奧奧數(shù)提高班第一講有理數(shù)的巧算含答案

1、第一講 有理數(shù)的巧算有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎(chǔ)它要求同學們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性 1括號的使用 在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡單例1 計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445例2 在數(shù)1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可

2、能的最小非負數(shù)是多少？2用字母表示數(shù)我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=_于是我們得到了一個重要的計算公式_這個公式叫_公式，以后應(yīng)用這個公式計算時，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計算例3 計算 3001×2999的值 練習1 計算 103×97×10 009的值 練習2 計算：練習3 計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)練習4 計算：3觀察算式找規(guī)律例4 某班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)?/p>

3、下，請計算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88例5 計算1+3+5+7+1997+1999的值 例6 計算 1+5+52+53+599+5100的值例7 計算：練習一1計算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

4、(6)1+4+7+244； 2某小組20名同學的數(shù)學測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均?1，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第一講 有理數(shù)的巧算答案例1 計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445分析 直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

5、=211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例2 在數(shù)1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析與解 因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后

6、，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負數(shù)是1說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化例3 計算 3001×2999的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例4 某班20名

7、學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦?，請計算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=8

8、9.95例5 計算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母s表示所求算式，即s=1+3+5+1997+1999 再將s各項倒過來寫為s=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2s=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個2000)=2000×500從而有 s=500 000例6 計算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算 解 設(shè)s=1+5+52+599+5100， 所以5s=5+52+53+5100+5101 得4s=5101-1，例7