圓的解題技巧總結(jié)

1、guoshishuxue 圓的解題技巧總結(jié)一、垂徑定理的應(yīng)用給出的圓形紙片如圖所示，如果在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB，垂足為P，再將紙片沿著直徑CD對(duì)折，我們很容易發(fā)現(xiàn)A、B兩點(diǎn)重合，即有結(jié)論AP=BP，弧AC=弧BC其實(shí)這個(gè)結(jié)論就是“垂徑定理”，準(zhǔn)確地?cái)⑹鰹椋捍怪庇谙业闹睆狡椒诌@條弦，并且平分弦所對(duì)的弧垂徑定理是“圓”這一章最早出現(xiàn)的重要定理，它說(shuō)明的是圓的直徑與弦及弦所對(duì)的弧之間的垂直或平分的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是解決圓內(nèi)線段、弧、角的相等關(guān)系及直線間垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)，也為我們進(jìn)行圓的有關(guān)計(jì)算與作圖提供了方法與依據(jù)例1 (2006·山東青島)某居民小區(qū)一處圓柱形的輸

2、水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面(1)請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面；(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑分析：本題是一道和垂徑定理應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，要確定圓形截面的圓心，只要在五b上取一點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，分別作線段AE，BE的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為圓心要求圓的半徑，只要過(guò)圓心作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形即可解決答案：10 cm例2 （2007·蕪湖）如圖，PQ=3，以PQ為直徑的圓與一個(gè)以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在大圓上

3、，小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q，則AB=？答案：6例3 （2007·天門）如圖，已知O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑OM、OP以及O上，并且POM=45°，則AB的長(zhǎng)為多少？答案：例4 圖為小自行車內(nèi)胎的一部分，如何將它平均分給兩個(gè)小朋發(fā)做玩具？二、與圓有關(guān)的多解題幾何題目一般比較靈活，若畫圖片面，考慮不周，很容易漏解，造成解題錯(cuò)誤，在解有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)因忽視圖形的幾種可能性而漏解1忽視點(diǎn)的可能位置例5 ABC是半徑為2的圓的內(nèi)接三角形，若cm，則A的度數(shù)為_解：60°或120°2忽視點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例6 點(diǎn)P到0的最

4、短距離為2 cm，最長(zhǎng)距離為6 cm，則0的半徑是_解:4 cm或 2 cm.3忽視平行弦與圓心的不同位置關(guān)系例7 已知四邊形ABCD是0的內(nèi)接梯形，ABCD，AB=8 cm，CD=6 cm，0的半徑是5 cm，則梯形的面積是_ 解:49 cm2或 7 cm2.4忽略兩圓相切的不同位置關(guān)系例8 點(diǎn)P在0外，OP=13 cm，PA切0于點(diǎn)A，PA=12 cm，以P為圓心作P與0相切，則P的半徑是_解:8 cm或18 cm例9 若O1與02相交，公共弦長(zhǎng)為24 cm，O1與02的半徑分別為13 cm和15 cm，則圓心距0102的長(zhǎng)為_解:14 cm或4 cm三、巧證切線切線是圓中重要的知識(shí)點(diǎn)，而

5、判斷直線為圓的切線是中考的重要考點(diǎn)判斷直線是否是圓的切線，主要有兩條途徑：1圓心到直線的距離等于半徑當(dāng)題中沒(méi)有明確直線與圓是否相交時(shí)，可先過(guò)圓心作直線的垂線，然后證明圓心到直線的距離等于半徑例10 如圖，P是AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，PDOA于點(diǎn)D，以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑畫P，試說(shuō)明OB是P的切線2證明直線經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端，并且垂直于這條半徑當(dāng)已知直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，連結(jié)交點(diǎn)和圓心（即半徑），然后證明這條半徑與直線垂直即可例11 （2007·瀘州）如圖，已知AB為O的直徑，直線BC與0相切于點(diǎn)B，過(guò)A作ADOC交0于點(diǎn)D，連結(jié)CD.(1)求證：CD是0的切線；(2)若AD=2，直

6、徑AB=6，求線段BC的長(zhǎng) 四、結(jié)論巧用，妙解題例12 已知：如圖，O為RtABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的切點(diǎn)，求證：該結(jié)論可敘述為：“直角三角形的面積等于其內(nèi)切圓與斜邊相切的切點(diǎn)分斜邊所成兩條線段的乘積”運(yùn)用它，可較簡(jiǎn)便地解決一些與直角三角形內(nèi)切圓有關(guān)的問(wèn)題，舉例如下：例13 如圖，0為RtABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)D分斜邊AB為兩段，其中AD10，BD3，求AC和BC的長(zhǎng)AC=12,BC= 5.例14 如圖，ABC中A與B互余，且它們的角平分線相交于點(diǎn)0，又OEAC，OFBC，垂足分別為E、F，AC=10，BC13求AE·BF的值A(chǔ)E·BF65五、點(diǎn)擊

7、圓錐的側(cè)面展開圖圓錐的側(cè)面展開圖是中考中的熱點(diǎn)內(nèi)容：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確圓錐的側(cè)面展開圖中各元素與圓錐各元素之間的關(guān)系：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，而扇形的半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)例15 若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是它的底面半徑長(zhǎng)的3倍，則它的側(cè)面展開圖的圓心角是( ) 答案：CA180° B90° C120° D135°例16 圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓面，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑長(zhǎng)的比是( ) 答案：AA.2:1 B.2:1 C：1 D：1例17 (2007·山西)如圖，小紅要制作一個(gè)高4 cm，底面直徑是6 cm的圓錐形小漏斗，

8、若不計(jì)接縫，不計(jì)損耗，則她所需紙板的面積是( ) 答案：AA15cm2 B6cm2 C12cm2 D30 cm2例18 下圖是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈罩的示意圖，則圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為_cm2（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果用表示）答案：300評(píng)注：圓錐的側(cè)面積，需要熟練掌握其計(jì)算公式，理解圓錐的側(cè)面積等于其剪開后扇形的面積例19 如圖，有一塊四邊形形狀的鐵皮ABCD，BC= CD,AB= 2AD,ABCADB= 90°(1)求C的度數(shù)；(2)以C為圓心，CB為半徑作圓弧BD得一扇形CBD，剪下該扇形并用它圍成一圓錐的側(cè)面，若已知BCa，求該圓錐的底面半徑；(3)在剩下的材料中，

9、能否剪下一塊整圓做該圓錐的底面？并說(shuō)明理由六、例談三角形內(nèi)切圓問(wèn)題三角形的內(nèi)切圓是與三角形都相切的圓，它的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等，它與頂點(diǎn)的連線平分內(nèi)角應(yīng)用內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)的性質(zhì)可以解決很多問(wèn)題，現(xiàn)舉例說(shuō)明，例20 如圖，ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F求證：(1)；(2)例21 如果ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，它的內(nèi)切圓I半徑為r，那么ABC的面積為( ). 答案：BA BC D七、陰影部分面積的求值技巧求陰影部分面積，通常是根據(jù)圖形的特點(diǎn)，將其分解、轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求解但在轉(zhuǎn)化過(guò)程中又有許多方法本文精選幾個(gè)題

10、，介紹幾種常用方法1直接法當(dāng)已知圖形為熟知的基本圖形時(shí)，先求出適合該圖形的面積計(jì)算公式中某些線段、角的大小，然后直接代入公式進(jìn)行計(jì)算例22 如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中點(diǎn)E為圓心的與AD相切于點(diǎn)P，則圖中陰影部分的面積為( ) 答案：DA B C D2和差法當(dāng)圖形比較復(fù)雜時(shí)，我們可以把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為若干個(gè)熟悉的圖形的面積的和或差來(lái)計(jì)算例23 如圖，AB和AC是0的切線，B、C為切點(diǎn)，BAC=60°，0的半徑為1，則陰影部分的面積是( ) 答案：BA B C D3割補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形割補(bǔ)成規(guī)則圖形，然后求面積例24 如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A是正方形EF

11、GH的中心，EF=6 cm，則圖中的陰影部分的面積為_答案：9 cm24等積變形法把所求陰影部分的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡确e變形，即可找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分面積例25 如圖，C、D兩點(diǎn)是半圓周上的三等分點(diǎn)，圓的半徑為R，求陰影部分的面積5平移法把圖形做適當(dāng)?shù)钠揭?，然后再?jì)算面積例26 如圖，CD是半圓0的直徑，半圓0的弦AB與半圓O' 相切，點(diǎn)O' 在CD上，且ABCD，AB4，則陰影部分的面積是（結(jié)果保留）答案：2 6整體法例27 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a，分別以對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是( ) 答案：CA BC D7折疊法例28 （2

12、005·河南實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點(diǎn)0，其直徑CD，EF均和x軸垂直，以0為頂點(diǎn)的兩條拋物線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、E和點(diǎn)D、F，則圖中陰影部分的面積是_答案：8聚零為整法例29 （2005·山西實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖所示，將半徑為2 cm的0分割成十個(gè)區(qū)域，其中弦AB、CD關(guān)于點(diǎn)0對(duì)稱，EF、GH關(guān)于點(diǎn)0對(duì)稱，連結(jié)PM，則圖中陰影部分的面積是_（結(jié)果用表示）答案：2八、圓中輔助線大集合圓是初中重點(diǎn)內(nèi)容，是中考必考內(nèi)容關(guān)于圓的大部分題目，常需作輔助線來(lái)求解現(xiàn)對(duì)圓中輔助線的作法歸納總結(jié)如下：1、有關(guān)弦的問(wèn)題，常做其弦心距，構(gòu)造直角三角形例30 （2006·南京市）如

13、圖，矩形ABCD與圓心在AB上的O交于點(diǎn)G、B、F、E，GB=8 cm，AG1 cm，DE2 cm，則EF_cm答案：62、有關(guān)直徑問(wèn)題，常做直徑所對(duì)的圓周角例31 （2006·濟(jì)寧市）如圖，在ABC中，C=90°，以BC上一點(diǎn)0為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N(1)求證：(2)如果CM是0的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC3時(shí)，求AB的值答案：63、直線與圓相切的問(wèn)題，常連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，得到垂直關(guān)系；或選圓周角，找出等角關(guān)系例32 （2006·黃岡市）如圖，AB、AC分別是0的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦ED分別交0于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)H，交

14、AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C的切線交ED的延長(zhǎng)線于P(1)若PCPF，求證：ABED(2)點(diǎn)D在劣弧的什么位置時(shí)，才能使AD2DE·DF，為什么？4、兩圓相切，常做過(guò)切點(diǎn)的公切線或連心線，充分利用連心線必過(guò)切點(diǎn)等定理例33 （2005·太原市）如圖，02與半圓Ol內(nèi)切于點(diǎn)C，與半圓的直徑AB切于D，若AB=6，02的半徑為1，則ABC的度數(shù)為_答案：75°C、數(shù)學(xué)思想方法與中考能力要求數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的血液和精髓，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力武器，是數(shù)學(xué)的靈魂因此，我們領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是提高數(shù)學(xué)思維水平，提高數(shù)學(xué)能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的有力保證

15、，因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中必須重視數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維相結(jié)合通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性、形象性，使問(wèn)題化難為易，化抽象為具體例1 MN是半圓直徑，點(diǎn)A是的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，P是直徑MN上的一動(dòng)點(diǎn)，0的半徑是1，求AP+BP的最小值答案： 二、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換，使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方程，轉(zhuǎn)化思想，能化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知例2 如圖，以0的直徑BC為一邊作等邊ABC，AB、AC交0于D、

16、E兩點(diǎn)，試說(shuō)明BD=DE=EC在同圓或等圓中，經(jīng)常利用圓心角、圓周角、弧、弦等量的轉(zhuǎn)化，說(shuō)明其他量三、分類思想所謂分類思想，就是當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種可能情況，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論分類必須遵循一定的原則：(1)每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；(2)不重、不漏、最簡(jiǎn).例3 0的直徑AB=2 cm，過(guò)點(diǎn)A的兩條弦AC=cm，AD=cm，求CAD所夾的圓內(nèi)部分的面積答案：cm2或cm2 在圓中有許多分類討論的題目，希望同學(xué)們做題時(shí)，要全面、縝密，杜絕“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象四、方程思想通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、分析、判斷，將問(wèn)題化歸為方程問(wèn)題，利用方程的性質(zhì)和實(shí)際問(wèn)題與方程的互相轉(zhuǎn)化達(dá)到解決問(wèn)題的目的例4 如圖，AB是0的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CDAB，垂足為E，且PC是O的切線，若OE:EA=1:2，PA6，求0的半徑答案：3五、函數(shù)思想例5 （2005·梅州市）如圖，Rt