量子力學(xué)導(dǎo)論Chap42

1、4.2 厄米厄米算符的本征值、本征函數(shù)算符的本征值、本征函數(shù)以及共同本征函數(shù)以及共同本征函數(shù)1、漲落、漲落 對于都用量子態(tài)對于都用量子態(tài) 來描述的大量相同的體系，如來描述的大量相同的體系，如果對某一力學(xué)量果對某一力學(xué)量 a 進行多次測量，所得結(jié)果的進行多次測量，所得結(jié)果的平均值平均值將趨于一個確定的值，而每次測量結(jié)果都圍繞這個平將趨于一個確定的值，而每次測量結(jié)果都圍繞這個平均值有個漲落，在數(shù)學(xué)上定義為：均值有個漲落，在數(shù)學(xué)上定義為：0)()()(22*22daadaaaaa2、本征態(tài)與本征值、本征態(tài)與本征值（1）本征態(tài)）本征態(tài)有一種特殊的狀態(tài)，測量力學(xué)量有一種特殊的狀態(tài)，測量力學(xué)量 a 的結(jié)果

2、是唯一確定的結(jié)果是唯一確定的，即漲落為零，的，即漲落為零，這種特殊的態(tài)就是本征態(tài)。這種特殊的態(tài)就是本征態(tài)。（2）本征方程與本征值）本征方程與本征值an 稱為稱為 a 的本征值，的本征值， n 為相應(yīng)的本征態(tài)。為相應(yīng)的本征態(tài)。量子力學(xué)假定測量力學(xué)量量子力學(xué)假定測量力學(xué)量 a 時所有可能出現(xiàn)的值，都是相應(yīng)的時所有可能出現(xiàn)的值，都是相應(yīng)的線形厄米算符線形厄米算符 a 的本征值。當(dāng)體系處于的本征值。當(dāng)體系處于 a 的本征態(tài)的本征態(tài) n，則每次，則每次測量所得結(jié)果都是測量所得結(jié)果都是 an。02a0)(aannnaa3、兩條定理、兩條定理（1）厄米算符的本征值都為實數(shù)）厄米算符的本征值都為實數(shù)證：證：（

3、2）屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交）屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交為實數(shù)。必為實數(shù)，nnnnnnnnnnaaaaaaa),(),(),(正交上式左邊由于）（并積分，得該式兩邊右乘但證：設(shè), 0),(. 0),)().,(),(,),(,.,*nmnmnmnmnnmnmmnmnmmmmnmmmnnnaaaaaaaaaaaaaaaa4 4、能級簡并時本征函數(shù)的正交化處理、能級簡并時本征函數(shù)的正交化處理 簡并是指本征值相同，但本征態(tài)不一樣。簡并是指本征值相同，但本征態(tài)不一樣。 特別是，特別是，當(dāng)能量本征值一樣，但能量本征態(tài)卻完全不一樣。當(dāng)能量本征值一樣，但能量本征態(tài)卻完全不一樣。 能級簡并時，僅

4、根據(jù)能量本征值并不能把各簡并態(tài)確定能級簡并時，僅根據(jù)能量本征值并不能把各簡并態(tài)確定下來。下來。能級簡并時本征函數(shù)的正交化處理過程能級簡并時本征函數(shù)的正交化處理過程出發(fā)點分析：出發(fā)點分析：在出現(xiàn)簡并時，簡并態(tài)的選擇是不唯一的，在出現(xiàn)簡并時，簡并態(tài)的選擇是不唯一的，并且這些簡并態(tài)不一定彼此正交。但可以將這些簡并態(tài)并且這些簡并態(tài)不一定彼此正交。但可以將這些簡并態(tài)進行適當(dāng)?shù)木€形疊加以實現(xiàn)彼此正交。進行適當(dāng)?shù)木€形疊加以實現(xiàn)彼此正交。)(,.,2, 1,重簡并設(shè)nnnnnffaa111.,:.;,.,2, 1,），（即具有正交性，使合適的選擇的本征態(tài)，本征值為仍為可以證明為系數(shù)其中，nnnnnfnnfnn

5、nnnfnnaaaaaaaaaafannn得到滿足。），使得（，系數(shù)因此，總可以找到一組它大于個，共有因為系數(shù)個限制性條件。這相當(dāng)于提出了2).1(21) 1(21) 1(21nnnnnnnnnnnnfaffffaffffffcnfn個中任選兩個中任選兩個，個， ；再自；再自身加上歸一化身加上歸一化要求，要求，fn個個2nfc5 5、共同本征函數(shù)共同本征函數(shù)（1）測不準(zhǔn)關(guān)系與共同本征態(tài)）測不準(zhǔn)關(guān)系與共同本征態(tài) 體系處于力學(xué)量體系處于力學(xué)量 a 的本征態(tài)時，對的本征態(tài)時，對 a 進行測量，進行測量，可以得到無漲落的、確切的值，即本征值。若在該本可以得到無漲落的、確切的值，即本征值。若在該本征態(tài)下

6、去測量另一個力學(xué)量征態(tài)下去測量另一個力學(xué)量 b，是否也能測到確切值，是否也能測到確切值呢？不一定。例如考慮波粒二像性，空間坐標(biāo)和動量呢？不一定。例如考慮波粒二像性，空間坐標(biāo)和動量之間就不可能同時完全確定。之間就不可能同時完全確定。普遍情形是普遍情形是此乃任意兩個力學(xué)量此乃任意兩個力學(xué)量 a 和和 b 在任何量子態(tài)下的漲落必在任何量子態(tài)下的漲落必然要滿足的關(guān)系式，即測不準(zhǔn)關(guān)系式。然要滿足的關(guān)系式，即測不準(zhǔn)關(guān)系式。2/xpx,2122bababa證明證明:為兩個厄米算符。和：任意實參數(shù)；體系任意波函數(shù)；考慮積分badbiai:0|)( |)(:2),(), ,(),(),()()(222bbaia

7、biabiaii，展開0)4/()2/()(,/ ,222222222acbacabcaiccibac則，也為厄米算符?？梢宰C明令,212/4/04/.2/222222222bacbacbaacbaccc或?qū)懗杉?，則，為實數(shù)。不妨令為厄米算符，,21,21,212222bababababababababbbaaababa或記為又也成立，也是厄米算符。與則，均為實數(shù)。和均為厄米算符，和)()()(,:22從漲落定義式出發(fā)計算的值求基態(tài)時中運動粒子在一維無限方勢阱例pxaxaxsin/2)(1aaadxxxxxadxxxxx00212*121*13/)()(2/)()(axaxadxxxxpdxx

8、xixp02221222*1201*1/)()(0)()(412)()(22222xpx與上面計算一致。則，如果從測不準(zhǔn)原理出發(fā)2/21,21 ipxpxxx共同本征態(tài)：共同本征態(tài)： 從測不準(zhǔn)關(guān)系可以看出，如果兩個力學(xué)量從測不準(zhǔn)關(guān)系可以看出，如果兩個力學(xué)量 a 和和 b 不對易，則一般來講不對易，則一般來講 a 和和 b 不能同時為零，不能同時為零，a 和和 b 不能同時測定（除了不能同時測定（除了 這一種特殊態(tài)例外）。這一種特殊態(tài)例外）。就是說，二者沒有共同的本征態(tài)。就是說，二者沒有共同的本征態(tài)。 反之，如果這反之，如果這兩個力學(xué)量對應(yīng)的厄米算符對易兩個力學(xué)量對應(yīng)的厄米算符對易，即即 ，則，

9、則可以找出一種態(tài)使得二者可以同時測可以找出一種態(tài)使得二者可以同時測定，定，即可以找出二者的即可以找出二者的共同本征態(tài)共同本征態(tài)。0,ba0,ba（2）求共同本征函數(shù)的一般原則）求共同本征函數(shù)的一般原則 分兩種情況討論分兩種情況討論(a) an 無簡并無簡并nnnaaba, 0,設(shè)是二者的共同本征態(tài)。則這個常數(shù)記為相差一個常數(shù)因子。將多代表同一個態(tài)，二者最與不簡并，的本征態(tài)也是可見，nnnnnnnnnnnnnnnbbbbaabbaababbaba,.)()()(, 0,(b) an 有簡并有簡并 ),( ,(,.,2, 1,nnnnnnnnffaa正交歸一重簡并設(shè)的本征態(tài)了。不再是一般而言，可由

10、正交歸一性獲得普遍表達式應(yīng)為的本征態(tài)，本征值為仍是bbbbbbbaabbaabbannnfnnnnnnnnnn),(.)()(1 nnnnnnnnnnfnfnffffnnfnnfnnfnnfnncbcbbbcbcbcbbbbbbacaacaaac1111111111?)(.這是可以做到，因為的本征值為滿足的本征態(tài)呢，即能否可否作為但為的本征態(tài)，對應(yīng)本征值它仍然是作以下線性疊加，但將.0det. 011次冪的代數(shù)方程的行列式組成的有關(guān)這是非平庸解的充要條件是有的線性齊次方程組，其這是關(guān)于）（上式可以改寫為就達目的。滿足如果nnnfffbffbbccbbcbbccnn.).2 , 1( ,).2

11、, 1(.21.,1*個這樣的波函數(shù)共有最終的波函數(shù)的一組解，記為一組關(guān)于齊次方程組，可求出將它們代入上面的線形，設(shè)實根記為個實根可以證明上面的方程有可得nnnfnnnnffcfccfbfbbbbnnnnnnbbaaba的共同本征函數(shù)，即和這樣我們就找到了6 6、力學(xué)量完全集力學(xué)量完全集（1）定義）定義 設(shè)有一組設(shè)有一組彼此獨立、相互對易彼此獨立、相互對易的的厄米算符厄米算符 它們具有共同本征函數(shù)，記為它們具有共同本征函數(shù)，記為 k ，k 是一組量子數(shù)的是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號。設(shè)給定籠統(tǒng)記號。設(shè)給定 k 之后就能夠確定體系的一個可能之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱狀態(tài)，則稱 構(gòu)成體系的一

12、組力學(xué)量完全集構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集.（2） 波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述按照態(tài)疊加原理，體系的任何一個狀態(tài)按照態(tài)疊加原理，體系的任何一個狀態(tài) 均可用均可用 k 展展開，開，,.,21aa,.),(21aaa),(kkkkkkaa的正交歸一性，可得利用1)()(),(, 1),(2*右邊左邊的正交歸一性的要求有再根據(jù) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkaaaaadaadaadaaaakkkkkk 表示在表示在 態(tài)下測量態(tài)下測量 a 得到得到 ak 值的幾率。這是值的幾率。這是波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述。波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的最一般

13、的數(shù)學(xué)描述。例如，一維線性諧振子，哈密頓量本身就構(gòu)成一組力例如，一維線性諧振子，哈密頓量本身就構(gòu)成一組力學(xué)量完全集。它的本征函數(shù)為學(xué)量完全集。它的本征函數(shù)為 n ，n = 0, 1, 2, ,就構(gòu)就構(gòu)成體系的一組正交完備函數(shù)組。一維諧振子的任何一成體系的一組正交完備函數(shù)組。一維諧振子的任何一個態(tài)個態(tài) 均可用它們進行展開，均可用它們進行展開， 表示在表示在 下測得振子能量為下測得振子能量為 en 的幾率。的幾率。2kannna2na（3）含）含 哈密頓量哈密頓量 h 的力學(xué)量完全集的力學(xué)量完全集 如果力學(xué)量完全集中包含哈密頓量如果力學(xué)量完全集中包含哈密頓量 h，并且，并且 h 有下有下界，則這組

14、力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)構(gòu)成該體系的界，則這組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)構(gòu)成該體系的態(tài)空間的一組完備的基矢，體系任何一個狀態(tài)均可用態(tài)空間的一組完備的基矢，體系任何一個狀態(tài)均可用這組基矢展開。這組基矢展開。 實際物理體系的實際物理體系的 h（能量）的本征值都包含在這組（能量）的本征值都包含在這組力學(xué)量完全集的本征值之中。體系的任何態(tài)都可用包力學(xué)量完全集的本征值之中。體系的任何態(tài)都可用包含含 h 在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)來展開。在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)來展開。 如果如果 h 不顯含時間，這組力學(xué)量完全集稱為守恒量不顯含時間，這組力學(xué)量完全集稱為守恒量完全集，將產(chǎn)生一組完全集，將產(chǎn)

15、生一組好量子數(shù)好量子數(shù)。在量子力學(xué)中尋找體。在量子力學(xué)中尋找體系守恒量完全集是極其重要的。系守恒量完全集是極其重要的。（4）力學(xué)量算符表達之總結(jié)）力學(xué)量算符表達之總結(jié) 在量子力學(xué)中，力學(xué)量用相應(yīng)的線性厄米算符表達在量子力學(xué)中，力學(xué)量用相應(yīng)的線性厄米算符表達 平均值平均值 實驗上觀測實驗上觀測 a 的可能取值，必為算符的可能取值，必為算符 的某一本的某一本征值征值力學(xué)量之間的關(guān)系用相應(yīng)的算符之間對易關(guān)系反映力學(xué)量之間的關(guān)系用相應(yīng)的算符之間對易關(guān)系反映出來。出來。（一般而言，兩個力學(xué)量（一般而言，兩個力學(xué)量 a 和和 b 同時具有確定的測量同時具有確定的測量值的必要條件是二者之間完全對易，即值的必

16、要條件是二者之間完全對易，即 ）),(aa a0,ba7 7、( (l2，lz) )的共同本征態(tài)和球諧函數(shù)的共同本征態(tài)和球諧函數(shù)（1）概述）概述 角動量角動量 l 的三個分量彼此不對易，因為的三個分量彼此不對易，因為三分量一般沒有共同本征態(tài)，但考慮到三分量一般沒有共同本征態(tài)，但考慮到可以找到可以找到 l2 與角動量任何一個分量（如與角動量任何一個分量（如 lz）的共同本）的共同本征態(tài)。征態(tài)。此外，在中心力場問題中，可以證明此外，在中心力場問題中，可以證明 因此，體系守恒量完全集可以選擇為因此，體系守恒量完全集可以選擇為(h, l2, lz).3 , 2 , 1, 0,2lllilllill,或

17、者0,0,2hlhl和（2） lz 的本征方程、本征值和本征函數(shù)的本征方程、本征值和本征函數(shù))()()2(.)/exp()(ln邊界條件旋轉(zhuǎn)一周還原，周期性即，為厄米算符要求對應(yīng)一個力學(xué)量，本征方程：zzzzzzlll iclilil,.2, 1, 0,21)(:.2/1, 1)()exp()(,.2, 1, 0,)/exp(/ )2(exp)()2(220mecdcimcmmll il iimmmmzzz本征函數(shù)不妨取可由歸一化條件得出本征函數(shù)本征值（3） (l2，lz)的共同本征態(tài)的共同本征態(tài)因為因為 ，l2 的本征態(tài)可同時取為的本征態(tài)可同時取為 lz 的本征態(tài)的本征態(tài).)(sin1sin

18、sin)sin1sinsin1(22222222illlzz其中的0,2zll,.2, 1, 0,21)(melimmz的本征函數(shù)：而因為因為 和和 相互獨立，所以相互獨立，所以 l2 的本征函數(shù)可分離變量。的本征函數(shù)可分離變量。),(),(:)()(),(222yyllym的本征方程代入令.22無量綱，待求實數(shù)的本征值，是l01)1 (),1,0( ,cos0)()sin()(sinsin122222mddddmdddd則上式變?yōu)榱罨喓蟮玫交喓蟮玫竭@是這是締合勒讓德（或連帶締合勒讓德（或連帶 legendre）方程）方程。方程的兩個奇點在方程的兩個奇點在 = 1；在其余；在其余| | 1區(qū)域區(qū)域 為常點。為常點?？梢宰C明（級數(shù)解法），只有當(dāng)可以證明（級數(shù)解法），只有當(dāng)時，方程的解才截斷為多項式，解為時，方程的解才截斷為多項式，解為締合勒讓德多項式締合勒讓德多項式它在物理上可以接受，是有界的。它在物理上可以接受，是有界的。012)1 (