概率論與數(shù)理統(tǒng)計全概率和貝葉斯公式（課堂PPT）

1、13.2 全概率公式n引例：有朋友從遠方來，情形如下： 乘火車概率3/10 遲到概率1/4； 乘船的概率1/5 遲到概率1/3; 乘汽車概率1/10 遲到概率1/12; 乘飛機概率2/5 遲到概率0 問：朋友遲到的概率多大？ 復(fù)雜問題 全概率公式 簡單化2121212, ,1,(i)(ii),.2, ;.nnijnB Bij i jnBBSEB BBEBSBSBB 定義設(shè)為試驗 的樣本樣本空空間為的一組事件 若則間稱的一個劃分為1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分1B2B3B1 nBnB3樣本空間劃分的簡單理解：1212(i),(ii),nnSB BBB BB 樣本空間 由組成；每次試驗中，有且

2、只有一個發(fā)生。對照引例，給出樣本空間的劃分42. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗驗定定理理 借助于韋恩圖的理解5 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 圖示圖示A1B2B3B1 nBnB證明證明)(21nBBBAASA .21nABABAB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整為零化整為零各個擊破各

3、個擊破6例例6 有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生，三廠生產(chǎn)的占產(chǎn)的占 20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為為2% ， 1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少是次品的概率是多少?設(shè)事件設(shè)事件 A 為為“任取一件為次品任取一件為次品”,. 3, 2, 1,”“ iiBi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為事事件件,321SBBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji7由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0

4、)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBPS30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故8全概率公式全概率公式：原因：原因 3.2 貝葉斯公式結(jié)果結(jié)果 貝葉斯公式貝葉斯公式問題：結(jié)果原因呢？9稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)

5、(, 0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗驗定定理理 3. 貝葉斯公式貝葉斯公式貝葉斯資料貝葉斯資料10證明證明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 11?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少機機器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的品品時時早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機機器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時時每每天天早早上上機機器器開開動動其

6、其合合格格率率為為種種故故障障時時而而當當機機器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為良良好好時時當當機機器器調(diào)調(diào)整整得得明明對對以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表解解,“產(chǎn)品合格”“產(chǎn)品合格”為事件為事件設(shè)設(shè) A.“機器調(diào)整良好”“機器調(diào)整良好”為事件為事件B則有則有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例112,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好

7、的概率為此時機器調(diào)此時機器調(diào)是合格品時是合格品時即當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品即當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品13上題中概率上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫叫做做先驗概率先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后驗概率后驗概率.先驗概率與后驗概率先驗概率與后驗概率14生活中的貝葉斯公式n工廠車間次品的來源判斷n體育比賽結(jié)果的推斷n伊索語言故事一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他喊：“狼來了”，山上的村民上山打狼，狼沒來。第二天仍是如此。第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊，沒有村民救他。為什么？分析：村民對小孩的可信度是如何下降的？15思考題： 按照以往考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90考試及格；不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90考試不及格。據(jù)調(diào)查，有90的人是努力學(xué)習(xí)的。問：（1）考試及格的學(xué)生中有多大是不努力學(xué)習(xí)的？（2）考試不及格的學(xué)生中有多大是努力學(xué)習(xí)的？161.條件概率條件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式四、小結(jié))()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP niBPBAPBPBAPABPnjjjiii, 2, 1,)()()()()(1