第十三章軸對(duì)稱小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、 第十三章第十三章 小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 竹條實(shí)驗(yàn)中學(xué) ：李敬峰 復(fù)習(xí)目標(biāo)：復(fù)習(xí)目標(biāo)：1系統(tǒng)地把握全章的知識(shí)要點(diǎn)和基本技能。 2通過例題和練習(xí)，使學(xué)生能較好地運(yùn)用本章知識(shí)和技能解決有關(guān)問題重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn) 判斷圖形是否是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用是教學(xué)重點(diǎn)，而靈活運(yùn)用上述性質(zhì)解決問題、軸對(duì)稱圖案的設(shè)計(jì)是教學(xué)難點(diǎn)。 （一）軸對(duì)稱 觀察圖形的變換過程，回想什么是軸對(duì)稱圖形？它有什么性質(zhì)？知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)要仔細(xì)觀察哦！要仔細(xì)觀察哦！這是對(duì)稱這是對(duì)稱軸呀軸呀! !這是一這是一對(duì)對(duì)應(yīng)對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)! ! 定義：定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直如果一個(gè)平面圖

2、形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直條直 線就是它的對(duì)稱軸這時(shí)，我們線就是它的對(duì)稱軸這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條也說這個(gè)圖形關(guān)于這條 直線（成軸）直線（成軸）對(duì)稱對(duì)稱 性質(zhì)：性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線分線 觀察圖形的變換過程，回想什么是兩個(gè)圖形關(guān)于一條直線對(duì)稱？它有什么性質(zhì)？aa定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那

3、么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱，這條直線叫條直線（成軸）對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線 1.1.把一圓形紙片兩次對(duì)折后，得到右圖，把一圓形紙片兩次對(duì)折后，得到右圖， 然后沿虛線剪開，得到兩部分，其中一然后沿虛線剪開，得到兩部分，其中一 部分展開后的平面圖形是部分展開后的平面圖形是( )( )a ab bc cd db跟蹤

4、訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 2.2.（福州（福州中考）下面四個(gè)中文藝術(shù)字中，中考）下面四個(gè)中文藝術(shù)字中，不是軸對(duì)稱圖形的是（不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）3 3、（日照、（日照中考）已知以下四個(gè)汽車標(biāo)志中考）已知以下四個(gè)汽車標(biāo)志圖案：其中是軸對(duì)稱圖形的圖案是圖案：其中是軸對(duì)稱圖形的圖案是 （只（只需填入圖案代號(hào)）需填入圖案代號(hào)）. .c(1),(3) 二.線段的垂直平分線。 看畫圖過程回想什么是線段的垂直平分線? 線段的垂直平分線的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號(hào)語言表示為什么？a ab bcdp 定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平線段的直線，叫做這條

5、線段的垂直平分線分線 性質(zhì)：用數(shù)學(xué)語言敘述為：性質(zhì)：用數(shù)學(xué)語言敘述為： 線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段垂直平分線上的點(diǎn)與 這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離 相等相等 用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為： ca = =cb，ab， pa = =pba ab bcp 看畫圖過程回想線段的垂直平分線的判定用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號(hào)語言表示為什么？a ab bcdp 判定：用數(shù)學(xué)語言敘述為：用數(shù)學(xué)語言敘述為：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為：pa = =pb，點(diǎn)點(diǎn)p 在在ab 的

6、垂的垂直平分線上直平分線上a ab bcp . .如圖，如圖，abcabc中，邊中，邊abab， bcbc的垂直平分線交于點(diǎn)的垂直平分線交于點(diǎn)p.p. （1 1）求證：）求證：pa=pb=pc.pa=pb=pc. （2 2）點(diǎn)）點(diǎn)p p是否也在邊是否也在邊acac 的垂直平分線上呢？由的垂直平分線上呢？由 此你能得出什么結(jié)論？此你能得出什么結(jié)論？p pa ac cb b跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (1)證明：點(diǎn)點(diǎn)p p是邊是邊abab垂直平分線上的點(diǎn)，垂直平分線上的點(diǎn)， pa=pb,pa=pb, 點(diǎn)點(diǎn)p p是邊是邊bcbc垂直平分線上的點(diǎn)，垂直平分線上的點(diǎn)， pb=pc,pb=pc, pa=pb=pc.

7、pa=pb=pc. (2)(2)點(diǎn)點(diǎn)p p是在邊是在邊acac 的垂直平分線上的垂直平分線上 結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. .a ac cb bp p 2.如圖所示，在abc中，cab的平分線ad和bc的垂直平分線de交于點(diǎn)d，dmab于m，dnac于n。 求證：。1。要證明需構(gòu)造什么？2.d是bc的垂直平分線上的點(diǎn)應(yīng)添加什么輔助線？3.點(diǎn)d是cab的平分線上的點(diǎn)能得到什么結(jié)論？思路分析請(qǐng)自己分析后寫出證明過程 證明：連接，dc，點(diǎn)d是cab的平分線上的點(diǎn)， dmab，dn

8、ac，dm=dn，（）點(diǎn)d是的垂直平分線上的點(diǎn)，（）在和中，dm=dn，（）( ) 請(qǐng)你根據(jù)上面兩題的證明過程思考線段的線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定在解題中有哪些垂直平分線的性質(zhì)和判定在解題中有哪些作用？如果已知線段的垂直平分線一般如作用？如果已知線段的垂直平分線一般如何添加輔助線？何添加輔助線？1.證明線段相等，2.證明垂直，3,。證明點(diǎn)在直線上。添加的輔助線是連接垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的線段。 看畫圖過程回想線段的垂直平分線的尺規(guī)作法即對(duì)稱軸和線段的中點(diǎn)的作法，并口述作法。a ab bc cd d已知：線段已知：線段ab.ab.求作：線段求作：線段abab的垂直平分線的垂直平分線.

9、.作法：作法：（1 1）分別以點(diǎn)）分別以點(diǎn)a a，b b為圓為圓心，以大于心，以大于 abab的長(zhǎng)為半的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于徑作弧，兩弧交于c c，d d兩兩點(diǎn)點(diǎn). .12（2 2）作直線）作直線cd.cd.cdcd即為所求即為所求. . 看畫圖過程回想過外一點(diǎn)作已知直線的垂線過外一點(diǎn)作已知直線的垂線的的方法。方法。 已知：直線已知：直線abab和直線和直線abab外一點(diǎn)外一點(diǎn)c c。 求作：直線求作：直線cfcf，使，使cfcfabab。cabdkfe作法：（作法：（1）任意取一點(diǎn)）任意取一點(diǎn)k ，使點(diǎn)使點(diǎn)k與點(diǎn)與點(diǎn)c 在直線在直線abab的兩旁。的兩旁。（2）以c點(diǎn)為圓心，以ck的長(zhǎng)為半

10、徑畫弧，交ab于點(diǎn)d，e.（3 3）分別以點(diǎn)）分別以點(diǎn)d,ed,e為圓心，以大于為圓心，以大于 的長(zhǎng)為半徑畫弧兩弧交于點(diǎn)的長(zhǎng)為半徑畫弧兩弧交于點(diǎn)f.f. 12de(4)作直線cf，直線cf就是所求作的垂線。 1. 1.如圖，如圖，a a，b b是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站. .使兩個(gè)小區(qū)到使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？地方？( (用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）bacdp【提示】【提示】連接連接abab，作，作abab的

11、垂直平分線，則的垂直平分線，則與公路的交點(diǎn)就是要與公路的交點(diǎn)就是要建的公共汽車站建的公共汽車站. .點(diǎn)p就是要建的公要建的公共汽車站的位置共汽車站的位置. .跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 2.如圖電信部門要在s區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，按設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)a,b的距離相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置。( (用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）mnoa ab bp【提示】【提示】o的平的平分線和分線和abab的垂直平的垂直平分線在分線在s s區(qū)的交點(diǎn)區(qū)的交點(diǎn)就是要建的電視塔就是要建的電視塔的位置的位置. .點(diǎn)p

12、就是電視塔的位置。defmn 三：作軸對(duì)稱圖形。 看畫圖過程回想作軸對(duì)稱圖形的一般步驟是什么？b ba ac co olaabbcc作已知圖形關(guān)于已知直線作已知圖形關(guān)于已知直線對(duì)稱的圖形的一般步驟對(duì)稱的圖形的一般步驟: :1.1.確定圖形中的一些特確定圖形中的一些特殊點(diǎn)殊點(diǎn). .2.2.畫出特殊點(diǎn)關(guān)于已知畫出特殊點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)直線的對(duì)稱點(diǎn). .3.3.連接對(duì)稱點(diǎn)連接對(duì)稱點(diǎn). . 看畫圖過程回想作一個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條直線對(duì)稱的點(diǎn)的畫法，并口述作法。laa過點(diǎn)過點(diǎn)a a作直線作直線l的垂線，垂的垂線，垂足為點(diǎn)足為點(diǎn)o,o,在垂線上截取在垂線上截取oa=oaoa=oa，點(diǎn)，點(diǎn)aa就是點(diǎn)就是點(diǎn)a a

13、關(guān)于直線關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)；的對(duì)稱點(diǎn)；作法：作法： 看平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)a,b,c的位置關(guān)系回想平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？31425-2-4-1-312345-4 -3 -2 -1y yx xabc(-3,2)(3,2)(-2,3)關(guān)于關(guān)于x 軸對(duì)稱的每軸對(duì)稱的每對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即數(shù)即點(diǎn)（點(diǎn)（x，y）關(guān)于）關(guān)于x 軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-(-x，y).-關(guān)于關(guān)于y 軸對(duì)稱的每軸對(duì)稱的每對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等即標(biāo)相等即點(diǎn)（點(diǎn)（x，y）關(guān)于關(guān)于y

14、軸對(duì)稱的點(diǎn)的軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（x，- -y）?！靖櫽?xùn)練】【跟蹤訓(xùn)練】1 1. .點(diǎn)點(diǎn)p(-5, 6)p(-5, 6)與點(diǎn)與點(diǎn)q q關(guān)于關(guān)于x x軸對(duì)稱，則點(diǎn)軸對(duì)稱，則點(diǎn)q q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_._.2.2.點(diǎn)點(diǎn)m(a, -5)m(a, -5)與點(diǎn)與點(diǎn)n(-2, b)n(-2, b)關(guān)于關(guān)于x x軸對(duì)軸對(duì)稱，則稱，則a=_,b =_.a=_,b =_.(- 5 ,-6 )(- 5 ,-6 )-2-25 5 看圖回想等腰三角形的性質(zhì)（1）用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號(hào)語言表示為什么？acd（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等；用數(shù)學(xué)語言敘述為：用符號(hào)語言表示為：在在abc 中中，ab = =a

15、cb=cb=c。 看圖回想等腰三角形的性質(zhì)（2）用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號(hào)語言表示為什么？acd（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底 邊上的高互相重合用數(shù)學(xué)語言敘述為:用符號(hào)語言表示為：abc 中，ab =ac，bd =cd.bad =cad，adbc或abc 中，ab=ac,adbc，bad =cad，bd =cd.或abc 中，ab =ac，bad =cad，adbc，bd =cd. 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？ 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對(duì)稱軸 看圖回想等腰三角形的判定用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號(hào)語言表示為什

16、么？abc用數(shù)學(xué)語言敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成寫成“等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”）符號(hào)語言：符號(hào)語言：在在abc 中中，b = =c，ab = =ac 看圖回想等邊三角形的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號(hào)語言表示為什么？abc用數(shù)學(xué)語言敘述為： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于都相等，并且每一個(gè)角都等于60. .符號(hào)語言：符號(hào)語言：abc 是等邊三角形，是等邊三角形，a =b = =c = =60606060 看圖回想等邊三角形的判定有哪些？用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用

17、符號(hào)語言表示為什么？abc用數(shù)學(xué)語言敘述為： 三個(gè)角都相等的三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形是等邊三角形. .符號(hào)語言：符號(hào)語言：在在abc 中，中， a=b =c ， abc 是等邊三角形是等邊三角形符號(hào)語言：符號(hào)語言：在在abc 中，中，bc = =ac，a = =60，abc 是等邊三角形是等邊三角形用數(shù)學(xué)語言敘述為： 有一個(gè)角為有一個(gè)角為60的等腰的等腰三角形是等邊三角形三角形是等邊三角形abc60 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊與斜邊有什么大小關(guān)系？那么它所對(duì)的直角邊與斜邊有什么大小關(guān)系？這個(gè)命題用符號(hào)語言如何表示？這個(gè)

18、命題用符號(hào)語言如何表示？符號(hào)語言：符號(hào)語言：在在rtabc 中，中，c = =90，a = =30，bc = = ab21 在直角三角形中，如果一在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的直角邊等于斜邊的一半. .abc跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1.1.已知已知：如圖如圖，abc 是等邊三角形是等邊三角形，bd 是是ac 邊上的高邊上的高，延長(zhǎng)延長(zhǎng)bc 到到e，使使ce = =cd，過點(diǎn)過點(diǎn)d 作作df be于于f求證求證：（1）bd = =de； （2）bf = =ef；：；：（3）請(qǐng)猜想請(qǐng)猜想fc 與與bf 間的數(shù)量間的數(shù)量關(guān)系關(guān)系，并說明理由并說明理由abcdef dbc = = ced， bd = = de證明（證明（1 1） abc 是等邊三角形是等邊三角形 abc =acb = = 60 ab bc 又又bdac， dbc = = acb =