球類組合體的求解方法

1、球類組合體的求解方法與球有關(guān)的組合體問題具有一定的靈活性和隱蔽性,加之其組合體的立體幾何圖形有一定的復(fù)雜性,故能很好考查學(xué)生的空間思維能力.許多學(xué)生在處理與球有關(guān)的組合體問題時(shí),由于受到球本身的限制,不善于從組合體問題中挖掘關(guān)鍵點(diǎn),而顯得不夠簡捷.1由球面定義定球心 球心是球的靈魂,抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一點(diǎn)到球心的距離都相等,這是確定球心位置的基本策略例1(2006年安徽高考題) 表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則此球的體積為() A 、B 、 C 、D 、 分析 如圖所示:正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)P，A，B，C，D，Q都在同一個(gè)球面上,球心O到P，A，B，C，D，Q

2、六點(diǎn)的距離相等, 因?yàn)檎嗣骟w的各個(gè)面都是正三角形,結(jié)合球的內(nèi)接正八面體的對(duì)稱性可知:正八面體的頂點(diǎn)A，B，C,D在球O的同一個(gè)大圓上 ,且四邊形ABCD為正 方形.所以,即. 又因?yàn)檎嗣骟w的表面積為 , 且正八面體的各個(gè)面都是正三角形, 所以，,即 所以此球的體積為 因此答案應(yīng)選A.評(píng)注：解此題的關(guān)鍵是確定球心O恰好是正方形ABCD的中心,再結(jié)合正八面體的各個(gè)面都是正三角形以及正八面體的表面積為即可求出球O的體積.2.利用割補(bǔ)思想定球心 在直接將球心定位較困難時(shí),利用分割或補(bǔ)形的思想方法去探尋球心的位置,是解決與球有關(guān)的組合體問題一種常用策略. 例2(2003年全國高考題)一個(gè)四面體的所有

3、棱長都為2,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,則此球的表面積為() (A)3(B)4(C) (D)6分析法1(分割):如圖3所示,連結(jié)球心O與正四面體的四個(gè)頂點(diǎn),則四面體被分割成四個(gè)相同的小正三棱錐,由得各小棱錐的高為原正四面體高 的 ,進(jìn)而可求得外接球的半徑,球的 表面積為3.故答案應(yīng)選(A). 法2(補(bǔ)形):如圖3所示,構(gòu)造棱長為1的正方體,則為棱長為的正四面體,正方體的外接球也為正四面體的外接球,此時(shí)球的直徑,球的表面積為3,故答案應(yīng)選(A). 3.利用正四面體、正方體的外接球球心與內(nèi)切球球心重合利用正四面體、正方體的外接球球心與內(nèi)切球球心重合這一性質(zhì),尋求內(nèi)切球半徑與外接球半徑的方程,算出半徑的值

4、,即可解決問題. 例3(2006年山東高考題)正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為() (A) (B)1:3 (C) (D)1:9 分析:如圖,由圖形的對(duì)稱性知,正方體的中心O既是內(nèi)切球的球心又是外接球的球心. 設(shè)正方體的棱長為a, 內(nèi)切球半徑為 r , 外接球半徑為 R , 則，. 所以.故答案應(yīng)選(C). 4.構(gòu)造球心骨架圖 在許多與球有關(guān)的組合體問題中,要畫 出實(shí)際空間圖形比較困難,但我們可以通過球心、球面上的點(diǎn)以及切點(diǎn)等的連線構(gòu)造多面體(俗稱“骨架圖”),把與球有關(guān)的組合體問題轉(zhuǎn)化為多面體問題來加以解決. 例 4(2006年陜西高考題)水平桌面上放有4個(gè)半徑為2R的球,且相鄰的球都相切

5、 ( 球心的連線構(gòu)成正方形). 在這4個(gè)球的上面放1個(gè)半徑為R的小球,它和下面的4個(gè)球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面的距離是. 分析如右圖所示:水平桌面上放有4個(gè)半徑為2R的球的球心與半徑為R的小球的球心五點(diǎn)構(gòu)成正四棱錐. 依題設(shè)可知: ,.點(diǎn)在平面的射影恰好為正方形的中心,連結(jié). 在中, . 因此,小球的球心到水平桌面的距離為. 5.利用球的軸截面(大圓)解題 畫出球的大圓及其所在的截面圖形是解決與球有關(guān)的相切或相接組合體問題的基本策略.因此,我們可以把與球有關(guān)的相切或相接組合體問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的平面幾何問題,使空間問題平面化. 例5(2006年漳州質(zhì)量檢測(cè)題)甲球內(nèi)切于某正方體的各個(gè)面,乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱,丙球外接于該正方體,則甲、乙、丙球表面面積之比是() (A)1:2:3(B) (C) (D) 分析設(shè)正方體的棱長 為a,甲、乙、丙球的半徑分別為. 如右圖: 正方體的內(nèi)切球甲與正方體的六個(gè)面有六個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)的位置分別在六個(gè)正方形的中心,經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)的軸截面(大圓) 是正方體的截面EFGH的內(nèi)切圓. , .如右圖, 乙球與正方體各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn),經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)的球的軸截 面(大圓)是正方形EFGH的外接圓, ，. 如右圖, 正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上,球的一個(gè)大圓是正方體的對(duì)角