數(shù)學分析(第81節(jié)不定積分概念與基本積分公式課件

1、第第8 8章章 不定積分不定積分 不定積分概念與基本積分公式不定積分概念與基本積分公式 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分定積分第第8.18.1節(jié)節(jié) 不定積分概念與基本不定積分概念與基本積分公式積分公式 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分 基本積分表基本積分表 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分一、原函數(shù)與不定積分fFI設設函函數(shù)數(shù) 與與 在在區(qū)區(qū)間間 上上都都有有定定義義. .若若( )( ),Fxf xxI 1. 問題的提出問題的提出 已知質(zhì)點的運動規(guī)律已知質(zhì)點的運動規(guī)律s=s(t),則速度則速度v(t)

2、=s(t); 反之若已知質(zhì)點各時刻的運動速度反之若已知質(zhì)點各時刻的運動速度v=v(t) 如何求其如何求其運動規(guī)律運動規(guī)律s=s(t)? 從數(shù)學角度看：從數(shù)學角度看：找一函數(shù)找一函數(shù)s=s(t)， 使使s(t) =v(t) .2. 原函數(shù)原函數(shù)定義定義1.FfI稱稱 為為 在在區(qū)區(qū)間間 上上一一個個原原函函數(shù)數(shù)的的 2tansec,xx 因因211,xx 因因211xx 是是的的一一個個原原函函數(shù)數(shù). .例如例如( )( )( )( )s tv ts tv t 因，路程函數(shù)是速度函數(shù)的一個因，路程函數(shù)是速度函數(shù)的一個原函數(shù).原函數(shù).211x 是是的的一一個個原原函函數(shù)數(shù). .2221ln(1)l

3、n(1)1xxxxx因，知因，知（1 1）滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù)）滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù)? ? 如如果存在原函數(shù)果存在原函數(shù), ,它是否惟一它是否惟一? ? （2 2）若已知某個函數(shù)的原函數(shù)存在）若已知某個函數(shù)的原函數(shù)存在, ,如何把它求如何把它求出來出來? ?要求出它們的原函數(shù)也不是要求出它們的原函數(shù)也不是一件容易的事一件容易的事. .因此因此, ,如下問題要關注：如下問題要關注：應該注意到：應該注意到： 盡管象盡管象 這種形式簡單的函數(shù)這種形式簡單的函數(shù), ,211x 注注 (i) 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)；連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)；( )( )( )( ).f xIIF xF

4、 xf xxI 若若函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上連連續(xù)續(xù)，則則在在 上上存存在在原原函函數(shù)數(shù)，即即存存在在可可導導函函數(shù)數(shù)，使使，( )( ).c RF xCf x ( )( ),( )( ),( )( )( )( )0( )( ).F xf xxf xF xxf xf xF xxC 若若則則(iii)函數(shù)的兩個原函數(shù)間相差一個常數(shù)；函數(shù)的兩個原函數(shù)間相差一個常數(shù)；(ii) 任一函數(shù)的原函數(shù)（若存在）有無窮多；任一函數(shù)的原函數(shù)（若存在）有無窮多；定理定理1 1 ( (原函數(shù)存在性定理原函數(shù)存在性定理) )定理定理2 2 ( (原函數(shù)族的結(jié)構性定理原函數(shù)族的結(jié)構性定理) )( )( ),F xf

5、xI設設是是在在區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù) 則則(i)( )( ),;F xCf xIC也也是是在在上上的的原原函函數(shù)數(shù) 其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)(ii) f (x) 在在 I 上的任意兩個原函數(shù)之間上的任意兩個原函數(shù)之間, 只可能相差只可能相差一個常數(shù)一個常數(shù).原函數(shù)的全體為：原函數(shù)的全體為：( )F xCC 函數(shù)族函數(shù)族CxFdxxf)()(積分變量積分變量定義定義2積分常數(shù)積分常數(shù)被積表達式被積表達式積分號積分號積分變量積分變量3.3.不定積分不定積分被積函數(shù)被積函數(shù) 即即( ),f x dx例例1 1 求求.4dxx 解解54,5xx .554Cxdxx 解解例例2 2

6、求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxxdxx 0,x ln.dxxCx )ln(,xx0,1)(1xxx ,lnxx1 例例3 3 求求解解例例4 設曲線通過點設曲線通過點(1,3),且其上任一點處的切線斜率且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解 設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點由曲線通過點(1,3)2,C 所求曲線方程為所求曲線方程為22.yx代入上式代入上

7、式,得得2 1 O 1 2 x2 1 1 2 yyx2+2 yx2(1, 3) (1) ( )( )( ),f xF xf x的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形叫叫做做函函數(shù)數(shù)的的一一條條積積分分曲曲線線 如如圖圖. .不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義(2)( )( ),( );Fxf xxf xx 因因為為故故積積分分曲曲線線上上點點 處處切切線線的的斜斜率率恰恰等等于于在在 處處的的函函數(shù)數(shù)值值1(3)( )( )( ).yF xyF xCyF xC 平平移移曲曲線線得得另另一一條條積積分分曲曲線線, ,據(jù)據(jù)此此可可得得到到整整個個曲曲線線族族(4)( )( ).F xCf xx 因

8、因為為（）故故在在點點 處處，各各個個積積分分曲曲線線在在該該點點的的切切線線皆皆平平行行Oxyxy=F(x)4.4.積分運算與微分運算的關系積分運算與微分運算的關系( )( )( )( )df x dxf xdf x dxf x dxdx 或或先積后微形式不變先積后微形式不變先微后積差一常數(shù)先微后積差一常數(shù)( )( )( )( )F x dxF xCdF xF xC 或或arctanarctandxdxxdx arctanarctandxdxxdx 或或sinsin()xxdxCxx sinsin()xxdCxx 或或例如例如二、基本積分表二、基本積分表 將一些基本的積分公式列成一個表將一些

9、基本的積分公式列成一個表基本基本積分表積分表. .(Basic Formula of Indefinite Integra) kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln;dxxCx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax

10、shxdx)14(;Cchx chxdx)15(;Cshx 22xxxxeeshxeechx dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證( )( )f x dxg x dx ( )( )f x dxg x dx ).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)(Properties of the Definite Integral) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k定理定理3 3（線性運算法則）（線性運算法則）例例5 5 求不定積分求不定積分解解

11、3(cos).xex dx 3 cosxe dxdx (3cos )xex dx Cxex sin3例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxC 例例7 7 求積分求積分解解.124dxxx dxxx 241221(1)1xdxx 2211x dxdxdxx Cxxx arctan33例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx2cos121.tan21Cx 被積函數(shù)進行恒等變形，再使用基本積分公式被積函數(shù)進行恒等變形，再使用基本積分公式. . dxx1cos2112例例9 9 求積分求積分xdx2tan解解 22tan(sec1)tanxdxxdxxxC 基本積分公式基本積分公式不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念求微分與求積分的互逆關系求微分與求積分的互逆關系小結(jié)小結(jié))()(xfxF CxFdxxf)()(練習題練習題6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .3 3、 dxx2cos2 4 4、 d