函數(shù)的極值新PPT課件

1、 單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系?設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f (x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f (x)0，則f(x)為減函數(shù)；如果f (x)=0，則f(x)為常數(shù)函數(shù)；復(fù)習(xí)回顧第1頁/共23頁 yxOaby=f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函數(shù) y=f (x)在點x1 、x2 、x3 、x4處的函數(shù)值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，與它們左右附近各點處的函數(shù)值相比有什么特點?觀察圖像第2頁/共23頁一、函數(shù)的極值定義一般的，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對X0附近的所有點，都有f(x)f(x0), 則f

2、(x0) 是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值. (極值即峰谷處的值-不一定最大或最小）使函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點第3頁/共23頁二、新課函數(shù)的極值:請注意以下幾點: (1)極值是一個局部概念.由定義,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.也就是說極值與最值是兩個不同的概念.第4頁/共23頁 (2)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個. (3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個函數(shù)的極大值未必大于極小

3、值,如下圖所示,x1是極大值點,x4是極小值點,而f(x4)f(x1).oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xf第5頁/共23頁 (4)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點. 在上節(jié)課中,我們是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性的.下面我們利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的極值問題. 由上圖可以看出,在函數(shù)取得極值處,如果曲線有切線的話,則切線是水平的,從而有 .但反過來不一定.如函數(shù)y=x3,在x=0處,曲線的切線是水平的,但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大,也不比它附近的點的函數(shù)值小.假設(shè)x0使

4、.那么在什么情況下x0是f(x)的極值點呢？0)(0= = xf0)(0= = xf第6頁/共23頁 f (x)0 yxOx1aby=f(x)在極大值點附近在極小值點附近 f (x)0 f (x)01、如果在x0附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，則f (x0)是極大值；2、如果在x0附近的左側(cè)f (x)0， 則f (x0)是極小值；已知函數(shù)f(x)在點x0處是連續(xù)的（未必可導(dǎo)！），則二、判斷函數(shù)極值的方法x2（1）導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點嗎？不一定！（2）若極值點處可導(dǎo)則一定為0嗎？一定?。?）端點會是極值點嗎？不會！（4）極值只有一個嗎？不一定?。?）極大值一定比極小值大嗎？不一定！

5、第7頁/共23頁 yxO觀察思考 極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？在極值點處，曲線如果有切線，則切線是水平的。aby=f(x)x1 f (x1)=0 x2 f (x2)=0 x3 f (x3)=0 x4 f (x5)=0 x5不存在第8頁/共23頁要注意以下兩點: (1)不可導(dǎo)函數(shù)也可能有極值點.例如函數(shù)y=|x|,它在點x=0處不可導(dǎo),但x=0是函數(shù)的極小值點.故函數(shù)f(x)在極值點處不一定存在導(dǎo)數(shù). (2)可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點,反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點.例如,函數(shù)y=x3,在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點,原因是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.因此導(dǎo)

6、數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號. 因此,利用求導(dǎo)的方法,求函數(shù)的極值時,在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”,除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點外,還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導(dǎo)的點,這兩類點構(gòu)成了函數(shù)定義域內(nèi)所有的可能取到極值的“可疑點”.第9頁/共23頁注意：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值。1、判斷下面4個命題，其中是真命題序號為 。可導(dǎo)函數(shù)必有極值；函數(shù)在極值點必有定義；函數(shù)的極小值一定小于極大值（設(shè)極小值、極大值

7、都存在）；函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。課堂練習(xí)第10頁/共23頁 yfx=6x5x4x3x2x1xabxy 2、（1）如圖是函數(shù) 的圖象,試找出函數(shù) 的 極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點？o（2）如果把函數(shù)圖象改為導(dǎo)函數(shù) 的圖象? yfx= yf x= yf x=答： yfx=1、x1,x3,x5,x6是函數(shù)y=f(x)的極值點，其中x1,x5是函數(shù)y=f(x)的極大值點，x3,x6函數(shù)y=f(x)的極小值點。2、x2,x4是函數(shù)y=f(x)的極值點,其中x2是函數(shù)y=f(x)的極大值點，x4是函數(shù)y=f(x)的極小值點。第11頁/共23頁 下面分兩種情況討論: （1）當(dāng)

8、 ，即x2,或x-2時;（2）當(dāng) ，即-2 x2時。例1.求函數(shù) 的極值. 31443f xxx= 31443f xxx= 2422fxxxx= 0fx 0,fx =解: 0fx 當(dāng)x變化時， 的變化情況如下表： ,fxf x x fx f x, 2 2,22,28343當(dāng)x=-2時, f(x)的極大值為 28( 2)3f = 423f= 令解得x=2,或x=-2.0022單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減當(dāng)x=2時, f(x)的極小值為22第12頁/共23頁求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的 步驟：(2)求導(dǎo)數(shù)f (x)；(3)求方程f (x）=0的根和導(dǎo)數(shù)不存在的點； (4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格

9、檢查f (x)在方程根及導(dǎo)數(shù)不存在點左右的符號如果左正右負(fù)（+ -）， 那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正（- +）， 那么f(x)在這個根處取得極小值；(1) 確定函數(shù)的定義域；第13頁/共23頁例2 求函數(shù) y=(x2-1)3+1 的極值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y無極值無極值極小值極小值0無極無極值值解：定義域為R， y=6x(x2-1)2。由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1當(dāng)x變化時，y , y的變化情況如下表：因此，當(dāng)x=0時， y極小值=0點評：一點是極值點的充分條件是這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號。第14頁/共23頁例3. 已

10、知函數(shù) 在 處取得極值。（1）求函數(shù) 的解析式 （2）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 322f xaxbxx=2,1xx= = f x f x解：（1） 2322fxaxbx=124203220abab=11,32=ab 3211232=f xxxx 2(2)2=fxxx 0由得fx12 或xx 的增區(qū)間為f x 0由得fx21x 的減區(qū)間為：f x) 1 , 2( , 21, ，0) 1 (, 0)2(= = = = ff f x2,1xx= = 在 取得極值， 第15頁/共23頁 等于如圖所示，則 的大致圖象函數(shù)222123)(.1xxdcxbxxxf=916xyo11x2x2),.(),.(),.(),.()(11)0)()(. 22cbaDcbCcaBbaAxxxacbxaxxxf= 軸上的是一定在處均為極值，則下列中 和在設(shè)A課堂練習(xí)第16頁/共23頁 ，極小值為的極大值為點，則軸切于的圖象與已知函數(shù))()0 , 1 ()(. 323xfxqxpxxxf=2740第17頁/共23頁例4:已知函數(shù) f(x)滿足條件:當(dāng)x2時, ;當(dāng) x2,由條件可知 ,即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 = = xxfxg當(dāng) 時,x20,0)(= = xf故 有不相等的兩實根、,設(shè).0)(= = xf又設(shè)g(x)=-ax2-2bx