初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑴.

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第 1 講 數(shù)論的方法技巧（上）數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支， 它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問題敘述簡(jiǎn)明， “很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來， 并且僅用三言兩語就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說： “用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。 任何學(xué)生， 如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出， 就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)， 并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作?！彼栽趪?guó)內(nèi)外各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與

2、分拆。主要的結(jié)論有：1帶余除法：若 a，b 是兩個(gè)整數(shù)， b0，則存在兩個(gè)整數(shù) q，r ，使得 a=bq+r （ 0 r b），且 q，r 是唯一的。特別地，如果 r=0 ，那么 a=bq。這時(shí)， a 被 b 整除，記作 b|a ，也稱 b 是 a 的約數(shù)， a 是 b 的倍數(shù)。2若 a|c ， b|c ，且 a， b 互質(zhì)，則 ab|c 。3唯一分解定理：每一個(gè)大于1 的自然數(shù) n 都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中 p1p2 pk 為質(zhì)數(shù)， a1，a2， ak 為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（ 1）式稱為 n 的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。4約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)n 的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（ 1），則它的正約數(shù)

3、個(gè)數(shù)為：d（n）=（a1+1）（ a2+1）（ ak+1）。5整數(shù)集的離散性：n 與n+1 之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式xy與xy-1 是等價(jià)的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問題， 若能合理地選擇整數(shù)的表示形式， 則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：1十進(jìn)制表示形式： n=an10n+an-1 10n-1 + +a0；2帶余形式： a=bq+r；42 的乘方與奇數(shù)之積式： n=2mt ，其中 t 為奇數(shù)。例 1 紅、黃、白和藍(lán)色卡片各 1 張，每張上寫有 1 個(gè)數(shù)字，小明將這 4 張卡片如下圖放置， 使它們構(gòu)成 1

4、個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的 10 倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字， 計(jì)算結(jié)果都是 1998。問：紅、黃、藍(lán) 3 張卡片上各是什么數(shù)字？學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3 ，a2，a1， a0 ，則這個(gè)四位數(shù)可以寫成：1000a3+100a2+10a1+a0 ，它的各位數(shù)字之和的10 倍是 10（ a3 +a2 +a1+a0）=10a3+10a2+10a1 +10a0 ，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10 倍的差是：990a3+90a2-9 a0 =1998，110a3+10a2 - a0=222。比較上式等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可

5、得a0=8，a2=1， a3=2。所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍(lán)色卡片上是 8。例 2 在一種室內(nèi)游戲中，魔術(shù)師請(qǐng)一個(gè)人隨意想一個(gè)三位數(shù)abc (a,b,c 依次是這個(gè)數(shù)的百位、 十位、個(gè)位數(shù)字 ) ，并請(qǐng)這個(gè)人算出 5 個(gè)數(shù) acb, bac,bca,cab 與cba 的和 N，把 N 告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就可以說出這個(gè)人所想的數(shù)abc ?，F(xiàn)在設(shè) N=3194，請(qǐng)你當(dāng)魔術(shù)師，求出數(shù)abc 來。解：依題意，得a+b+c 14，說明：求解本題所用的基本知識(shí)是， 正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡(jiǎn)單的不定方程。例 3 從自然數(shù) 1， 2， 3， 1000 中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任

6、意三個(gè)數(shù)之和能被 18 整除？解：設(shè) a，b，c，d 是所取出的數(shù)中的任意 4 個(gè)數(shù)，則 a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中 m，n 是自然數(shù)。于是 c-d=18 （m-n）。上式說明所取出的數(shù)中任意 2 個(gè)數(shù)之差是 18 的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以 18 所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為 r ，則 a=18a1+r ，b=18b1+r ， c=18c1+r ，其中 a1，b1， c1 是整數(shù)。于是 a+b+c=18（ a1+b1+c1）+3r 。因?yàn)?18| （a+b+c），所以 18|3r ，即 6|r ，推知 r=0 ， 6，12。因?yàn)?1000=55× 18+10，

7、所以，從 1，2， 1000 中可取 6，24，42， 996 共 56 個(gè)數(shù)，它們中的任意 3 個(gè)數(shù)之和能被 18 整除。學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 4 求自然數(shù) N，使得它能被 5 和 49 整除，并且包括 1 和 N 在內(nèi)，它共有 10 個(gè)約數(shù)。解：把數(shù) N 寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式： N= a1a25a 37a4an23Pn由于 N 能被 5 和 72=49 整除，故 a31，a42，其余的指數(shù) ak 為自然數(shù)或零。依題意，有（ a1+1）（ a2+1）（ an+1）=10。由于 a3+1 2， a4+13，且 10=2× 5，故 a1+1=a2+1=a5+1= =an+1=1，即 a1

8、=a2=a5=an=0， N只能有 2 個(gè)不同的質(zhì)因數(shù) 5 和 7，因?yàn)?a4+1 3 2，故由（a3+1）（ a4+1）=10 知，a3+1=5，a4+1=2 是不可能的。 因而 a3+1=2，a4+1=5，即 N=52-1 ×75-1 =5× 74 =12005。例 5 如果 N 是 1，2， 3， 1998，1999，2000 的最小公倍數(shù)，那么 N 等于多少個(gè) 2 與 1 個(gè)奇數(shù)的積？解：因?yàn)?210 =1024，211 =20482000，每一個(gè)不大于 2000 的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中 2 的個(gè)數(shù)不多于 10 個(gè)，而 1024=210，所以， N 等于 1

9、0 個(gè) 2 與某個(gè)奇數(shù)的積。說明：上述 5 例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)， 從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。二、枚舉法枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問題。運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾?分類的原則是不重不漏。 正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)， 降低問題的難度。 數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例 6 求這樣的三位數(shù)，它除以 11 所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有 900 個(gè)，可用枚舉法解決， 枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。設(shè)這

10、個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為 x，y， z。由于任何數(shù)除以 11 所得余數(shù)都不大于 10，所以 x2+y2+z210，從而 1x 3， 0 y 3， 0 z 3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101， 102， 103，110，111， 112， 120，121， 122， 130，200，201，202， 211，212，220，221， 300，301，310。不難驗(yàn)證只有 100，101 兩個(gè)數(shù)符合要求。例 7 將自然數(shù) N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將 2 接寫在 35 的右面得 352），如果得到的新數(shù)都能被 N整除，那么 N 稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于 2000 的自然

11、數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？解：設(shè) P 為任意一個(gè)自然數(shù)，將魔術(shù)數(shù) N（N2000接后得 PN ，下面對(duì) N 為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。當(dāng) N 為一位數(shù)時(shí)， PN =10P+N，依題意 N PN ，則 N 10P，由于需對(duì)任意數(shù) P 成立，故 N 10，所以 N=1， 2， 5；當(dāng) N 為兩位數(shù)時(shí)， PN =100P+N，依題意 N PN ，則 N100P，故 N|100，所以 N=10，20， 25，50；學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) N 為三位數(shù)時(shí)， PN =1000P+N，依題意 N PN ，則 N1000P，故 N|1000，所以 N=100，125，200，250， 500；當(dāng) N 為

12、四位數(shù)時(shí)，同理可得 N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有 1000，1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14 個(gè)。說明：（ 1）我們可以證明： k 位魔術(shù)數(shù)一定是 10k 的約數(shù)，反之亦然。（2）這里將問題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例 8 有 3 張撲克牌，牌面數(shù)字都在 10 以內(nèi)。把這 3 張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光 3 人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后， 3 人各自記錄的數(shù)字的和順次為 13，15， 23。問：這 3 張牌的數(shù)字分別是多少？解： 13

13、+15+23=51，51=3×17。因?yàn)?17 13，摸 17 次是不可能的，所以摸了 3 次， 3 張撲克牌數(shù)字之和是 17，可能的情況有下面 15 種：1，6，101，7，91，8，82，5，102，6，92，7，83，4，103，5，93，6，83，7，7(11)4 ， 4， 9 (12)4 ，5，8(13)4 ，6，7 (14)5 ， 5， 7 (15)5 ， 6， 6只有第種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15； 5+9+9=23。這 3 張牌的數(shù)字分別是 3，5 和 9。例 9 寫出 12 個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中， 我們可

14、以看出 100 以內(nèi)最多可以寫出 7 個(gè)連續(xù)的合數(shù)： 90，91，92， 93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法 1：用篩選法可以求得在 113 與 127 之間共有 12 個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114，115， 116， 117，118，119， 120，121，122，123， 124，125，126。分析二：如果 12 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中， 第 1 個(gè)是 2 的倍數(shù)，第 2 個(gè)是 3 的倍數(shù)，第 3 個(gè)是 4 的倍數(shù)第 12 個(gè)是 13 的倍數(shù)，那么這12 個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。又 m+2，m+3， m+13是 12 個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要 m是 2， 3

15、， 13 的公倍數(shù)，這 12 個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法 2：設(shè) m為 2，3，4，13 這 12 個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 m+2，m+3，m+4，m+13分別是 2 的倍數(shù)， 3 的倍數(shù)， 4 的倍數(shù) 13 的倍數(shù)，因此 12 個(gè)數(shù)都是合數(shù)。說明：我們還可以寫出 13！+2， 13！+3， 13！+13（其中 n！=1×2×3 ×× n）這 12 個(gè)連續(xù)合數(shù)來。同樣，（ m+1）！+2，（m+1）！+3，（ m+1）！+m+1是 m個(gè)連續(xù)的合數(shù)。三、歸納法當(dāng)我們要解決一個(gè)問題的時(shí)候， 可以先分析這個(gè)問題的幾種簡(jiǎn)單的、 特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)

16、律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例 10 將 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串， 依次完成以下 5 項(xiàng)工作叫做一次操作：學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；（2）從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；（3）劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；（4）所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去；（5）所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字串。問：經(jīng)過 1999 次操作，所得的數(shù)字串是什么？解：第 1 次操作得數(shù)字串；第 2 次操作得數(shù)字串11133173；第 3 次操作得數(shù)字串 111731；第 4 次操作得數(shù)字串 117

17、3；第 5 次操作得數(shù)字串1731；第 6 次操作得數(shù)字串 7311；第 7 次操作得數(shù)字串 3117；第 8 次操作得數(shù)字串 1173。不難看出，后面以 4 次為周期循環(huán)， 1999=4× 499+3，所以第 1999 次操作所得數(shù)字串與第 7 次相同，是 3117。例 11 有 100 張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作： 把最上面的第一張卡片舍去， 把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？分析與解： 可以從簡(jiǎn)單的不失題目性

18、質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N，觀察上表可知：（1）當(dāng) N=2a（ a=0，1，2，3，）時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第 2a 張；（2）當(dāng) N=2a+m（m2a）時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。6取 N=100，因?yàn)?100=2 +36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第 72 張。說明：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問題： 傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼 1，2，3，然后把 1 號(hào)殺了，把 3 號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人， 最后剩下一個(gè)人， 這個(gè)人就是約瑟夫斯。 如果這批俘

19、虜有 111 人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？例 12 要用天平稱出 1 克、 2 克、 3 克 40 克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？分析與解： 一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡(jiǎn)單的情形開始研究。（1）稱重 1 克，只能用一個(gè) 1 克的砝碼，故 1 克的一個(gè)砝碼是必須的。（2）稱重 2 克，有 3 種方案：增加一個(gè) 1 克的砝碼；用一個(gè) 2 克的砝碼；用一個(gè) 3 克的砝碼，稱重時(shí)，把一個(gè) 1 克的砝碼放在稱重盤內(nèi)， 把 3 克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用 3-1=2。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）稱重 3 克，用上面的兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此

20、方案淘汰。（4）稱重 4 克，用上面的方案，不用再增加砝碼，因此方案也被淘汰?？傊?，用 1 克、 3 克兩個(gè)砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。（5）接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5 克時(shí)可以利用： 9- （3+1）=5，即用一個(gè) 9 克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)， 1 克、 3 克兩個(gè)砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到 1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱 14 克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)砝碼，其重為： 14+13=27（克），可以稱到 1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重?？傊?，砝碼的重量為1，3，32，33 克時(shí)，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。這個(gè)結(jié)

21、論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放砝碼時(shí)，使用1，3，這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設(shè)計(jì)方案。練習(xí) 11已知某個(gè)四位數(shù)的十位數(shù)字減去1 等于其個(gè)位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字加2 等于百位數(shù)字，這個(gè)四位數(shù)的數(shù)字反著順序排列成的數(shù)與原數(shù)之和等于 9878。試求這個(gè)四位數(shù)。3設(shè) n 是滿足下列條件的最小自然數(shù)：它們是75 的倍數(shù)且恰有75 個(gè)4不能寫成兩個(gè)奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？5把 1，2，3，4， 999 這 999 個(gè)數(shù)均勻排成一個(gè)大圓圈，從1 開始數(shù)：隔過 1 劃掉 2，3，隔過 4，劃掉 5，6這樣每隔一個(gè)數(shù)劃掉兩個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。問：最后剩下哪個(gè)數(shù)？為什么？6圓周上放有 N 枚棋子，如下圖所

22、示， B 點(diǎn)的一枚棋子緊鄰 A 點(diǎn)的棋子。小洪首先拿走 B 點(diǎn)處的 1 枚棋子，然后順時(shí)針每隔 1 枚拿走 2 枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10 周，9 次越過 A。當(dāng)將要第 10 次越過 A 處棋子取走其它棋子時(shí)，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下 20 多枚棋子。若 N 是 14 的倍數(shù)，則圓周上還有多少枚棋子？7用 0，1，2，3，4 五個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中均沒有重復(fù)數(shù)字（如 1023，2341），求全體這樣的四位數(shù)之和。8有 27 個(gè)國(guó)家參加一次國(guó)際會(huì)議，每個(gè)國(guó)家有 2 名代表。求證：不可能將54 位代表安排在一張圓桌的周圍就座，使得任一國(guó)的 2 位代表之間都夾有 9 個(gè)人。學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí) 1 答

23、案：11987。（a+d）× 1000+（ b+c）× 110+（a+d）= 9878。比較等式兩邊，并注意到數(shù)字和及其進(jìn)位的特點(diǎn)，可知：a+d=8，b+c=17。已知 c-1=d，d+2=b，可求得： a=1， b=9，c=8，d=7。即所求的四位數(shù)為1987。21324，1423， 2314， 2413， 3412，共 5 個(gè)。3432。解：為保證 n 是 75 的倍數(shù)而又盡可能地小，因?yàn)?5=3×5×5，所以可設(shè) n有三個(gè)質(zhì)因數(shù) 2，3，5，即 n=2 ×3 ×5 ，其中 0，1，2，并且（ +1）（ +1）（ +1）=75。易

24、知當(dāng) =4，=2 時(shí)，符合題設(shè)條件。此時(shí)438。解：小于 38 的奇合數(shù)是 9，15， 21，25，27，33。38 不能表示成它們之中任二者之和，而大于 38 的偶數(shù) A，皆可表示為二奇合數(shù)之和： A 末位是 0，則 A=15+5n；A 末位是 2，則 A=27+5n；A 末位是 4，則 A=9+5n ；A 末位是 6，則 A=21+5n；A 末位是 8，則 A=33+5n。其中 n 為大于 1 的奇數(shù)。因此， 38 即為所求。5406。解：從特殊情況入手，可歸納出：如果是3n 個(gè)數(shù)（n 為自然數(shù)），那么劃 1 圈剩下 3n-1個(gè)數(shù)，劃 2 圈剩下 3n-2個(gè)數(shù)劃（ n-1）圈就剩3 個(gè)數(shù)，

25、再劃 1 圈，最后剩下的還是起始數(shù)1。699937 ，從 999 個(gè)數(shù)中劃掉（999-36）個(gè)數(shù)，剩下的（ 6 ）3= 2703 =729 個(gè)數(shù)，即可運(yùn)用上述結(jié)論。因?yàn)槊看蝿澋舻氖? 個(gè)數(shù)，所以劃掉 270 個(gè)數(shù)必須劃135 次，這時(shí)劃掉的第270 個(gè)數(shù)是（ 135×3=）405，則留下的 36個(gè)數(shù)的起始數(shù)為 406。所以最后剩下的那個(gè)數(shù)是 406。623 枚。解：設(shè)圓周上余 a 枚棋子。因?yàn)閺牡? 次越過 A 處拿走 2 枚棋子到第 10 次將要越過 A 處棋子時(shí)小洪拿走了2a 枚棋子，所以，在第 9 次將要越過 A 處棋子學(xué)習(xí)必備歡迎下載時(shí)，圓周上有3a 枚棋子。依此類推，在第8

26、 次將要越過A 處棋子時(shí)，圓周上有 32a 枚棋子在第1 次將要越過 A 處棋子時(shí)，圓周上有 39a枚棋子，在第1 次將要越過A 處棋子之前，小洪拿走了999102(3 a-1)+1枚棋子，所以 N=2(3 a-1)+1+3 a=3 a-1。若 N=310a=59049a-1是 14 的倍數(shù)，則 N 就是 2 和 7 的公倍數(shù)，所以 a 必須是奇數(shù)；若 N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是 7 的倍數(shù)，則 4a-1 必須是 7 的倍數(shù)，當(dāng) a=21，25，27， 29 時(shí)， 4a-1 不是 7 的倍數(shù)，當(dāng) a=23 時(shí)， 4a-1=91=7× 13，是 7 的倍數(shù)。當(dāng) N 是 14 的倍數(shù)時(shí)，圓周上有23 枚棋子。7259980。解：用十進(jìn)位制表示的若干個(gè)四位數(shù)之和的加法原理為：若干個(gè)四位數(shù)之和 =千位數(shù)數(shù)字之和× 1000+百位數(shù)數(shù)字之和× 100+十位數(shù)數(shù)字之和× 10+