非線性科學(xué)介紹)

1、【內(nèi)容提要】非線性科學(xué)是研究非線性現(xiàn)象共性的一門新興的交叉學(xué)科。其主要研究內(nèi)容包括混沌、分形和孤立子。本文主要介紹了非線性科學(xué)的起源、主要內(nèi)容、主要研究方法及其工程應(yīng)用，并對(duì)其未來發(fā)展進(jìn)行了一些思考。【關(guān) 鍵 詞】非線性科學(xué)/研究方法/工程應(yīng)用非線性科學(xué)是研究非線性現(xiàn)象共性的一門新興的交叉學(xué)科，產(chǎn)生于20世紀(jì)六七十年代。其標(biāo)志是：1963年美國氣象學(xué)家洛倫茲發(fā)表的確定論的非周期流論文，揭示確定性非線性方程存在混沌(Chaos)；1965年數(shù)學(xué)家查布斯基和克魯斯卡爾通過計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)孤立子(Soliton)；1975年美籍?dāng)?shù)學(xué)家芒德勃羅發(fā)表分形：形態(tài)、機(jī)遇和維數(shù)一書，創(chuàng)立了分形(Fractal)

2、理論。混沌、孤立子、分形代表了非線性現(xiàn)象的三大普適類，構(gòu)成非線性科學(xué)的三大理論。1非線性科學(xué)的發(fā)展標(biāo)志著人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)由線性現(xiàn)象發(fā)展到非線性現(xiàn)象。非線性科學(xué)中的混沌理論被認(rèn)為是20世紀(jì)繼相對(duì)論、量子力學(xué)之后的又一次革命；分形幾何是繼微積分以來的又一次革命；孤立子理論則預(yù)示著物理學(xué)與數(shù)學(xué)的統(tǒng)一。一、線性科學(xué)與非線性科學(xué)所謂線性，是指量與量之間的關(guān)系用直角坐標(biāo)系形象地表示出來時(shí)是一條直線。在數(shù)學(xué)上，主要通過對(duì)算子的描述來討論系統(tǒng)的線性與否。如果算子Y滿足：其中，為常數(shù)，u、v為任意函數(shù)，則稱算子為線性算子，否則稱為非線性算子。2線性系統(tǒng)中部分之和等于整體，描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的

3、不同解加起來仍然是方程的解。線性理論是研究線性系統(tǒng)的理論，主要包括：牛頓經(jīng)典力學(xué)、愛因斯坦的相對(duì)論和量子力學(xué)理論等，它有成熟的數(shù)學(xué)工具，如線性方程、曲線，以及微積分等數(shù)學(xué)方法。3雖然非線性問題自古以來就有，但人們開始只能解決線性問題，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在解決非線性問題方面才逐步取得進(jìn)展。當(dāng)代所有的科學(xué)前沿問題幾乎都是非線性問題。從物理現(xiàn)象來看，線性現(xiàn)象是在空間和時(shí)間上光滑和規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，非線性現(xiàn)象則是從規(guī)則運(yùn)動(dòng)向不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的過渡和突變。非線性科學(xué)貫穿了自然科學(xué)、工程科學(xué)、數(shù)學(xué)和社會(huì)科學(xué)的幾乎每門學(xué)科。4二、非線性科學(xué)的起源5現(xiàn)代科學(xué)研究在15世紀(jì)初處于萌芽狀態(tài)時(shí)，由于生產(chǎn)力水平限制，面臨的實(shí)際

4、問題大多是能量密度較低、相對(duì)穩(wěn)定、變化不快、干擾不大的問題，象動(dòng)能、運(yùn)動(dòng)速度、力的大小等都正好屬于這種領(lǐng)域，在初步近似下都可以用線性模型處理。那時(shí)數(shù)學(xué)家們也只能解決線性問題，解決非線性問題的數(shù)學(xué)方法還很不成熟，尤其是非線性的微分方程只有很有限的一些方程可以求解。直到19世紀(jì)末，大量的經(jīng)典物理理論都是線性的，線性的數(shù)學(xué)方法也得到了充分發(fā)展。20世紀(jì)以后，隨著對(duì)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)觀測(cè)的深入，特別是在量子力學(xué)的研究中，發(fā)現(xiàn)很多關(guān)系都是非線性的；同時(shí)，物理和化學(xué)中涌現(xiàn)了很多非線性的問題。隨著原子能和航空航天技術(shù)的發(fā)展，把人們帶進(jìn)了能量密度高、變化較快和外部干擾較大、控制精度要求高的研究領(lǐng)域，很多情況下甚至需要解

5、決突變問題。所有這些新興研究領(lǐng)域以及新材料、新技術(shù)、新工藝的發(fā)展，都使得建立非線性模型成為必要。三、非線性科學(xué)的主要內(nèi)容及應(yīng)用在目前對(duì)非線性問題還沒有完全獲得系統(tǒng)的處理方法的情況下，不同的研究領(lǐng)域里分別出現(xiàn)了自己獨(dú)特的研究方法，如混沌運(yùn)動(dòng)；分形；奇異攝動(dòng)理論；分岔、突變理論；孤立子理論等。但一般認(rèn)為非線性科學(xué)的三大普適類包括混沌、分形以及孤立子。（一）混沌1.混沌理論的發(fā)展歷程619世紀(jì)末20世紀(jì)初，龐加萊在研究三體問題時(shí)遇到了混沌問題。發(fā)現(xiàn)如太陽、月亮和地球三者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與單體問題、二體問題不同，它是無法求出精確解的，多年來這成了牛頓力學(xué)中的遺留難題。1903年龐加萊在科學(xué)與方法一書中提

6、出了龐加萊猜想，把動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和拓?fù)鋵W(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，并指出三體問題中，在一定范圍內(nèi)，其解是隨機(jī)的。實(shí)際上這是一種保守系統(tǒng)中的混沌，從而使其成為世界上最先了解混沌可能存在的第一人。1954年，前蘇聯(lián)概率論大師柯爾莫哥洛夫發(fā)表哈密頓(Hamilton)函數(shù)中微小變化時(shí)條件周期運(yùn)動(dòng)的保持一文，這篇文章表述了在混沌未發(fā)生之初，在保守系統(tǒng)中如何出現(xiàn)混沌，是KAM定理的雛形。1963年該文所述內(nèi)容獲得嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，為確認(rèn)不僅耗散系統(tǒng)有混沌，而且保守系統(tǒng)也有混沌的理論鋪平了道路。1963年，洛倫茲在確定性的非周期流一文中指出：在三階非線性自治系統(tǒng)中可能會(huì)出現(xiàn)混亂解。這是在耗散系統(tǒng)中，一個(gè)確定的方程卻能導(dǎo)出

7、混沌解的第一個(gè)實(shí)例。2000年自然雜志發(fā)表論文The Lorenz Attractor Exists，首次從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了Lorenz吸引子在自然界中的存在。KAM定理討論的是保守系統(tǒng)，而洛倫茲方程討論的是耗散系統(tǒng)，他們分別從不同的角度說明，兩種不同類型的動(dòng)力系統(tǒng)，在長期的演化過程中是怎樣出現(xiàn)混沌態(tài)的。1964年，法國天文學(xué)家伊儂(Henon)從研究球狀星團(tuán)以及洛倫茲吸引子中得到啟發(fā)，給出了henon映射，并用它建立了“熱引力崩坍”理論，揭示了幾個(gè)世紀(jì)以來一直遺留的太陽系的穩(wěn)定性問題。1971年，法國數(shù)學(xué)物理學(xué)家D.Ruelle和荷蘭學(xué)者F.Takens聯(lián)名發(fā)表了著名論文論湍流的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)

8、力系統(tǒng)中存在著特別復(fù)雜的新型吸引子，并描繪了它的幾何特征，證明了與這種吸引子有關(guān)的運(yùn)動(dòng)即為混沌，并命名這種新型的吸引子為奇怪吸引子。2.混沌運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)7混沌一詞是由美籍華人學(xué)者李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克于1975年首先提出。當(dāng)年他們?cè)谥芷?意味著混沌的文章中給出了混沌的一種數(shù)學(xué)定義，由于該定義存在缺陷，1989年，Devaney R.L.從混沌所具有的特性出發(fā)，又給出了混沌的一種描述性的定義。然而迄今為止，混沌還沒有一個(gè)公認(rèn)的數(shù)學(xué)定義。一般認(rèn)為，混沌是確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似無規(guī)則的有序運(yùn)動(dòng)，混沌運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可以概括為：(1)內(nèi)在隨機(jī)性。描述混沌系統(tǒng)的演化方程確定，但演化行為不確定；系統(tǒng)短期行為確定，

9、但長期行為不確定。系統(tǒng)的這種行為既不同于傳統(tǒng)的確定性現(xiàn)象也不同于傳統(tǒng)的隨機(jī)性現(xiàn)象，而是系統(tǒng)確定性與隨機(jī)性的有機(jī)結(jié)合。研究表明，產(chǎn)生混沌的本質(zhì)原因在于確定性系統(tǒng)的非線性。(2)對(duì)初值的敏感依賴性?；煦邕\(yùn)動(dòng)的振蕩解不是漸近穩(wěn)定的，它的解在一定范圍內(nèi)表現(xiàn)出整體的穩(wěn)定性，但是系統(tǒng)的非線性使進(jìn)入吸引子內(nèi)部的軌線不斷彼此互相排斥，反復(fù)分離和折疊，使得系統(tǒng)的局部不穩(wěn)定。這種局部不穩(wěn)定就是對(duì)初始條件的敏感依賴性，即使系統(tǒng)初始值出現(xiàn)小的偏差，也會(huì)引起軌道按指數(shù)分離，這就是所謂的“蝴蝶效應(yīng)”。系統(tǒng)對(duì)初值敏感性依賴的根源仍然在于系統(tǒng)內(nèi)的非線性相互作用，對(duì)于一維迭代系統(tǒng)就表現(xiàn)為非線性迭代方程。(3)奇異性。從整體上看

10、系統(tǒng)穩(wěn)定；從局部上看系統(tǒng)不穩(wěn)定。其解軌道在有限范圍內(nèi)作無數(shù)次的分離、折疊和靠攏，形成一種稱為奇怪吸引子或混沌吸引子的結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)吸引子內(nèi)部具有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)，奇怪吸引子的維數(shù)一般為非整數(shù)。3.混沌的主要應(yīng)用領(lǐng)域由于混沌運(yùn)動(dòng)具有初值敏感性和長時(shí)間發(fā)展趨勢(shì)的不可預(yù)見性，混沌控制和混沌時(shí)間序列的短期預(yù)測(cè)就成為混沌應(yīng)用的主要內(nèi)容?；煦缈刂剖侵富煦绲目刂婆c誘導(dǎo)。這是非線性動(dòng)力系統(tǒng)與非線性控制的新理論與新方法，是智能控制的重要組成部分。1989年胡柏勒(A.Hubler)發(fā)表了控制混沌的第一篇文章。1990年奧特(E.Ott)、格銳柏基(C.Crebogi)和約克(J.A.Yorke)提出的控制混沌的

11、思想（OGY控制）產(chǎn)生了廣泛響應(yīng)。同年，佩考拉(L.M.Pecora)和卡羅爾(T.L.Carroll)提出混沌同步的思想，接著迪托(W.L.Ditto)和羅意(R.Roy)等完成了控制混沌的實(shí)驗(yàn)。以后十年，混沌控制與混沌同步的研究得到了蓬勃的發(fā)展，并成了混沌研究領(lǐng)域的重要熱點(diǎn)。其間，人們提出了各種控制混沌的方法，并在光學(xué)、等離子體、化學(xué)反應(yīng)、流體、電子回路、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物系統(tǒng)等大量實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用中得到驗(yàn)證。目前，混沌控制的目標(biāo)是人為地影響混沌系統(tǒng)，使之演化到需要的狀態(tài)。這包括：(1)混沌有害時(shí)，成功地抑制混沌；(2)混沌有用時(shí)，產(chǎn)生所需要的具有某些特定性質(zhì)的混沌運(yùn)動(dòng)，甚至產(chǎn)生出特定的混沌軌道

12、；(3)在系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，通過控制，產(chǎn)生出人們需要的各種輸出。總之，盡可能地利用混沌運(yùn)動(dòng)自身的各種特性來達(dá)到控制目的，是所有混沌控制的共同特點(diǎn)。8由于非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象是由某些關(guān)鍵參數(shù)的變化引起的，因此，關(guān)于控制或誘導(dǎo)混沌的一種十分自然的想法是直接控制或調(diào)整這些參數(shù)?；赩on Neumann的思想，Pettini在1988年用計(jì)算機(jī)模擬，通過觀察最大Lyapunov指數(shù)的方式觀察到：適當(dāng)?shù)膮?shù)擾動(dòng)可以達(dá)到消除Duffing系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的目的。之后，Ott,Grebogi和Yorke提出了一種比較系統(tǒng)和嚴(yán)密的參數(shù)擾動(dòng)方法，亦稱OGY方法。這種方法通過逐次局部線性化，配合小參數(shù)調(diào)整的手段來

13、實(shí)現(xiàn)控制混沌的目的。目前關(guān)于混沌控制（或誘導(dǎo)）的方法主要有：參數(shù)擾動(dòng)法、納入軌道和強(qiáng)迫遷徙法、工程反饋控制法及混沌同調(diào)法。9以上討論的是關(guān)于時(shí)間混沌的控制，在時(shí)空混沌控制方面，主要有變量反饋法、定點(diǎn)注入法、局部模式反饋法等。另一方面，從時(shí)間序列的角度研究混沌，始于Packard等在1980年提出的重構(gòu)相空間理論。該理論揭示了決定性系統(tǒng)中任一變量的長期時(shí)間演化序列，均包含了該系統(tǒng)所有變量長期演化的信息。因此，可以通過系統(tǒng)中任一單變量時(shí)間序列來研究系統(tǒng)的混沌行為。而吸引子的不變量關(guān)聯(lián)維（系統(tǒng)復(fù)雜度的估計(jì)），Kolmogorov熵（動(dòng)力系統(tǒng)的混沌水平）、Lyapunov指數(shù)（系統(tǒng)的特征指數(shù)）等在表征

14、系統(tǒng)的混沌性質(zhì)方面一直起著重要作用?；煦绗F(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)開創(chuàng)了科學(xué)模型化的一個(gè)新典范：一方面，混沌現(xiàn)象所固有的確定性表明許多隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)際上是可以預(yù)測(cè)的；另一方面，混沌現(xiàn)象所固有的對(duì)初值的敏感依賴性又意味著預(yù)測(cè)能力受到根本性限制。實(shí)際上，混沌現(xiàn)象是短期可以預(yù)測(cè)，而長期不可預(yù)測(cè)的?；煦鐣r(shí)間序列的預(yù)測(cè)方法包括：全域法、局域法、基于Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)法和基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)法等。混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)具有非常廣闊的應(yīng)用前景，如電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測(cè)、股市行情預(yù)測(cè)、轉(zhuǎn)子剩余壽命的預(yù)測(cè)、天氣預(yù)報(bào)等。10（二）分形1.分形理論的發(fā)展歷程11分形(Fractal)理論是由美籍法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅(B.B.Mandel

15、rot)創(chuàng)建的。1967年他發(fā)表在美國科學(xué)雜志上的論文英國的海岸線有多長中，首次闡明了分形的思想。1973年在法蘭西學(xué)院講學(xué)時(shí)他又正式提出了分形幾何的概念。1975年他的法文專著分形：形狀、機(jī)遇和維數(shù)的出版，是分形學(xué)理論誕生的標(biāo)志。在其著作中總結(jié)了一系列在19世紀(jì)后期與20世紀(jì)初曾困惑著大量數(shù)學(xué)家的病態(tài)曲線或幾何體，如1883年由德國數(shù)學(xué)家康托爾所構(gòu)造的康托爾三分集、由法國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在1872年7月18日向柏林科學(xué)院報(bào)告中提出的在分析數(shù)學(xué)中的一條處處連續(xù)又處處不可微的Weierstrass函數(shù)。2.分形集的特點(diǎn)12芒德勃羅在1982年曾給分形下過定義：若一個(gè)集合的Hausdorff維大

16、于其拓?fù)渚S，則該集合屬分形。1986年，他認(rèn)為上述定義不完善，又重新定義為：分形是一種由許多個(gè)與整體有某種相似性的局部所構(gòu)成的形體。其后不久，他于1987年又聲稱，至今尚未找到一個(gè)簡(jiǎn)潔、完整地刻劃分形的定義。盡管如此，分形的基本特征是明確的，即：(1)該集合整體與局部間有某種自相似性；(2)該集合有無窮細(xì)微的結(jié)構(gòu)（無限可分）；(3)該集合具有分?jǐn)?shù)維，即分形集合的維數(shù)一般不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)。3.分形的主要應(yīng)用領(lǐng)域13分形理論誕生之后，發(fā)展甚為迅速，并在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中獲得了廣泛應(yīng)用。如今，分形和分維的概念早已從最初所指的形態(tài)上的幾何自相似性這種狹義分形，擴(kuò)展到了在結(jié)構(gòu)、功

17、能、信息、時(shí)間上等具有自相似性質(zhì)的廣義分形。出現(xiàn)了諸如分形物理學(xué)、分形生物學(xué)、分形結(jié)構(gòu)地質(zhì)學(xué)、分形地震學(xué)、分形經(jīng)濟(jì)學(xué)、分形人口學(xué)等，發(fā)現(xiàn)了材料學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)中的分形以及思維分形、藝術(shù)分形、情報(bào)分形等等。首先，分形理論為自然界中復(fù)雜的形狀、結(jié)構(gòu)、功能等的定量刻畫和描述提供了新的方法。因而自從其誕生，就迅速地在地質(zhì)、地震、石油、材料斷裂等應(yīng)用科學(xué)中獲得了廣泛的應(yīng)用。其次，分形理論為混沌理論的研究提供了重要的數(shù)學(xué)工具。分形幾何一經(jīng)產(chǎn)生，立即就成為研究混沌學(xué)的基本工具之一，至其常被稱為混沌幾何學(xué)。分形集就是動(dòng)力系統(tǒng)中那些具有不穩(wěn)定軌跡的初始點(diǎn)的集合，即混沌集，混沌吸引子就是分形集。再次，分形理論及其

18、方法為研究自組織現(xiàn)象提供了一種重要的思路和方法。許多事實(shí)都表明分形與自組織現(xiàn)象確有內(nèi)在聯(lián)系，可以說，分形代表一種自組織機(jī)制。像人體這種復(fù)雜巨系統(tǒng)，數(shù)量多得驚人的細(xì)胞能夠組成一種有機(jī)整體并協(xié)同地自組織地工作，這與人體內(nèi)許多器官和組織等都具有分形結(jié)構(gòu)是分不開的。最后，分形理論及其方法為人們對(duì)思維科學(xué)的研究，尤其是對(duì)大腦奧秘的探索提供了新的視角、思路和方法。（三）孤立子1.孤立子理論的發(fā)展歷程14孤立子的發(fā)現(xiàn)可追溯到1834年，英國科學(xué)家、造船工程師Scott Russell在運(yùn)河上觀察到光滑突出水面且以恒定速度傳播的巨大孤立波峰，這一現(xiàn)象的物理本質(zhì)當(dāng)時(shí)引起了廣泛的爭(zhēng)執(zhí)。1895年，兩位年輕的荷蘭科

19、學(xué)家Korteweg和de Vries建立了單向運(yùn)動(dòng)淺水波的數(shù)學(xué)模型，即著名的KDV方程，并得到了與Russell的觀察一致的形狀不變的孤立波解。然而這樣的孤立波是否穩(wěn)定，兩個(gè)這樣的孤立波碰撞后是否變形，這一直是科學(xué)家們感興趣而又無法證實(shí)的問題。直到1965年美國科學(xué)家Zabusky等人用數(shù)值模擬法詳細(xì)地考察了等離子體中孤立波相互間的非線性碰撞過程。計(jì)算表明，兩個(gè)孤立波碰撞后仍以它們碰撞前的同一速度和形狀離開，孤立波這種經(jīng)碰撞不改變波形和速度的非常穩(wěn)定的奇特性質(zhì)，正像物理上的粒子一樣。于是孤立子這個(gè)詞被用來生動(dòng)地表示孤立波的粒子行為。從此，孤立子作為應(yīng)用科學(xué)中的新概念誕生了，并在廣泛的范圍內(nèi)被

20、引用。2.孤立子的特點(diǎn)15通常在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，將孤立子理解為非線性演化方程局部化的行波解，經(jīng)過互相碰撞后，不改變波形和速度（或許相位發(fā)生變化）。在物理領(lǐng)域，孤立子被理解為經(jīng)相互作用后，波形和速度只有微弱改變的孤立波，或者被理解為非線性演化方程能量有限的解，就是能量集中在空間有限區(qū)域，不隨時(shí)間的增加而擴(kuò)散到無限區(qū)域中去。以非線性薛定愕方程的包絡(luò)形孤立子為例，它明顯地顯示出具有局域性、穩(wěn)定性、波粒二象性三大特征。其局域性指孤立子的能量集中在空間有限區(qū)域。不會(huì)隨時(shí)間的增加而擴(kuò)散到無限區(qū)域中去。它的穩(wěn)定性和波粒二象性體現(xiàn)在孤立子具有明顯的波動(dòng)性，即它是一個(gè)孤立的行波，但同時(shí)它還具有另一特點(diǎn)：當(dāng)兩個(gè)孤立子

21、相碰時(shí)，它們以經(jīng)典粒子一樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，碰撞后，各自保持自己原有的形狀和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（最多只有一個(gè)相移），表明其仍十分穩(wěn)定，其粒子性在實(shí)際相互作用中明顯地表現(xiàn)出來。3.孤立子的主要應(yīng)用領(lǐng)域16由于孤立子所具有的特性，孤立子理論在等離子體物理、凝聚態(tài)、生物學(xué)、非線性光學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。Kingnep等人認(rèn)為強(qiáng)烈的等離子體擾動(dòng)可用具有相互作用的孤立子氣體來描述。Ikeji等人的實(shí)驗(yàn)證實(shí)，在弱色散等離子體中有離子聲孤立子存在，它們滿足KDV方程。近年來，理論研究和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明神經(jīng)沖動(dòng)傳遞的確表現(xiàn)為一種孤立子。從分子水平上，運(yùn)用傳遞生物能量和信息的孤立子模型，可以較完整地說明橫紋肌的收縮問題。由

22、蛋白質(zhì)被污染后的孤立子變化（傳遞生物能量與信息的孤立子被反射、散射、發(fā)射能量，衰減、陷落消失等）可以說明生命體發(fā)病的微觀機(jī)理。顯然，這些研究工作對(duì)于發(fā)展和揭示生物奧秘都有至關(guān)重要的意義。利用孤立子具有穩(wěn)定性或保真性，1973年，貝爾實(shí)驗(yàn)室的Hasegawa提出了有關(guān)光纖中光孤立子傳輸?shù)母拍睢?984年Mollenauer等人研制成功光孤立子激光器，并運(yùn)用于光纖通訊上。其后不久，實(shí)現(xiàn)了以每秒10千兆位的傳遞速度，進(jìn)行100萬公里超高速光通訊技術(shù)，測(cè)得100萬公里后的波形毫無變化，從而使得光纖通訊事業(yè)得到迅速的發(fā)展。磁單極子是1931年由Dirac首先提出的物理概念，1974年荷蘭的G.thoof

23、發(fā)現(xiàn)磁單極子也是非線性方程的一種解，是一種孤立子。隨著對(duì)孤立子深入的研究，磁單極子這一懸而未決的難題將有望獲得解決。四、非線性科學(xué)主要的研究方法歷史上，為解決各門科學(xué)中的線性問題，已經(jīng)形成了一整套方法。例如，對(duì)于線性微分方程，可以通過求基本解、作傅里葉變換等方法來處理。對(duì)于線性的函數(shù)空間和算子，已研究得比較透徹，有了許多應(yīng)用。對(duì)于非線性問題，也已積累了許多經(jīng)驗(yàn)，有不少有效的方法，但同時(shí)又面臨許多難以解決的問題。用數(shù)學(xué)來處理非線性問題，往往需要解各種形式的非線性方程，通常有以下幾類算法：(1)求準(zhǔn)確解，即試圖運(yùn)用各種技巧（如利用對(duì)稱性或一些巧妙的變換）來求得問題的準(zhǔn)確解，例如，對(duì)二維的理想流體的

24、定常運(yùn)動(dòng)，做出無旋的假定后，可以通過引進(jìn)勢(shì)函數(shù)，再利用復(fù)變函數(shù)就可求出大量的準(zhǔn)確解。但實(shí)際上只有極少數(shù)的非線性問題能夠求得準(zhǔn)確解。(2)定性分析，即對(duì)解的存在性和惟一性問題進(jìn)行討論。對(duì)某些復(fù)雜問題，如空氣動(dòng)力學(xué)中的粘性流問題，有關(guān)的偏微分方程除特殊情況外很難求出準(zhǔn)確解，但可對(duì)解作定性分析。如果一個(gè)非線性問題的解不存在或不惟一，則要對(duì)問題的模型作重新考察。數(shù)學(xué)中對(duì)解的存在性，通常有構(gòu)造性和非構(gòu)造性兩種證明方法。(3)數(shù)值解法。由于求非線性問題的準(zhǔn)確解是很困難的，因此采用數(shù)值方法求解是不可避免的。事實(shí)上，大量的非線性問題已經(jīng)能夠用數(shù)值計(jì)算來解決，特別是當(dāng)要解決的問題需要數(shù)字結(jié)果時(shí)。但在數(shù)值計(jì)算中常

25、會(huì)遇到算法的穩(wěn)定性問題，例如當(dāng)差分方程的步長取得不恰當(dāng)，會(huì)產(chǎn)生振蕩解；另外，計(jì)算中也有許多技巧，如遇到病態(tài)方程等等。例如，對(duì)于Lorenz混沌吸引子，通?？梢圆捎盟碾A龍格庫塔算法進(jìn)行迭代計(jì)算進(jìn)行求解。(4)漸近展開法。采取多次線性逼近方法，通過解若干次線性問題得出非線性問題的近似解。在這類問題中，往往含有一個(gè)小參數(shù)，對(duì)方程作關(guān)于小參數(shù)展開，得到無限個(gè)線性問題，逐次求出若干個(gè)線性問題，即可求得很好的近似解。17此外，近年來，非參數(shù)建模理論得到了飛快的發(fā)展。與傳統(tǒng)建模理論相比，非參數(shù)建模不要求建立精確的數(shù)學(xué)模型，例如近年來發(fā)展迅速的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量簡(jiǎn)單的處理單元神經(jīng)元按照某種方式連接而成的自適應(yīng)的非線性系統(tǒng)。它沒有運(yùn)算器、存儲(chǔ)器、控制器，其信息是存儲(chǔ)在神經(jīng)元之間的聯(lián)結(jié)上的。鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的并行處理及強(qiáng)大的非線性映射能力，對(duì)于未知的動(dòng)力系統(tǒng)，可以通過它來學(xué)習(xí)混沌時(shí)間序列，然后進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。由于混沌時(shí)間序列在內(nèi)部有著確定的規(guī)律性，表現(xiàn)為時(shí)間序列數(shù)據(jù)在時(shí)間延遲狀態(tài)空間中的相關(guān)性，這種特性使得系統(tǒng)似乎有著某種記憶能力，同時(shí)又難于用通常的解析方法把這種規(guī)律表達(dá)出來。而這種信息處理方式正好是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所具備的。Owens和Filk最先應(yīng)用感知器模型來考察1990年以前5年的全球總