)列的前n項(xiàng)和，若其中an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，則可采用推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法，即錯(cuò)位相減法，此方法體現(xiàn)了化歸思想nn*，若bn=(1)nsn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn分析 求bn的前n項(xiàng)和，應(yīng)