量子力學(xué)導(dǎo)論Chap42

1、4.2 厄米厄米算符的本征值、本征函數(shù)算符的本征值、本征函數(shù)以及共同本征函數(shù)以及共同本征函數(shù)1、漲落、漲落 對(duì)于都用量子態(tài)對(duì)于都用量子態(tài) 來描述的大量相同的體系，如來描述的大量相同的體系，如果對(duì)某一力學(xué)量果對(duì)某一力學(xué)量 a 進(jìn)行多次測(cè)量，所得結(jié)果的進(jìn)行多次測(cè)量，所得結(jié)果的平均值平均值將趨于一個(gè)確定的值，而每次測(cè)量結(jié)果都圍繞這個(gè)平將趨于一個(gè)確定的值，而每次測(cè)量結(jié)果都圍繞這個(gè)平均值有個(gè)漲落，在數(shù)學(xué)上定義為：均值有個(gè)漲落，在數(shù)學(xué)上定義為：0)()()(22*22daadaaaaa2、本征態(tài)與本征值、本征態(tài)與本征值（1）本征態(tài)）本征態(tài)有一種特殊的狀態(tài)，測(cè)量力學(xué)量有一種特殊的狀態(tài)，測(cè)量力學(xué)量 a 的結(jié)果

2、是唯一確定的結(jié)果是唯一確定的，即漲落為零，的，即漲落為零，這種特殊的態(tài)就是本征態(tài)。這種特殊的態(tài)就是本征態(tài)。（2）本征方程與本征值）本征方程與本征值an 稱為稱為 a 的本征值，的本征值， n 為相應(yīng)的本征態(tài)。為相應(yīng)的本征態(tài)。量子力學(xué)假定測(cè)量力學(xué)量量子力學(xué)假定測(cè)量力學(xué)量 a 時(shí)所有可能出現(xiàn)的值，都是相應(yīng)的時(shí)所有可能出現(xiàn)的值，都是相應(yīng)的線形厄米算符線形厄米算符 a 的本征值。當(dāng)體系處于的本征值。當(dāng)體系處于 a 的本征態(tài)的本征態(tài) n，則每次，則每次測(cè)量所得結(jié)果都是測(cè)量所得結(jié)果都是 an。02a0)(aannnaa3、兩條定理、兩條定理（1）厄米算符的本征值都為實(shí)數(shù)）厄米算符的本征值都為實(shí)數(shù)證：證：（

3、2）屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交）屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交為實(shí)數(shù)。必為實(shí)數(shù)，nnnnnnnnnnaaaaaaa),(),(),(正交上式左邊由于）（并積分，得該式兩邊右乘但證：設(shè), 0),(. 0),)().,(),(,),(,.,*nmnmnmnmnnmnmmnmnmmmmnmmmnnnaaaaaaaaaaaaaaaa4 4、能級(jí)簡并時(shí)本征函數(shù)的正交化處理、能級(jí)簡并時(shí)本征函數(shù)的正交化處理 簡并是指本征值相同，但本征態(tài)不一樣。簡并是指本征值相同，但本征態(tài)不一樣。 特別是，特別是，當(dāng)能量本征值一樣，但能量本征態(tài)卻完全不一樣。當(dāng)能量本征值一樣，但能量本征態(tài)卻完全不一樣。 能級(jí)簡并時(shí)，僅

4、根據(jù)能量本征值并不能把各簡并態(tài)確定能級(jí)簡并時(shí)，僅根據(jù)能量本征值并不能把各簡并態(tài)確定下來。下來。能級(jí)簡并時(shí)本征函數(shù)的正交化處理過程能級(jí)簡并時(shí)本征函數(shù)的正交化處理過程出發(fā)點(diǎn)分析：出發(fā)點(diǎn)分析：在出現(xiàn)簡并時(shí)，簡并態(tài)的選擇是不唯一的，在出現(xiàn)簡并時(shí)，簡并態(tài)的選擇是不唯一的，并且這些簡并態(tài)不一定彼此正交。但可以將這些簡并態(tài)并且這些簡并態(tài)不一定彼此正交。但可以將這些簡并態(tài)進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€形疊加以實(shí)現(xiàn)彼此正交。進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€形疊加以實(shí)現(xiàn)彼此正交。)(,.,2, 1,重簡并設(shè)nnnnnffaa111.,:.;,.,2, 1,），（即具有正交性，使合適的選擇的本征態(tài)，本征值為仍為可以證明為系數(shù)其中，nnnnnfnnfnn

5、nnnfnnaaaaaaaaaafannn得到滿足。），使得（，系數(shù)因此，總可以找到一組它大于個(gè)，共有因?yàn)橄禂?shù)個(gè)限制性條件。這相當(dāng)于提出了2).1(21) 1(21) 1(21nnnnnnnnnnnnfaffffaffffffcnfn個(gè)中任選兩個(gè)中任選兩個(gè)，個(gè)， ；再自；再自身加上歸一化身加上歸一化要求，要求，fn個(gè)個(gè)2nfc5 5、共同本征函數(shù)共同本征函數(shù)（1）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系與共同本征態(tài)）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系與共同本征態(tài) 體系處于力學(xué)量體系處于力學(xué)量 a 的本征態(tài)時(shí)，對(duì)的本征態(tài)時(shí)，對(duì) a 進(jìn)行測(cè)量，進(jìn)行測(cè)量，可以得到無漲落的、確切的值，即本征值。若在該本可以得到無漲落的、確切的值，即本征值。若在該本征態(tài)下

6、去測(cè)量另一個(gè)力學(xué)量征態(tài)下去測(cè)量另一個(gè)力學(xué)量 b，是否也能測(cè)到確切值，是否也能測(cè)到確切值呢？不一定。例如考慮波粒二像性，空間坐標(biāo)和動(dòng)量呢？不一定。例如考慮波粒二像性，空間坐標(biāo)和動(dòng)量之間就不可能同時(shí)完全確定。之間就不可能同時(shí)完全確定。普遍情形是普遍情形是此乃任意兩個(gè)力學(xué)量此乃任意兩個(gè)力學(xué)量 a 和和 b 在任何量子態(tài)下的漲落必在任何量子態(tài)下的漲落必然要滿足的關(guān)系式，即測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。然要滿足的關(guān)系式，即測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。2/xpx,2122bababa證明證明:為兩個(gè)厄米算符。和：任意實(shí)參數(shù)；體系任意波函數(shù)；考慮積分badbiai:0|)( |)(:2),(), ,(),(),()()(222bbaia

7、biabiaii，展開0)4/()2/()(,/ ,222222222acbacabcaiccibac則，也為厄米算符?？梢宰C明令,212/4/04/.2/222222222bacbacbaacbaccc或?qū)懗杉矗瑒t，為實(shí)數(shù)。不妨令為厄米算符，,21,21,212222bababababababababbbaaababa或記為又也成立，也是厄米算符。與則，均為實(shí)數(shù)。和均為厄米算符，和)()()(,:22從漲落定義式出發(fā)計(jì)算的值求基態(tài)時(shí)中運(yùn)動(dòng)粒子在一維無限方勢(shì)阱例pxaxaxsin/2)(1aaadxxxxxadxxxxx00212*121*13/)()(2/)()(axaxadxxxxpdxx

8、xixp02221222*1201*1/)()(0)()(412)()(22222xpx與上面計(jì)算一致。則，如果從測(cè)不準(zhǔn)原理出發(fā)2/21,21 ipxpxxx共同本征態(tài)：共同本征態(tài)： 從測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可以看出，如果兩個(gè)力學(xué)量從測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可以看出，如果兩個(gè)力學(xué)量 a 和和 b 不對(duì)易，則一般來講不對(duì)易，則一般來講 a 和和 b 不能同時(shí)為零，不能同時(shí)為零，a 和和 b 不能同時(shí)測(cè)定（除了不能同時(shí)測(cè)定（除了 這一種特殊態(tài)例外）。這一種特殊態(tài)例外）。就是說，二者沒有共同的本征態(tài)。就是說，二者沒有共同的本征態(tài)。 反之，如果這反之，如果這兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的厄米算符對(duì)易兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的厄米算符對(duì)易，即即 ，則，

9、則可以找出一種態(tài)使得二者可以同時(shí)測(cè)可以找出一種態(tài)使得二者可以同時(shí)測(cè)定，定，即可以找出二者的即可以找出二者的共同本征態(tài)共同本征態(tài)。0,ba0,ba（2）求共同本征函數(shù)的一般原則）求共同本征函數(shù)的一般原則 分兩種情況討論分兩種情況討論(a) an 無簡并無簡并nnnaaba, 0,設(shè)是二者的共同本征態(tài)。則這個(gè)常數(shù)記為相差一個(gè)常數(shù)因子。將多代表同一個(gè)態(tài)，二者最與不簡并，的本征態(tài)也是可見，nnnnnnnnnnnnnnnbbbbaabbaababbaba,.)()()(, 0,(b) an 有簡并有簡并 ),( ,(,.,2, 1,nnnnnnnnffaa正交歸一重簡并設(shè)的本征態(tài)了。不再是一般而言，可由

10、正交歸一性獲得普遍表達(dá)式應(yīng)為的本征態(tài)，本征值為仍是bbbbbbbaabbaabbannnfnnnnnnnnnn),(.)()(1 nnnnnnnnnnfnfnffffnnfnnfnnfnnfnncbcbbbcbcbcbbbbbbacaacaaac1111111111?)(.這是可以做到，因?yàn)榈谋菊髦禐闈M足的本征態(tài)呢，即能否可否作為但為的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)本征值它仍然是作以下線性疊加，但將.0det. 011次冪的代數(shù)方程的行列式組成的有關(guān)這是非平庸解的充要條件是有的線性齊次方程組，其這是關(guān)于）（上式可以改寫為就達(dá)目的。滿足如果nnnfffbffbbccbbcbbccnn.).2 , 1( ,).2

11、, 1(.21.,1*個(gè)這樣的波函數(shù)共有最終的波函數(shù)的一組解，記為一組關(guān)于齊次方程組，可求出將它們代入上面的線形，設(shè)實(shí)根記為個(gè)實(shí)根可以證明上面的方程有可得nnnfnnnnffcfccfbfbbbbnnnnnnbbaaba的共同本征函數(shù)，即和這樣我們就找到了6 6、力學(xué)量完全集力學(xué)量完全集（1）定義）定義 設(shè)有一組設(shè)有一組彼此獨(dú)立、相互對(duì)易彼此獨(dú)立、相互對(duì)易的的厄米算符厄米算符 它們具有共同本征函數(shù)，記為它們具有共同本征函數(shù)，記為 k ，k 是一組量子數(shù)的是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號(hào)。設(shè)給定籠統(tǒng)記號(hào)。設(shè)給定 k 之后就能夠確定體系的一個(gè)可能之后就能夠確定體系的一個(gè)可能狀態(tài)，則稱狀態(tài)，則稱 構(gòu)成體系的一

12、組力學(xué)量完全集構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集.（2） 波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述按照態(tài)疊加原理，體系的任何一個(gè)狀態(tài)按照態(tài)疊加原理，體系的任何一個(gè)狀態(tài) 均可用均可用 k 展展開，開，,.,21aa,.),(21aaa),(kkkkkkaa的正交歸一性，可得利用1)()(),(, 1),(2*右邊左邊的正交歸一性的要求有再根據(jù) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkaaaaadaadaadaaaakkkkkk 表示在表示在 態(tài)下測(cè)量態(tài)下測(cè)量 a 得到得到 ak 值的幾率。這是值的幾率。這是波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述。波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋的最一般

13、的數(shù)學(xué)描述。例如，一維線性諧振子，哈密頓量本身就構(gòu)成一組力例如，一維線性諧振子，哈密頓量本身就構(gòu)成一組力學(xué)量完全集。它的本征函數(shù)為學(xué)量完全集。它的本征函數(shù)為 n ，n = 0, 1, 2, ,就構(gòu)就構(gòu)成體系的一組正交完備函數(shù)組。一維諧振子的任何一成體系的一組正交完備函數(shù)組。一維諧振子的任何一個(gè)態(tài)個(gè)態(tài) 均可用它們進(jìn)行展開，均可用它們進(jìn)行展開， 表示在表示在 下測(cè)得振子能量為下測(cè)得振子能量為 en 的幾率。的幾率。2kannna2na（3）含）含 哈密頓量哈密頓量 h 的力學(xué)量完全集的力學(xué)量完全集 如果力學(xué)量完全集中包含哈密頓量如果力學(xué)量完全集中包含哈密頓量 h，并且，并且 h 有下有下界，則這組

14、力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)構(gòu)成該體系的界，則這組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)構(gòu)成該體系的態(tài)空間的一組完備的基矢，體系任何一個(gè)狀態(tài)均可用態(tài)空間的一組完備的基矢，體系任何一個(gè)狀態(tài)均可用這組基矢展開。這組基矢展開。 實(shí)際物理體系的實(shí)際物理體系的 h（能量）的本征值都包含在這組（能量）的本征值都包含在這組力學(xué)量完全集的本征值之中。體系的任何態(tài)都可用包力學(xué)量完全集的本征值之中。體系的任何態(tài)都可用包含含 h 在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)來展開。在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)來展開。 如果如果 h 不顯含時(shí)間，這組力學(xué)量完全集稱為守恒量不顯含時(shí)間，這組力學(xué)量完全集稱為守恒量完全集，將產(chǎn)生一組完全集，將產(chǎn)

15、生一組好量子數(shù)好量子數(shù)。在量子力學(xué)中尋找體。在量子力學(xué)中尋找體系守恒量完全集是極其重要的。系守恒量完全集是極其重要的。（4）力學(xué)量算符表達(dá)之總結(jié)）力學(xué)量算符表達(dá)之總結(jié) 在量子力學(xué)中，力學(xué)量用相應(yīng)的線性厄米算符表達(dá)在量子力學(xué)中，力學(xué)量用相應(yīng)的線性厄米算符表達(dá) 平均值平均值 實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)實(shí)驗(yàn)上觀測(cè) a 的可能取值，必為算符的可能取值，必為算符 的某一本的某一本征值征值力學(xué)量之間的關(guān)系用相應(yīng)的算符之間對(duì)易關(guān)系反映力學(xué)量之間的關(guān)系用相應(yīng)的算符之間對(duì)易關(guān)系反映出來。出來。（一般而言，兩個(gè)力學(xué)量（一般而言，兩個(gè)力學(xué)量 a 和和 b 同時(shí)具有確定的測(cè)量同時(shí)具有確定的測(cè)量值的必要條件是二者之間完全對(duì)易，即值的必

16、要條件是二者之間完全對(duì)易，即 ）),(aa a0,ba7 7、( (l2，lz) )的共同本征態(tài)和球諧函數(shù)的共同本征態(tài)和球諧函數(shù)（1）概述）概述 角動(dòng)量角動(dòng)量 l 的三個(gè)分量彼此不對(duì)易，因?yàn)榈娜齻€(gè)分量彼此不對(duì)易，因?yàn)槿至恳话銢]有共同本征態(tài)，但考慮到三分量一般沒有共同本征態(tài)，但考慮到可以找到可以找到 l2 與角動(dòng)量任何一個(gè)分量（如與角動(dòng)量任何一個(gè)分量（如 lz）的共同本）的共同本征態(tài)。征態(tài)。此外，在中心力場問題中，可以證明此外，在中心力場問題中，可以證明 因此，體系守恒量完全集可以選擇為因此，體系守恒量完全集可以選擇為(h, l2, lz).3 , 2 , 1, 0,2lllilllill,或

17、者0,0,2hlhl和（2） lz 的本征方程、本征值和本征函數(shù)的本征方程、本征值和本征函數(shù))()()2(.)/exp()(ln邊界條件旋轉(zhuǎn)一周還原，周期性即，為厄米算符要求對(duì)應(yīng)一個(gè)力學(xué)量，本征方程：zzzzzzlll iclilil,.2, 1, 0,21)(:.2/1, 1)()exp()(,.2, 1, 0,)/exp(/ )2(exp)()2(220mecdcimcmmll il iimmmmzzz本征函數(shù)不妨取可由歸一化條件得出本征函數(shù)本征值（3） (l2，lz)的共同本征態(tài)的共同本征態(tài)因?yàn)橐驗(yàn)?，l2 的本征態(tài)可同時(shí)取為的本征態(tài)可同時(shí)取為 lz 的本征態(tài)的本征態(tài).)(sin1sin

18、sin)sin1sinsin1(22222222illlzz其中的0,2zll,.2, 1, 0,21)(melimmz的本征函數(shù)：而因?yàn)橐驗(yàn)?和和 相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以 l2 的本征函數(shù)可分離變量。的本征函數(shù)可分離變量。),(),(:)()(),(222yyllym的本征方程代入令.22無量綱，待求實(shí)數(shù)的本征值，是l01)1 (),1,0( ,cos0)()sin()(sinsin122222mddddmdddd則上式變?yōu)榱罨喓蟮玫交喓蟮玫竭@是這是締合勒讓德（或連帶締合勒讓德（或連帶 legendre）方程）方程。方程的兩個(gè)奇點(diǎn)在方程的兩個(gè)奇點(diǎn)在 = 1；在其余；在其余| | 1區(qū)域區(qū)域 為常點(diǎn)。為常點(diǎn)?？梢宰C明（級(jí)數(shù)解法），只有當(dāng)可以證明（級(jí)數(shù)解法），只有當(dāng)時(shí)，方程的解才截?cái)酁槎囗?xiàng)式，解為時(shí)，方程的解才截?cái)酁槎囗?xiàng)式，解為締合勒讓德多項(xiàng)式締合勒讓德多項(xiàng)式它在物理上可以接受，是有界的。它在物理上可以接受，是有界的。012)1 (