北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)復(fù)習分解

1、數(shù)學(xué)九年級上冊知識點總結(jié)第一章特殊的平行四邊形復(fù)習知識點歸納矩形菱形正方形性質(zhì)邊對邊平行且相等對邊平行，四邊相等對邊平行，四邊相等角四個角都是直角對角相等四個角都是直角對角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條 對角線平分一組對角互相垂直平分且相等，每條對角線平 分一組對角判定有三個角是直角；是平行四邊形且 有一個角是直角；是平行四邊形且 兩條對角線相等. 四邊相等的四邊形； 是平行四邊杉且有一 組鄰邊相等； 是平行四邊形且兩條 對角線互相垂直。是矩形，且有一組鄰邊相等；是菱形，且有一個角是直角。對稱性既是軸對稱圖形，義是中心對稱圖形一.矩形I例1：若矩形的對角線長為8,兩條對角線的一個交角為6

2、0°,則該矩形的面積為例2：菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相平分；B.四條邊都相等；C.對角相等：D.鄰角互補二.菱形例1已知：如圖，四邊形是菱形，F(xiàn)是上一點，交于E.求證：ZZ.7 / 16例2已知：如圖口的對角線的垂直平分線與邊、分別交于E、F.求證：四邊形是菱形.例3、如圖，在中,口 0是對角線的中點，過點0作的垂線與邊、分別交于E、F,求證：四邊形是菱形.例4、已知如圖，菱形中，E是上一點，、交于M,若,N2N0求證一例5.如圖，在菱形中，N6（TAB4為對角線的中點，過。點作，垂足為£ 求線段8石的長.例6.如圖，四邊形是菱形，交的延長線于E,交的延

3、長線于F,請你猜想與的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想。、例7、如圖，菱形的邊長為2, 2, E、F分別是邊，上的兩個動點，且滿足2.（1）求證：Zkg:（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）設(shè)的面積為S,求S的取值范圍.三.正方形要確定一個四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.例 于F.例2已知：如圖，四邊形是正方形，分別過點A、C兩點作八小 作JJi于M, 于N,直線、分別交 /2于Q、P點.求證：四邊形是正方形.實戰(zhàn)演練:1 .對角線互相垂直平分的四邊形是（）A.平行四邊形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形2 .順次連接菱形各邊中點所得的四邊形一

4、定是（）A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四邊形 D.矩形3 .己知AC為矩形A8CO的對角線，則圖中N1與N2 一定不相等的是D.菱形、正方形4 .如右圖，在A3C中，點E, D,尸分別在邊A8, BC, C4上，且DE/CA. DF/BA.下列四個判斷中，不正確的是（） A.四邊形尸是平行四邊形B.如果N84C = 90 ,那么四邊形AEOF是矩形C.如果AO平分N8AC,那么四邊形產(chǎn)是菱形D.如果且AB = AC,那么四邊形AEOE是菱形5.如下左圖，四邊形ABC。為矩形紙片.把紙片A3C。折疊，使點3恰好落在8邊的中點E處，折痕 為AF.若C0 = 6,則A月等于（）B. 3耳D. 8

5、過點。作AC的垂線科，分別交6 .如上中圖，矩形A8C。的周長為20cm,兩條對角線相交于。點, AD, BC于E, F點,連結(jié)CE,則的周長為（）A. 5B. 8C. 9D. 107 .如上右圖：矩形紙片，2,點E在上，且.若將紙片沿折疊，點8恰好落在上，則的長是 8,邊長為5的菱形，一條對角線長是6,則另一條對角線的長是9 .如下左圖所示，菱形A8C0中，對角線AC, 83相交于點。，若再補充一個條件能使菱形A8c。成為正方形，則這個條件是（只填一個條件即可）.10 .如上右圖，已知尸是正方形對角線上一點，且二，則/度數(shù)是.11 .如圖，矩形A88中，。是AC與8。的交點，過。點的直線Ef

6、與43, 8的延長線分別交于 E, F. （1）求證：/BOE /DOF ；（2）當EF與AC滿足什么關(guān)系時，以A, E, C,尸為頂點的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論.第二章一元二次方程復(fù)習一、一元二次方程（一）一元二次方程定義：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2,系數(shù)不 為0的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式：“/+以+ c = O（aWO）,它的特征是：等式左邊是一個 關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中“Y叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；叫做 一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。例方程（6一2）-2+（3_加_2 = 0是一元二次方程，則7 =.二

7、、一元二次方程的解法1、直接開平方法：直接開平方法適用于解形如（x + ）2= 的一元二次方程。當20時，x + a = ±yh , x =-a ± 4b 當bvO時，方程沒有實數(shù)根。例 第二象限內(nèi)一點A （x1, X22）,關(guān)于x軸的對稱點為B,且6,則.2、配方法一般步驟：（1）方程/+。= 0（“豐0）兩邊同時除以a,將二次項系數(shù)化為1.（2）將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。（3）所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方（4）配方，化成（x + a）2 =b（5）開方，當NO時，x = -a±ybx當b<0時; 方程沒有實數(shù)根。例 若方程（X-4）2

8、 =4有解，則。的取值范圍是（）.A. 6/ <0 B. 6/ >0 C. a>0 D.無法確定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ar +bx + c = 0（。工0）的求根公式：-b± ylb2 -4ac 八，/ 八、x =（匕 - 4ac > 0）2a例 已知x2+4x2=0,那么3a2 + 12x+2012的值為4、因式分解法一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。例 已知一個三角形的兩邊長是方程x2-815=0的兩根，則第三邊y的取值范圍是().A. y<

9、;8 B. 3<y<5 c. 2<y<8 D.無法確定補充：一元二次方程根的判別式根的判別式1、定義：一元二次方程以+ c = o(“wo)中，匕2一4,.叫做一元二次方程 a.x2 + bx + c = 0(«，0)的根的判別式。2、性質(zhì)：當>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當從一4,n=0時-，方程有兩 個相等的實數(shù)根；當4cV0時二 方程沒有實數(shù)根。例 若關(guān)于x的方程x?-2(a-1以=(2)2有兩個相等的實根，則心的值為.例 若關(guān)于X的方程x2-2x0+6=。無實根，則k可取的最小整數(shù)為()(A) -5 (B) -4(C)-3 (D) -2補充：

10、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)1-)r如果方程ad +以+ c = 0(。工0)的兩個實數(shù)根是X, x2,那么占+雞=一一，x,x2 = - oa a第三章概率的進一步認識一、知識概括1、頻率(1)在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)； (2)每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即： 頻率=頻數(shù)=頻數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù)實驗次數(shù)(3)在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和 等于1。因此，各個小長方形的面積的和等于1。2、概率的求法：(1)一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個結(jié)果，

11、那么事件A發(fā)生的概率為P (A)=-n(2)表格法用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。(3)樹狀圖法通過畫樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。(當一次試驗要涉及三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所 有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。)6 / 1616 / 16例 在布袋中裝有兩個大小一樣，質(zhì)地相同的球，其中一個為紅色，一個為白色。模擬“摸出一個球是白球”的機會，可以用下列哪種替代物進行實驗（）（A） “拋擲一枚普通骰子出現(xiàn)1點朝上”的機會（B） “拋擲一枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)蓋面朝上”的機會（C） “拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣

12、出現(xiàn)正面朝上”的機會（D） “拋擲一枚普通圖釘出現(xiàn)針尖觸地”的機會例 如圖，圖中的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個和4個扇形，每 個扇形上都標有數(shù)字，同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針都落在奇數(shù)上的概率是（）（A）（B）（C）（D）g例 如圖，一個小球從4點沿制定的軌道下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種機會均等的結(jié)果，小球最終到達點的概率是（）/秘（A） -（B） -（C） -（D） 1/2468FG例 如圖是從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4,將它們背面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張,*那么摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的概率是（）UZA（

13、A） 1（B） 1（C） -（D）-。2345Jj例 在圖中的甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中，指針指向每一個數(shù)字的機會是均等的.當同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，停止后指針所指 的兩個數(shù)字表示兩條線段的長，如果第三條線段的長為5, 那么這三條線段不能構(gòu)成三角形的概率是（ （A） （B） （C）-25252f三、典型例題求下列事件的概率。（1）全紅解：例1.袋中有紅、黃、白色球各一個，它們除顏色外其余都相同，每次任取一個，又放回抽取兩次。紅黃白紅（紅，紅）（紅，黃）（紅，白）黃（黃，紅）（黃，黃）（黃，白）白（白，紅）（白，黃）（白，白）（2）顏色全同（3）無白P（全紅）=3p（顏色全同）=:4P（無白）=§說明

14、：顏色全同包括都是紅色或都是黃色或都是白色；無白指沒有白色球。例2. 一個密碼保險柜的密碼由6個數(shù)字組成，每個數(shù)字都是由。9這十個數(shù)字中的一個，王叔叔忘 記了其中最后而的兩個數(shù)字，那么他一次就能打開保險柜的概率是多少？解；他前面的4個數(shù)字都已知道只有最后兩個數(shù)字忘記了，而最后兩個數(shù)字每個數(shù)字出現(xiàn)的可能結(jié)果 都有10種情況，那么組成兩個數(shù)字的可能結(jié)果就有100種，因此正好是密碼上的最后兩個數(shù)字的概率是1ioou例3.袋中有紅色、黃色、藍色、白色球若干個，小剛又放入5個黑球后，小穎通過多次摸球?qū)嶒灪? 發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球、藍球、白球及黑球的頻率依次為25%, 30%, 30%, 10%, 5%,試

15、估計袋中紅色 球、黃色球、藍色球及白色球各有多少個？解：小剛放入5個黑球后摸到的黑色球的頻率為5%,則可以由此估計出袋中共有球= 100（個）。說明此時袋中可能有100個球（包括5個黑球），則有紅色球5%1OOX25%=25個，黃色球100X30%=30個，藍色球100X30%=30個，白色球100X 10% = 10個.例4.甲、乙兩人用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各1次（1）若兩次數(shù)字之差的絕對值為0, 1或2,則甲勝，否則乙勝。這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？（2）若兩次數(shù)字和是2的倍數(shù)，則甲勝，而若和是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)，則乙勝。這個游戲?qū)﹄p方 公平嗎？為什么？解：（1）用列表

16、的方法可看出所有可能的結(jié)果:I3456810234572112346431012454210136532102從上表中可以看出兩個數(shù)字之差的絕對值，為。的有4種可能結(jié)果，1的有7種可能結(jié)果，2的有6種可能結(jié)果，所以甲勝的概率為二，而乙勝的概率為二，因此3030 甲勝的可能性比乙大，所以不公平。（2）通過列表可知:134568124567923567810457891012568910111367910111214出現(xiàn)的兩個數(shù)字之和是2的倍數(shù)有15種，出現(xiàn)的兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)有10種，5的倍數(shù)有6種，所以甲勝的概率為經(jīng)，而乙勝的概率為"，因此甲勝的可能性3030比乙小，所以不公平。

17、例5.小明與同學(xué)一起想知道每6個人中有兩個人生肖相同的概率，他們想設(shè)計一個模擬實驗來估計6 個人中恰有兩個人生肖相同的概率，你能幫他們設(shè)計這個模擬方案嗎？分析：可以用摸球、撲克牌、轉(zhuǎn)盤、計算器模擬隨機整數(shù)等方法。注意“一次實驗”的設(shè)計。解：用12個完全相同的小球分別編上號碼112,代表12個生肖，放入一個不透明的袋中搖勻后， 從中隨機抽取一球，記下號碼后放回，再搖勻后取出一球記下號碼連續(xù)取出6個球為一次實驗，重復(fù) 上述實驗過程多次，統(tǒng)計每次實驗中出現(xiàn)相同號碼的次數(shù)除以總的實驗次數(shù)，得到的實驗頻率可估計每6 個人中有兩個人生肖相同的概率。第四章圖形相似與相似三角形知識點解讀知識點1.相似圖形的含

18、義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形）解讀：（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到.（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同.（3）判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關(guān).例1.放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變.解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同.例2.下列各組圖形：兩個平行四邊形：兩個圓；兩個矩形：有一個內(nèi)角80°的兩個等腰三角 形：兩個正五邊形：有一個內(nèi)角是100°的兩個等腰三角形

19、，其中一定是相似圖形的是（填序號）.解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰 三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相 似.答案：.知識點2.比例線段對于四條線段，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即乜=£ （或）那么b d這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.解讀：（1）四條線段成比例，記作2=£ （或），不能寫成其他形式，即比例線段有順序性.b d（2）在比例式色=£ （或）中，比例的項為，其中為比例外項，為比例內(nèi)項，d是第四

20、比例項.b d（3）如果比例內(nèi)項是相同的線段，即2=2或，那么線段b叫做線段和的比例中項。b c（4）通常四條線段的單位應(yīng)一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另一個單位 也可以，因為整體表示兩個比相等.例3.已知線段2, 6,求人.b分析：求其即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比.b例4.已知成比例，且63，求c的長度.2分析：由成比例，寫出比例式，再把所給各線段統(tǒng)一單位后代入求c.知識點3.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對應(yīng)”關(guān)系.（2）明確相似多邊形的“對應(yīng)”來自于書

21、寫，且要明確相似比具有順序性.例5.若四邊形的四邊長分別是4, 6, 8, 10,與四邊形相似的四邊形AiBiGD的最大邊長為30,則四 邊形A）BiCiDi的最小邊長是多少？分析：四邊形與四邊形AiBiGDi相似，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為1,再根據(jù)相似多 3邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長.知識點4.相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形.解讀：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種：（2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形：（3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；（4）相似用“s”表示，讀作“相似于”；（5）相似三角形的

22、對應(yīng)邊之比叫做相似比.注意：相似比是有順序的，比如/AiBiG，相似比為k.若AiBiGs4,則相似比為工。若k兩個三角形的相似比為1,則這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。若兩個三角形全 等，則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等.例6.如圖，己知2, 4,則和的相似比是多少？點D, E分別是，的中點嗎？注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方而：（1）相似比的順序性，（2）圖形的識肌DE解：因為所以一BCAD"7FAE一就，因噗2_ £ 4-2An at i所以=,所以D, E分別是，的中點.AB AC 2知識點5.相似三角的判定方法（1）

23、定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似：（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長線）所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.（3） 如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.（4）如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形 相似.（5）如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.（6）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似.經(jīng)過歸納和總結(jié)，相似三角形有以下幾種基本類型：平行線型常見的有如下兩種，則相交線型常見的有如下四種情形，如圖，已知N1=N

24、B,則由公共角NA得，如下左圖，已知N1=NB,則由公共角NA得，如下右圖，已知NND,則由對頂角/1=N2得，旋轉(zhuǎn)型己知/N, ZZD,則下圖為常見的基本圖形.母子型已知N90° , _L,則解決相似三角形問題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中分解出（構(gòu)造出）上述基本圖形. 例7.如圖，點D在的邊上，滿足怎樣的條件時，與相似？試分別加以列舉.分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知，與已有公共角NA,要使此兩個三 角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可.解：當滿足以下三個條件之一時，ah at條件一：Z 1=ZB：條件二：Z2=Z；條件三： = ,即2 AC A

25、B知識點6.相似三角形的性質(zhì)（I） 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比：（3） 相似三角形周長之比等于相似比：面積之比等于相似比的平方.例8.如圖，己知8, 4, 15, 7（1） 求、的長；（2） 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例.r）p AF） A 17分析：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應(yīng)邊成例，即= =BC AB AC DE AD _ AE, BC "Tfi " ACQ yV, 8, 4, 15, 710;設(shè)，貝4一 = ,A128X15,12 15設(shè),則812A14.,、AD AE(2)=BD ECAf） 2例

26、9.己知/AiBiG.,-二二，的周長為20,面積為402. AjBj 3求（1） AiBiG的周長；（2） AiBiG的面積. 分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比：面積之比等于相似比的平方求解.易求出AiBiG的周長為30; AAiBiCj的面積902五、視圖與投影1、視圖三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。在畫視圖時.，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。二主視圖 左視圖俯視佟I例如圖，一幾何體的三視圖如右: 那么這個幾何體是.例 如果用口表示1個立方體，用口表示兩個立方體疊加，用表示三個立方體疊加，那么下面右圖由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫

27、出的平面圖形是（）4J昌eE扇ABCD2、投影（1）投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。（2）平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。（3）中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的，像這樣的光 線所形成的投影稱為中心投影。（4）區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。（5）從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。 點在一個平面上的投影仍是一個點；線段在一個面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時，投影為一點；線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；線段

28、傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。13 / 16例 小明在操場上練習雙杠時.，在練習的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.無法確定，條A / 例 小明希望測量出電線桿的高度，于是在陽光明媚的一天，他在電線桿旁的點D處立一標桿，'/J''使標桿的影子與電線桿的影子部分重疊（即點E、C、A專/戈人一=2米，=4米，=1.5米，則電線桿長=L ED B3、視點、視線、盲區(qū)眼睛的位置稱為視點；山視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。 例當你乘車沿一條平坦的大道向前行駛時，你會發(fā)現(xiàn)，前方那些高一些的建筑物好像“沉” 到了位于它們前面那