數(shù)學(xué)分析(第81節(jié)不定積分概念與基本積分公式課件

1、第第8 8章章 不定積分不定積分 不定積分概念與基本積分公式不定積分概念與基本積分公式 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分定積分第第8.18.1節(jié)節(jié) 不定積分概念與基本不定積分概念與基本積分公式積分公式 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分 基本積分表基本積分表 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分一、原函數(shù)與不定積分fFI設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 與與 在在區(qū)區(qū)間間 上上都都有有定定義義. .若若( )( ),Fxf xxI 1. 問題的提出問題的提出 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t),則速度則速度v(t)

2、=s(t); 反之若已知質(zhì)點(diǎn)各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度反之若已知質(zhì)點(diǎn)各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度v=v(t) 如何求其如何求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t)? 從數(shù)學(xué)角度看：從數(shù)學(xué)角度看：找一函數(shù)找一函數(shù)s=s(t)， 使使s(t) =v(t) .2. 原函數(shù)原函數(shù)定義定義1.FfI稱稱 為為 在在區(qū)區(qū)間間 上上一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)的的 2tansec,xx 因因211,xx 因因211xx 是是的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). .例如例如( )( )( )( )s tv ts tv t 因，路程函數(shù)是速度函數(shù)的一個(gè)因，路程函數(shù)是速度函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù).211x 是是的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). .2221ln(1)l

3、n(1)1xxxxx因，知因，知（1 1）滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù)）滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù)? ? 如如果存在原函數(shù)果存在原函數(shù), ,它是否惟一它是否惟一? ? （2 2）若已知某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在）若已知某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在, ,如何把它求如何把它求出來出來? ?要求出它們的原函數(shù)也不是要求出它們的原函數(shù)也不是一件容易的事一件容易的事. .因此因此, ,如下問題要關(guān)注：如下問題要關(guān)注：應(yīng)該注意到：應(yīng)該注意到： 盡管象盡管象 這種形式簡單的函數(shù)這種形式簡單的函數(shù), ,211x 注注 (i) 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)；連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)；( )( )( )( ).f xIIF xF

4、 xf xxI 若若函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上連連續(xù)續(xù)，則則在在 上上存存在在原原函函數(shù)數(shù)，即即存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，使使，( )( ).c RF xCf x ( )( ),( )( ),( )( )( )( )0( )( ).F xf xxf xF xxf xf xF xxC 若若則則(iii)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)間相差一個(gè)常數(shù)；函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)間相差一個(gè)常數(shù)；(ii) 任一函數(shù)的原函數(shù)（若存在）有無窮多；任一函數(shù)的原函數(shù)（若存在）有無窮多；定理定理1 1 ( (原函數(shù)存在性定理原函數(shù)存在性定理) )定理定理2 2 ( (原函數(shù)族的結(jié)構(gòu)性定理原函數(shù)族的結(jié)構(gòu)性定理) )( )( ),F xf

5、xI設(shè)設(shè)是是在在區(qū)區(qū)間間上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù) 則則(i)( )( ),;F xCf xIC也也是是在在上上的的原原函函數(shù)數(shù) 其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)(ii) f (x) 在在 I 上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間, 只可能相差只可能相差一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù).原函數(shù)的全體為：原函數(shù)的全體為：( )F xCC 函數(shù)族函數(shù)族CxFdxxf)()(積分變量積分變量定義定義2積分常數(shù)積分常數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分號積分號積分變量積分變量3.3.不定積分不定積分被積函數(shù)被積函數(shù) 即即( ),f x dx例例1 1 求求.4dxx 解解54,5xx .554Cxdxx 解解例例2 2

6、求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxxdxx 0,x ln.dxxCx )ln(,xx0,1)(1xxx ,lnxx1 例例3 3 求求解解例例4 設(shè)曲線通過點(diǎn)設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點(diǎn)由曲線通過點(diǎn)(1,3)2,C 所求曲線方程為所求曲線方程為22.yx代入上式代入上

7、式,得得2 1 O 1 2 x2 1 1 2 yyx2+2 yx2(1, 3) (1) ( )( )( ),f xF xf x的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形叫叫做做函函數(shù)數(shù)的的一一條條積積分分曲曲線線 如如圖圖. .不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義(2)( )( ),( );Fxf xxf xx 因因?yàn)闉楣使史e積分分曲曲線線上上點(diǎn)點(diǎn) 處處切切線線的的斜斜率率恰恰等等于于在在 處處的的函函數(shù)數(shù)值值1(3)( )( )( ).yF xyF xCyF xC 平平移移曲曲線線得得另另一一條條積積分分曲曲線線, ,據(jù)據(jù)此此可可得得到到整整個(gè)個(gè)曲曲線線族族(4)( )( ).F xCf xx 因

8、因?yàn)闉椋ǎ┕使试谠邳c(diǎn)點(diǎn) 處處，各各個(gè)個(gè)積積分分曲曲線線在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線皆皆平平行行Oxyxy=F(x)4.4.積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的關(guān)系積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的關(guān)系( )( )( )( )df x dxf xdf x dxf x dxdx 或或先積后微形式不變先積后微形式不變先微后積差一常數(shù)先微后積差一常數(shù)( )( )( )( )F x dxF xCdF xF xC 或或arctanarctandxdxxdx arctanarctandxdxxdx 或或sinsin()xxdxCxx sinsin()xxdCxx 或或例如例如二、基本積分表二、基本積分表 將一些基本的積分公式列成一個(gè)表將一些

9、基本的積分公式列成一個(gè)表基本基本積分表積分表. .(Basic Formula of Indefinite Integra) kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln;dxxCx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax

10、shxdx)14(;Cchx chxdx)15(;Cshx 22xxxxeeshxeechx dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證( )( )f x dxg x dx ( )( )f x dxg x dx ).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)(Properties of the Definite Integral) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k定理定理3 3（線性運(yùn)算法則）（線性運(yùn)算法則）例例5 5 求不定積分求不定積分解解

11、3(cos).xex dx 3 cosxe dxdx (3cos )xex dx Cxex sin3例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxC 例例7 7 求積分求積分解解.124dxxx dxxx 241221(1)1xdxx 2211x dxdxdxx Cxxx arctan33例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx2cos121.tan21Cx 被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，再使用基本積分公式被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，再使用基本積分公式. . dxx1cos2112例例9 9 求積分求積分xdx2tan解解 22tan(sec1)tanxdxxdxxxC 基本積分公式基本積分公式不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系小結(jié)小結(jié))()(xfxF CxFdxxf)()(練習(xí)題練習(xí)題6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .3 3、 dxx2cos2 4 4、 d