第一章有理數(shù)及其運算

1、數(shù)軸數(shù)軸相反數(shù)相反數(shù)絕對值絕對值有關概念有關概念大小比較大小比較運算方法運算方法運算律運算律運運 算算有理數(shù)有理數(shù)倒數(shù)倒數(shù)有理數(shù)的兩種分類：有理數(shù)的兩種分類：有理數(shù)有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)0負整數(shù)負整數(shù)正分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)負分數(shù)分數(shù)分數(shù)整數(shù)整數(shù)正整數(shù)正整數(shù)正分數(shù)正分數(shù)有理數(shù)有理數(shù)負整數(shù)負整數(shù)負分數(shù)負分數(shù)正有理數(shù)正有理數(shù)負有理數(shù)負有理數(shù)01.數(shù)數(shù) 軸軸: 規(guī)定了規(guī)定了_、 _和和_的直線叫做數(shù)軸。的直線叫做數(shù)軸。任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。點來表示。 c c點表示；點表示；d d點表示：點表示：e e點表示。點表示。如上圖：如上圖：a a點表示；點表示；

2、b b點表示；點表示；2-203-51.-原點原點正方向正方向單位長度單位長度乘積是乘積是_的兩個數(shù)互為倒數(shù)的兩個數(shù)互為倒數(shù). .0 0沒有倒數(shù)。沒有倒數(shù)。(2)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得(3)兩個互為相反數(shù)的商是兩個互為相反數(shù)的商是2.2.相反數(shù)相反數(shù): :a13.倒數(shù)：倒數(shù)：(1)(1)一個數(shù)一個數(shù) a a 的相反數(shù)是的相反數(shù)是 例如：例如： 3 3 的相反數(shù)是的相反數(shù)是 4 4 的相反數(shù)是的相反數(shù)是 0 0 的相反數(shù)是的相反數(shù)是只有只有_不同的兩個數(shù)。不同的兩個數(shù)。a-3403141-一個數(shù)一個數(shù)a(a0)a(a0)的倒數(shù)是的倒數(shù)是 例如例如: :3 3的倒數(shù)是的倒

3、數(shù)是_,_,4 4的倒數(shù)是的倒數(shù)是_,_,的倒數(shù)是的倒數(shù)是_35530-1符號符號1 從數(shù)軸上看從數(shù)軸上看, ,一個數(shù)的絕對值就是表示一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離。數(shù)這個數(shù)的點離開原點的距離。數(shù)a a的絕對值的絕對值記為記為a a。1)1)正數(shù)的絕對值是它本身；正數(shù)的絕對值是它本身；2)02)0的絕對值是的絕對值是0 0；3)3)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。例如：例如：5033504.4.絕對值絕對值：)0()0()0(0aaaaaa即：即：(1)最小的正整數(shù)最小的正整數(shù)(2)最大的負整數(shù)最大的負整數(shù)(3)絕對值最小的有理數(shù)絕對值最小的有理數(shù)(4)大于

4、大于-3小于小于2的所有整數(shù)的所有整數(shù)(5)絕對值小于絕對值小于3的所有整數(shù)的所有整數(shù)(6)絕對值不大于絕對值不大于3的所有整數(shù)的所有整數(shù)(7)絕對值大于絕對值大于3小于小于5的所有負整數(shù)的所有負整數(shù)(8)在數(shù)軸上，與在數(shù)軸上，與-2的距離為的距離為4的點的點1-10-2、-1、0、1-2、+2、-1、+1、0-3、+3、-2、+2、-1、+1、0-4-6和和+2二二. .有理數(shù)的大小比較：有理數(shù)的大小比較：正數(shù)都大于正數(shù)都大于0,0,負數(shù)都小于負數(shù)都小于0.0.即負即負數(shù)數(shù)0 0正數(shù)正數(shù). .數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)數(shù)軸上兩個點表示的數(shù), ,右邊的右邊的總比左邊的大總比左邊的大. .兩個負數(shù)兩個

5、負數(shù), ,絕對值大的反而小絕對值大的反而小. .例如：比較下列各組數(shù)的大小例如：比較下列各組數(shù)的大小 0 0 2 2 0 0 3 3 2 2 4 42 2 3 3有理數(shù)的大小比較：有理數(shù)的大小比較：例如：例如：10998和1099890819080908110910990809898又解：解：符號符號計算絕對值計算絕對值加法加法同號取同號取異號取異號取減法減法減去一個數(shù)等于減去一個數(shù)等于乘法乘法同號取同號取異號取異號取除法除法同號取同號取異號取異號取除以一個數(shù)等于除以一個數(shù)等于三三.1.有理數(shù)的運算有理數(shù)的運算相同的符號相同的符號絕對值相加絕對值相加絕對值大的符號絕對值大的符號絕對值相減絕對值

6、相減加上這個數(shù)的相反數(shù)加上這個數(shù)的相反數(shù)正正負負絕對值相乘絕對值相乘絕對值相除絕對值相除正正負負乘以這個數(shù)的倒數(shù)乘以這個數(shù)的倒數(shù)2.2.乘方：乘方：求幾個相同因數(shù)的積的運求幾個相同因數(shù)的積的運算算, ,叫做乘方叫做乘方. . 即即1.1.正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù). .2.2.負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù), ,偶數(shù)次冪是正數(shù)偶數(shù)次冪是正數(shù). .3.03.0的任何次冪都是的任何次冪都是0.0.nnaaaana是底數(shù)，是底數(shù)， 是指數(shù)，是冪。是指數(shù)，是冪。an_)(_(=223322005200432(-3)- (-2)- 2-(-2)- 2- 1-(-1) (-2)

7、 -2)4-81-1- 48-8- 4-9你能快速寫出下列各題的結(jié)果嗎？你能快速寫出下列各題的結(jié)果嗎？（1 1） （3 3）+ +（5 5）= =（2 2） （1515）+3 = +3 = （3 3） 0 +0 +（4 4）= =（4 4） （2 2）+ +（+7+7）= =（5 5） 8 8（3 3）= =（6 6） （1212）（）（+4+4）= =（7 7） （3 3）（+5+5）= =（8 8） （ 4 4）（3 3）= =（9 9） （2424）（+2+2）= =（1010） （1212）（ ）= =32812451116151212184.4.運算律：運算律：1 1、加法交換律：、

8、加法交換律：2 2、加法結(jié)合律：、加法結(jié)合律：3 3、乘法交換律：、乘法交換律：4 4、乘法結(jié)合律：、乘法結(jié)合律：5 5、分配律：、分配律：5.有理數(shù)混合運算的運算順序：有理數(shù)混合運算的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減。先算乘方，再算乘除，最后算加減。如果有括號就先算括號里面的。如果有括號就先算括號里面的。注意：注意：同級運算要由左到右進行。同級運算要由左到右進行。abba+=+)cb(ac)ba(+=+baab =)bc(ac )ab(=acab)cb(a+=+1 1、一個數(shù)的絕對值是、一個數(shù)的絕對值是 6 ,6 ,這個數(shù)是。這個數(shù)是。2 2、絕對值小于、絕對值小于3 3的整數(shù)有個。

9、的整數(shù)有個。3 3、的相反數(shù)的倒數(shù)是。、的相反數(shù)的倒數(shù)是。4 4、計算：、計算： 。5 5、如果、如果, ,那么那么 a=a=。6 6、如果規(guī)定上升、如果規(guī)定上升8 8米記作米記作8 8米，那么米，那么7 7米表示米表示 _ _。 7 7、最小的正整數(shù)是、最小的正整數(shù)是_,_,最大的負整數(shù)是最大的負整數(shù)是_,_,絕對值最小的有理數(shù)是絕對值最小的有理數(shù)是_911-=021-22002)()(-16=2a6510904下降下降7 7米米110小試牛刀小試牛刀8.8.在下列各數(shù)中在下列各數(shù)中, ,所屬集合正確的是所屬集合正確的是( ).( ). 2 2，0.23,0.23, , 0, 3, 0, 3

10、,0.1,8,0.1,8,2.52.5（a a）正整數(shù)集合：）正整數(shù)集合：0, 3, 80, 3, 8 （b b）整數(shù)集合：）整數(shù)集合： 2, 0, 3, 82, 0, 3, 8 （c c）負數(shù)集合：）負數(shù)集合： （d d）負分數(shù)集合：）負分數(shù)集合：31b. 2.5,- 0.1, - 31- ,. 31-,9、計算：、計算： 42+（27）+27+58解解: :原式原式=(=(27)+27+(58+42)27)+27+(58+42)=0+100=1001010、計算：、計算：解解: :原式原式= =246141312461-2441+2431=8+64=101111、計算：、計算：（1）32=

11、（2）(3)2=（3）33=（4）(3)3=9927271111、計算：、計算：（5 5）( (3)3)2 2= =（6 6）( (2)2)3 3= =9（7 7）（8 8）( 8)=8243=243169491212、計算：、計算：14+(2)223(2)3解：原式解：原式= =1+41+48 8( (8)8)= 1+48+8= 31313、計算：、計算： 32( 3)2+3( 6) 解：原式解：原式= =9 9 9+ 39+ 3( ( 6)6)= = 1+(1+(18)18)= = 19191.1.計算：計算：1.2+31.2+34 40.8=_.0.8=_. 2.2.某運動員在東西走向的

12、公路上練習跑步某運動員在東西走向的公路上練習跑步, ,跑步情況記錄如下跑步情況記錄如下:(:(向東為正向東為正, ,單位單位: :米米) ) 1000 1000，12001200，11001100，800800，14001400 該運動員共跑的路程為（該運動員共跑的路程為（ ） a.1500a.1500米米 b.5500b.5500米米 c.4500c.4500米米 d.3700d.3700米米3b3 3、五個有理數(shù)的積為負數(shù)，則五個數(shù)、五個有理數(shù)的積為負數(shù)，則五個數(shù)中負數(shù)的個數(shù)是（中負數(shù)的個數(shù)是（ ） a.1 b.3 c.5 d.1 a.1 b.3 c.5 d.1或或3 3或或5 54 4、

13、一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)、一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是（是（ ） a.0 b.1 a.0 b.1 c.c.1 1，1 d.1 d.1 1，1 1，0 0dd5.5.一杯飲料一杯飲料, ,第一次喝了一半第一次喝了一半, ,第二次喝了剩下的一半第二次喝了剩下的一半, ,如如此喝下去此喝下去, ,第五次喝后剩下的第五次喝后剩下的飲料是原來的幾分之幾飲料是原來的幾分之幾? ?321=521)(6.6.五袋白糖以每袋五袋白糖以每袋5050千克為標準，超過的千克為標準，超過的記為正記為正, ,不足的記為負不足的記為負, ,稱量記錄如下：稱量記錄如下： 4.54.5，4 4，2.32.3，3.53

14、.5，2.5 2.5 （1 1）這五袋白糖共超過多少千克？）這五袋白糖共超過多少千克？（2 2）總重量是多少千克？）總重量是多少千克？ 解解:(:(1)1)4.54.54 42.32.33.53.52.5=1.8(2.5=1.8(千克千克) )(2)50(2)505 51.8=251.8 (1.8=251.8 (千克千克) )7.7.在下列說法中在下列說法中, ,正確的個數(shù)是正確的個數(shù)是( ).( ).任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示點來表示任何有理數(shù)的絕對值都不可能是負數(shù)任何有理數(shù)的絕對值都不可能是負數(shù)每個有理數(shù)都有相反數(shù)每個有理數(shù)都有相反數(shù)每個有

15、理數(shù)都有倒數(shù)每個有理數(shù)都有倒數(shù) a a、4 b4 b、3 c3 c、2 d2 d、1 1 b8 8、下列說法正確的是、下列說法正確的是( ).( ). a a、正數(shù)與負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)、正數(shù)與負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) b b、帶負號的數(shù)是負數(shù)、帶負號的數(shù)是負數(shù) c c、正數(shù)一定大于、正數(shù)一定大于0 0 d d、最大的負數(shù)是、最大的負數(shù)是1 1c9 9、在數(shù)軸上、在數(shù)軸上, ,原點兩旁與原點等距離的兩原點兩旁與原點等距離的兩點所表示的數(shù)的關系是點所表示的數(shù)的關系是( ).( ). a a、相等、相等 b b、互為相反數(shù)、互為相反數(shù) c c、互為倒數(shù)、互為倒數(shù) d d、不能確定、不能確定1010、如果一個數(shù)

16、的相反數(shù)比它本身大，、如果一個數(shù)的相反數(shù)比它本身大，那么這個數(shù)為那么這個數(shù)為( ). ( ). a a、正數(shù)、正數(shù) b b、負數(shù)、負數(shù) c c、非負數(shù)、非負數(shù) d d、不等于零的有理數(shù)、不等于零的有理數(shù)bb1111、在有理數(shù)中，倒數(shù)等于本身、在有理數(shù)中，倒數(shù)等于本身的數(shù)有（的數(shù)有（ ）. . a a、1 1個個 b b、2 2個個 c c、3 3個個 d d、無數(shù)個、無數(shù)個b12、計算：、計算：1759589數(shù)數(shù)軸軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做直線叫做數(shù)軸數(shù)軸.任何一個有理數(shù)都任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來可以用數(shù)軸上的一個點來表示表示.數(shù)數(shù)軸上

17、的點和有理數(shù)是軸上的點和有理數(shù)是一一對應一一對應的的. 如上圖：如上圖：a a點表示點表示;b;b點表示點表示;c;c點表示點表示; ;d d點表示點表示;e;e點表示點表示. .2-203-51- .0 0的相反數(shù)是的相反數(shù)是0.0.a例如：例如：3 3的相反數(shù)是的相反數(shù)是3 3 4 4的相反數(shù)是（的相反數(shù)是（4 4）4 4相反數(shù)相反數(shù): :只有符號不同的兩個數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)互為相反數(shù). .a一個數(shù)一個數(shù) 的相反數(shù)是的相反數(shù)是互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.0. 例如：例如：2 2和和2 2 例如：例如：5 5（5 5）0 0. . 的倒數(shù)是的倒數(shù)是. .

18、)a(a0a1倒數(shù)：倒數(shù)：乘積是乘積是1 1的兩個數(shù)互為倒數(shù)的兩個數(shù)互為倒數(shù). .0 0沒有倒數(shù)沒有倒數(shù). .絕對值：絕對值：從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離表示這個數(shù)的點到原點的距離. .數(shù)數(shù)a a的絕的絕對值記為對值記為|a|.|a|.正數(shù)的絕對值是它本身；正數(shù)的絕對值是它本身；0 0的絕對值是的絕對值是0 0；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù). .即：即：例如：例如：5=53=3-)0()0()0(0aaaaaa 正數(shù)都大于正數(shù)都大于0,0,負數(shù)都小于負數(shù)都小于0.0.即負數(shù)即負數(shù)0 0正數(shù)正數(shù). .數(shù)軸上兩個點表示的

19、數(shù)數(shù)軸上兩個點表示的數(shù), ,右邊的總比右邊的總比左邊的大左邊的大. .兩個負數(shù)兩個負數(shù), ,絕對值大的反而小絕對值大的反而小. .603260=6032=326032-.:.,.,:._:-所所以以因因為為解解比比較較大大小小例例有理數(shù)的大小比較：有理數(shù)的大小比較：5.5.乘方乘方: :求幾個相同因數(shù)的積的運算求幾個相同因數(shù)的積的運算, ,叫做乘方叫做乘方. . 即即正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù). .負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù), ,偶數(shù)次冪是正數(shù)偶數(shù)次冪是正數(shù). .0 0的任何次冪都是的任何次冪都是0.0.nnaaaana是底數(shù)，是底數(shù)， 是指數(shù)，是冪。是指數(shù)，是

20、冪。an_)(_(=223322005200432(-3)- (-2)- 2-(-2)- 2- 1-(-1) (-2) -2)4-81-1- 48-8- 4-9一一. .選擇題選擇題: : 1.1.下列說法正確的是下列說法正確的是( )( )a.a.一個數(shù)前面加上一個數(shù)前面加上“”號這個數(shù)就是負號這個數(shù)就是負數(shù)數(shù); b.; b.非負數(shù)就是正數(shù)非負數(shù)就是正數(shù); c.; c.正數(shù)正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù); d.0; d.0既不是正數(shù)也既不是正數(shù)也不是負數(shù)；不是負數(shù)；a.1a.1個個 b.2b.2個個 c.3c.3個個 d.4d.4個個). ( , 511+(- , 32- , 1+

21、- , 7- , (-2)-2負負數(shù)數(shù)有有中中在在).檢檢 測測 題題dc3.3.一個數(shù)的倒數(shù)是它本身的數(shù)是一個數(shù)的倒數(shù)是它本身的數(shù)是( ).( ). a.1 b.-1 c. a.1 b.-1 c.1 d.01 d.04 4 下列計算正確的是下列計算正確的是( ).( ). a.(-4) a.(-4)2 2=-16 b.(-3)=-16 b.(-3)4 4=-3=-34 4 34-=)31d.(- 1251=51-43-).(c5.(-0.2)5.(-0.2)20022002 5 520022002+(-1)+(-1)20022002+(-1)+(-1)20012001的的值是值是( ).(

22、). a.3 b.-2 c.-1 d.1 a.3 b.-2 c.-1 d.1ccd6.6.如果兩個數(shù)的絕對值相等如果兩個數(shù)的絕對值相等, ,那么這兩個數(shù)那么這兩個數(shù)是是( ).( ).a.a.互為相反數(shù)互為相反數(shù); b.; b.相等相等; ; c.c.積為積為0; d.0; d.互為相反數(shù)或相等互為相反數(shù)或相等. .7.7.下列說法正確的是下列說法正確的是( ).( ). a. a.若兩個數(shù)互為相反數(shù)若兩個數(shù)互為相反數(shù), ,則這兩個數(shù)一定則這兩個數(shù)一定是一個正數(shù)是一個正數(shù), ,一個負數(shù)一個負數(shù); ; b. b.一個數(shù)的絕對值一定不小于這個數(shù)一個數(shù)的絕對值一定不小于這個數(shù); ; c. c.如果兩

23、個數(shù)互為相反數(shù)如果兩個數(shù)互為相反數(shù), ,則它們的商則它們的商 為為-1;-1; d. d.一個正數(shù)一定大于它的倒數(shù)一個正數(shù)一定大于它的倒數(shù). .db8.8.若若a0,b0,a0,b0,則下列各式正確的是則下列各式正確的是( ).( ).a.a-b0; a.a-b0; c.a-b=0; d.(-a)+(-b)0.c.a-b=0; d.(-a)+(-b)0.9.9.若若0a1,0a1,則則a,a,). (12從從小小到到大大排排列列正正確確的的是是a,aa.aa.a2 2aaa1b.a b.a a1 a a2 2d.a ad.a a2 2 a110.10.在數(shù)軸上距在數(shù)軸上距2.52.5有有3.5

24、3.5個單位長度的點所個單位長度的點所表示的數(shù)是表示的數(shù)是( ).( ). a.6 b.-6 c.-1 d.-1 a.6 b.-6 c.-1 d.-1或或6 6a1c.c. a a a a2 2dad11.11.學校為了改善辦學條件學校為了改善辦學條件, ,從銀行貸款從銀行貸款100100萬元萬元, ,蓋起了實驗大樓蓋起了實驗大樓, ,貸款年息為貸款年息為12%,12%,房房屋折舊每年屋折舊每年2%,2%,學校約學校約14001400名學生名學生, ,僅貸款僅貸款付息和房屋折舊兩項付息和房屋折舊兩項, ,每個學生每年承受的每個學生每年承受的實驗費用為實驗費用為( ). ( ). a.a.約約104104元元 b.1000b.1000元元 c.100c.100元元 d.d.約約21.421.4元元 c12.12.當當n n為正整數(shù)時為正整數(shù)時,(-1) -(-1) ,(-1) -(-1) 的值的值是是( ).( ).a.0 b.2 c.-2 d.2a.0 b.2 c.-2 d.2或或-2-22n+12nc二填空題二填空題: :13.13.對某種盒裝牛奶進行質(zhì)量檢測對某種盒裝牛奶進行質(zhì)量檢測, ,一盒裝一盒裝牛奶超出標準質(zhì)量牛奶超出標準質(zhì)量2 2克克, ,記作記作+2+2克