球類組合體的求解方法

1、球類組合體的求解方法與球有關的組合體問題具有一定的靈活性和隱蔽性,加之其組合體的立體幾何圖形有一定的復雜性,故能很好考查學生的空間思維能力.許多學生在處理與球有關的組合體問題時,由于受到球本身的限制,不善于從組合體問題中挖掘關鍵點,而顯得不夠簡捷.1由球面定義定球心 球心是球的靈魂,抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一點到球心的距離都相等,這是確定球心位置的基本策略例1(2006年安徽高考題) 表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上,則此球的體積為() A 、B 、 C 、D 、 分析 如圖所示:正八面體的各個頂點P，A，B，C，D，Q都在同一個球面上,球心O到P，A，B，C，D，Q

2、六點的距離相等, 因為正八面體的各個面都是正三角形,結合球的內接正八面體的對稱性可知:正八面體的頂點A，B，C,D在球O的同一個大圓上 ,且四邊形ABCD為正 方形.所以,即. 又因為正八面體的表面積為 , 且正八面體的各個面都是正三角形, 所以，,即 所以此球的體積為 因此答案應選A.評注：解此題的關鍵是確定球心O恰好是正方形ABCD的中心,再結合正八面體的各個面都是正三角形以及正八面體的表面積為即可求出球O的體積.2.利用割補思想定球心 在直接將球心定位較困難時,利用分割或補形的思想方法去探尋球心的位置,是解決與球有關的組合體問題一種常用策略. 例2(2003年全國高考題)一個四面體的所有

3、棱長都為2,四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為() (A)3(B)4(C) (D)6分析法1(分割):如圖3所示,連結球心O與正四面體的四個頂點,則四面體被分割成四個相同的小正三棱錐,由得各小棱錐的高為原正四面體高 的 ,進而可求得外接球的半徑,球的 表面積為3.故答案應選(A). 法2(補形):如圖3所示,構造棱長為1的正方體,則為棱長為的正四面體,正方體的外接球也為正四面體的外接球,此時球的直徑,球的表面積為3,故答案應選(A). 3.利用正四面體、正方體的外接球球心與內切球球心重合利用正四面體、正方體的外接球球心與內切球球心重合這一性質,尋求內切球半徑與外接球半徑的方程,算出半徑的值

4、,即可解決問題. 例3(2006年山東高考題)正方體的內切球與其外接球的體積之比為() (A) (B)1:3 (C) (D)1:9 分析:如圖,由圖形的對稱性知,正方體的中心O既是內切球的球心又是外接球的球心. 設正方體的棱長為a, 內切球半徑為 r , 外接球半徑為 R , 則，. 所以.故答案應選(C). 4.構造球心骨架圖 在許多與球有關的組合體問題中,要畫 出實際空間圖形比較困難,但我們可以通過球心、球面上的點以及切點等的連線構造多面體(俗稱“骨架圖”),把與球有關的組合體問題轉化為多面體問題來加以解決. 例 4(2006年陜西高考題)水平桌面上放有4個半徑為2R的球,且相鄰的球都相切

5、 ( 球心的連線構成正方形). 在這4個球的上面放1個半徑為R的小球,它和下面的4個球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面的距離是. 分析如右圖所示:水平桌面上放有4個半徑為2R的球的球心與半徑為R的小球的球心五點構成正四棱錐. 依題設可知: ,.點在平面的射影恰好為正方形的中心,連結. 在中, . 因此,小球的球心到水平桌面的距離為. 5.利用球的軸截面(大圓)解題 畫出球的大圓及其所在的截面圖形是解決與球有關的相切或相接組合體問題的基本策略.因此,我們可以把與球有關的相切或相接組合體問題轉化為與圓有關的平面幾何問題,使空間問題平面化. 例5(2006年漳州質量檢測題)甲球內切于某正方體的各個面,乙球內切于該正方體的各條棱,丙球外接于該正方體,則甲、乙、丙球表面面積之比是() (A)1:2:3(B) (C) (D) 分析設正方體的棱長 為a,甲、乙、丙球的半徑分別為. 如右圖: 正方體的內切球甲與正方體的六個面有六個公共點,點的位置分別在六個正方形的中心,經(jīng)過四個切點的軸截面(大圓) 是正方體的截面EFGH的內切圓. , .如右圖, 乙球與正方體各棱的切點在每條棱的中點,經(jīng)過四個切點的球的軸截 面(大圓)是正方形EFGH的外接圓, ，. 如右圖, 正方體的各個頂點在球面上,球的一個大圓是正方體的對角