函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

1、3.3.3函數(shù)的最大函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修1-1 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個區(qū)間某個區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，f(x)為為增函數(shù)增函數(shù)f(x)為為減函數(shù)減函數(shù)二、函數(shù)的極值定義二、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0附近有定義，附近有定義，如果對如果對X0附近的所有點，都有附近的所有點，都有f

2、(x)f(x0), 則則f(x0) 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作的一個極小值，記作y極小值極小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函數(shù)的函數(shù)的極大值極大值與與極小值極小值統(tǒng)稱統(tǒng)稱 為為極值極值. 使函數(shù)取得極值的使函數(shù)取得極值的點點x0稱為稱為極值點極值點xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的極值嗎？135( ), ( ), ( )f xf xf x觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)， 是函數(shù)y=f(x)的極小值， 是函數(shù)y=f(x)的 極大值。246( ), ( ), ( )f xf xf x 求解函數(shù)極值的一般步驟：求解函數(shù)極值的一般步驟： （1）確定

3、函數(shù)的定義域）確定函數(shù)的定義域 （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x) （3）求方程）求方程f(x)=0的根的根 （4）用方程）用方程f(x)=0的根，順次將函數(shù)的定的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格 （5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符號，的根左右的符號，來判斷來判斷f(x)在這個根處取極值的情況在這個根處取極值的情況 在社會生活實踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益，在社會生活實踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益，常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最大等問題，這些問題的解決常?？赊D(zhuǎn)化為

4、求一個大等問題，這些問題的解決常?？赊D(zhuǎn)化為求一個函數(shù)的最大值和最小值問題函數(shù)的最大值和最小值問題 函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們與函數(shù)極值關(guān)系如何？與函數(shù)極值關(guān)系如何？新新 課課 引引 入入 極值是一個極值是一個局部局部概念，極值只是某個點的函概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它數(shù)值與它附近點附近點的函數(shù)值比較是最大或最小的函數(shù)值比較是最大或最小, ,并并不意味不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。知識回顧知識回顧 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果存在實數(shù)，如果存在實數(shù)

5、M滿足：滿足： 1最大值最大值: : （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果存在實，如果存在實數(shù)數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最小值最小值 觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的最值嗎？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b

6、 y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在開區(qū)間內(nèi)在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)不一定有最不一定有最大值與最小大值與最小值值. 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上的連續(xù)函上的連續(xù)函數(shù)必有最大數(shù)必有最大值與最小值值與最小值因此：該函數(shù)沒因此：該函數(shù)沒有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函數(shù)在如何求出函數(shù)在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在區(qū)間，一般的如果在區(qū)間，a,b上函數(shù)上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。 觀察右

7、邊一個定義在觀察右邊一個定義在區(qū)間區(qū)間a,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)的圖象：的圖象：發(fā)現(xiàn)圖中發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，是極小值，_是極是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出樣才能判斷出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x) (2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)(端點處

8、端點處) 比較比較,其中最大的一個為最大值，最小的其中最大的一個為最大值，最小的 一個最小值一個最小值. 求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值內(nèi)極值(極大值或極小值極大值或極小值)； 新授課新授課注意注意:1.在定義域內(nèi)在定義域內(nèi), 最值唯一最值唯一;極值不唯一極值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.求函數(shù)的最值時求函數(shù)的最值時,應(yīng)注意以下幾點應(yīng)注意以下幾點:(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個局部概念是一個局部概念,而函數(shù)的最值是對整個定義域而言而函數(shù)的最值

9、是對整個定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論是在整體范圍內(nèi)討論問題問題,是一個整體性的概念是一個整體性的概念.(2)閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內(nèi)的內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極值必是則此極值必是函數(shù)的最值函數(shù)的最值.(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個, 而而函數(shù)的極值則可能不止一個函數(shù)的極值則可能不止一個,也可能沒有極值也可能沒有極值,并且極大值并且極大值(極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).題型：

10、求函數(shù)的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值 21233,3fxxx 解：1、求出所有導(dǎo)數(shù)為、求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點；的點；2、計算；、計算；3、比較確定最值。、比較確定最值。3( )6123 3f xxx例1:求函數(shù)在， 上的最大值與最小值. 0,22fxxx 令解得：或(2)22( 2)10(3)15,( 3)3ffff 又，3( )6 123310.f xxx函數(shù)在，上的最大值為22，最小值為例例2:求函數(shù)求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間在區(qū)間-2,2上的最大上的最大值與最小值值與最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, 的變化情況如

11、下表的變化情況如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知從上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.題型：求函數(shù)的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值練習(xí)：練習(xí)：函數(shù)函數(shù) y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最大上的最大值為值為 ,最小值為最小值為 .分析分析: (1) 由由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 區(qū)間區(qū)間4 , 4 端點處的函數(shù)值為端點處的函數(shù)值為 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函數(shù)值為函數(shù)值為f (3)

12、=27, f (1)=576-5當(dāng)當(dāng)x變化時，變化時，y 、 y的變化情況如下表：的變化情況如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比較以上各函數(shù)值，比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在可知函數(shù)在4 , 4 上的最大上的最大值為值為 f (4) =76，最小值為，最小值為 f (1)=5練習(xí)：練習(xí)：求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42, 2x54-5422-102-18aa

13、-40典型例題典型例題 322( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x例題 ：已知函數(shù)在， 上有最小值求實數(shù) 的值；求在， 上的最大值。反思：本題屬于逆向探究題型：反思：本題屬于逆向探究題型： 其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數(shù)值其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數(shù)值大小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。大小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2,2fx由知在的最大值為3.(0),fa(2)8fa 拓展提高拓展提高1、我們知道，如果在閉

14、區(qū)間【、我們知道，如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)】上函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值；那么把和最小值；那么把閉區(qū)間【閉區(qū)間【a，b】換成開區(qū)間（】換成開區(qū)間（a,b）是否一定有最值呢？是否一定有最值呢？ 如下圖：如下圖：不一定不一定2、函數(shù)、函數(shù)f(x)有一個極值點時，極值點必定是最值點。有一個極值點時，極值點必定是最值點。 3、 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間（在開區(qū)間（a,b）上只有一個極值點，）上只有一個極值點，那么這個極值點必定是最值點。那么這個極值點必定是最值點。有兩個極值點時，函數(shù)有無最值情況不定。

15、有兩個極值點時，函數(shù)有無最值情況不定。21x402fxx3討論函數(shù)（ ）=4x在， 的最值情況。動手試試動手試試2( )1281(21)(61)fxxxxx 1( )( )6f xf最大值沒有最小值4、函數(shù)、函數(shù)y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值為（上的最大值為（ )(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C C1. 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間在區(qū)間1，5內(nèi)的極值與最值內(nèi)的極值與最值 故函數(shù)故函數(shù)f(x) 在區(qū)間在區(qū)間1，5內(nèi)的極小值為內(nèi)的極小值為3，最大值，最大值為為11，最小值為，最小值為2 解法二解法二:f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x

16、-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112選做題：解法一解法一:將二次函數(shù)將二次函數(shù)f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函配方，利用二次函數(shù)單調(diào)性處理數(shù)單調(diào)性處理2 2、。1 1求求f f( (x x) )x xs si in nx x在在區(qū)區(qū)間間 0 0，2 2 上上的的最最值值2 2最最小小值值是是0 0. .是是 , ,函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )的的最最大大值值xxfcos21)(0)( xf34,3221xx )(xf )(xf323423423234322332332解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0 應(yīng)用應(yīng)用( 2009年天津（文）21T )處的切線的斜率；設(shè)函數(shù) 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）當(dāng) 時，求曲線 在點 1m xfy 1, 1 f（2）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值。 xf答:（1）斜率為1; .1 ,1,1,1內(nèi)是增函數(shù)減函數(shù)，在內(nèi)是，在mmmmxf ;313223mmxf極小 313223mmxf極大(2)（0404浙江文浙江文2121）（本題滿分）（本題滿分1212分）分）已知已知a a為實數(shù)，為實數(shù)，（）求導(dǎo)數(shù)）求導(dǎo)數(shù) ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若）若 在（在（-，-2-2和和22，+）上）上都是遞增的，