不等式恒成立問題存在性問題講義

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用吳冰微積分基本定理曲邊梯形的面積定積分定積分在幾何、物理中的簡單應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義(一)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1、函數(shù)y=f(x)從x!到x2的平均變化率:函數(shù)y=f(x)從x,到x2的平均變化率為，若心二易-%,，ay = /(x2)-/(x,),易-x,則平均變化率可表示為2、函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)：(1)定義稱函數(shù)y=f(x)在x=xg處的瞬時(shí)變化率lim幾+_ll = hm 為y=f(x)在x=xo處導(dǎo)數(shù)，記作 axxx() ax/（人）或/ l=.v bp/u0）=lim=lim心一0/（+ ay）-/cy0）(2)兒何意義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的

2、導(dǎo)數(shù)/(x。)的兒何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)(xq，/z(x0)處的切線的斜率。相應(yīng)地，切線方程為y-yoz/'uykxzxo).3、函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：稱函數(shù)廣= lim/(x + ay/(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有ar時(shí)也記作/。注：求函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的方法：方法一：直接使用定義；f(x0) = lim/(a° + aa；：h/u);知)av方法二：先求導(dǎo)函數(shù)fx) = lim (又+心)_£11，得令x=xo求fxg)ax4、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)用討導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式，求函數(shù)y =在幵區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的基本步 分析函

3、數(shù)y = /(x)的結(jié)構(gòu)和特征； 選擇愴當(dāng)?shù)那螽惙▌t和異數(shù)公式求異; 整理得結(jié)來。例題解析:解析:lim- = arlim2lv->02x +ar %2(x +ax)2mi數(shù)導(dǎo)數(shù)y = c=0y = f(x) = xn(ne q )=nxnly = sinx= cosxy = cos x= -sinxy = /(x)= ax:=ax ana(a> 0)= f(x) = ex=exfm = ogaxf(-r) = ! (a > 01)xlnaif(x) = nxf'm = -x_4_例13求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2x + ax %2(x +ar)2k例23 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s =

4、 8-3r2。(1) 求質(zhì)點(diǎn)在fl，1+a tl這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2) 求質(zhì)點(diǎn)在t=l時(shí)的瞬時(shí)速度(用定義及求求導(dǎo)兩種方法) 分析：(1)平均速度為az(2) t=l時(shí)的瞬時(shí)速度即x = 8-3z2在t=l處的導(dǎo)數(shù)值。解答：(1) v s = 8-3r2一 an s 二 8-3( 1 + t)2-(8-3 x 12)=-6 t-3( t)2, v = = -6-3ar.azac(2) 定義法:質(zhì)點(diǎn)在t=l吋的瞬吋速度v二lim =lim(-6-3a/) = -6 r->0 at求導(dǎo)法：質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度 v = /(o = (8-3/ = 6r,當(dāng) t=l 時(shí)，v=-6xl=-

5、6.注：導(dǎo)數(shù)的物理意義建立了導(dǎo)數(shù)與物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度之問的關(guān)系。對(duì)位移s與時(shí)間t 的關(guān)系式求導(dǎo)可得瞬時(shí)速度與時(shí)間t的關(guān)系。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法， 誚按照“一差、二比、三極限”的求導(dǎo)步驟來求。例33已知曲線y二ix3+l，33(1) 求曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程；(2) 求曲線過點(diǎn)p(2,4)的切線方程；(3) 求斜率為4的曲線的切線方程。分析：切點(diǎn)座標(biāo)切線斜率點(diǎn)斜式求切線方程解答(1) p(2,4)在曲線 y =上,h/ = x233在點(diǎn)p(2,4)處的切線的斜率k= |v=2 =4;曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.1414(

6、3) 設(shè)曲線y = x3+與過點(diǎn)p(2,4)的切線相切于點(diǎn)a (xo，一x()3+)，3333則切線的斜率 = /|v=ao = v, 切線方程為)，-(丄x03+i)(x-x。)，up y - xox-xl + °3324點(diǎn) p(2,4)在切線上，/.4=2x()2 - - x03+-,即義。+ 4 = 0， xq + xj -+4 = 0， (xo+1) (xo-2)2=o 解得 x()=-1 或 x0=2 故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)則切線的斜率為k=xg2=4，x()=±2.切點(diǎn)為(2, 4)，(-2，-4/3)切

7、線方程為 y-4=4(x-2)和 y+4/3=4(x+2)即 4x-y-4=0 和 12x-3y+20=0注：(1)解決此類問題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過某點(diǎn)的切線”；(2)解決“過某點(diǎn)的切線”問題，般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則1. /(x)±t?(%) =/'(%)±'(x)2. fm'gm = fx)g(x)±f(x)gx)3./w/ g(x) /u)gg 2(g(x)關(guān) 0)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)w =的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為乂 = ，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)w的導(dǎo)數(shù)與w對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積。復(fù)合函數(shù)的

8、求導(dǎo)方法：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基木函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解決。 分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基木函數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定屮間變量； 分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中問變量； 根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及異數(shù)的運(yùn)算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把屮間變量轉(zhuǎn)換 成cj變量的函數(shù)； 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程。例題解析：y - x（x2 + 丄 +）y - （v% +1）（卜 _ 1）k例43 （1）求x3的導(dǎo)數(shù)；（2）求的導(dǎo)數(shù)；.x xx1y = %-sin cos（3）求22的導(dǎo)數(shù)；（4）求y

9、=sini的導(dǎo)數(shù)；3x2 - xvx + 5a/x-9 （5）求y=的導(dǎo)數(shù)分析：先正確地分析函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成；求導(dǎo)時(shí)，可設(shè)出 中間變量，注意耍逐m求導(dǎo)不能遺漏，每一步對(duì)誰求導(dǎo)，不能混淆。1 1 7 2 y = x +1 + /. y = 3x 解：（1）r ，r一丄y/x yjx 4 1 = x 2 + x 2(2)先化簡，)w、入'r石)，、一丄，l 丄22 2人1+-、xy(3)先使用三角公式進(jìn)行化簡,.xx1 .y = x-sincos = x smx2221x sinx2,1 . 1x (sin x) = 1 cosx. 2 2(x2 )fsin x

10、x2 * (sin x)' 2xsin x-x1 cos x(4) /=sin2 x31(5) .y:= 3-x+ 5 -9%_i3y,= 3* (x 2)'-xz+ 5 '/sin2 義3*2 x i + o 9*(2) x三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果/(x)0,那么函數(shù)，= /(%)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞増；如果 fx) < 0 ,那么函數(shù)>，二/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。如果廣=0,那么函數(shù))，= /(%)在這 個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)。注：函數(shù)y = /(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則/'(x)20, /(x)0

11、是;v = /(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件。2、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)：(1)曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0,并且，曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右 側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，a側(cè)為正.一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處 連續(xù)吋，判斷f(x0)是極大(小)值的方法是：(1)如果在xo附近的左側(cè)f(x)>0 ,右側(cè) f(x)<0，那么f(x0)是極大值.(2)如果在xo附近的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)f(x)0 ,那么f(x0)是極小值.注：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)3、函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù):函數(shù)f(x)在a,b上有最值的條件：如果在區(qū)叫a,b上函數(shù)，= /(

12、x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必冇最大值和最小值。4、生活中的優(yōu)化問題：解決優(yōu)化m題的基本思路是：優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)悶題用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題 -m尤化問題答案。例題解析：例5(安徽合肥168屮高三段考(理)(本小題滿分13分)"-、_4%2-7已知兩數(shù) 2- , xe0j,(i )求的單調(diào)區(qū)間和值域；(ii)設(shè)。1，函數(shù)及w="2_3fl2x_2仏,若對(duì)于任意o1，總存在叫，使得成立，求“的取值范圍,=義2 +16-卜 7 = (2x-l)(2x-7)解：對(duì)函數(shù)卜)求導(dǎo)，得(2一x)2(2一寸_ 1_7令八解得當(dāng)x變化吋，w、的變化情況如下表：xg 0，一所以，

13、當(dāng)、2吋，是減函數(shù);x0(n12h10+/w7243當(dāng)時(shí)，是增閑數(shù)當(dāng)xe(ou)時(shí)，/的值域?yàn)?31。(n)對(duì)麵g(x)求導(dǎo)，得 w=3(x22)因此 d，當(dāng)奸(0“)吋，房(x)<3(l-a2)s0因此當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)有 g(x)g<g(l), g(0)乂g(l) = l-2。-3“2，t?(0) = -2'即當(dāng)m 0,1時(shí)冇-2a-3a-2a任給ae0j，/()gh-3,存在aet0，1使得h)= /()，則 1 - 2tz - 3“2, - 2“ -4, - 3-2a-3a2<-4(1)-2a>-3(2)“<-蘭,<2解式得或 3,解式

14、得 21 <<-乂 “21，故：“的取值范圍為 2 (i例3設(shè)x=l與x=2是/(x) = ulnj; + /zr + x函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)。(1) 試確定常數(shù)a和b的值；(2) 試判斷x=l,x=2是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求相應(yīng)極值。解析：(1) /(x)= + 2/7x + 1,x2a =3b = -66/ + 2/? +1 = 0由已知得：r+4/?+1=0x(0, 1)1(1, 2)2/'w0+0則-4極小值1極大值4(2) *變化時(shí)。f'x的變化情況如表:54_2jn2故在處，函數(shù)取極小值l在x=2處，函數(shù)取得極大值例6（黑龍江省雙鴨山一巾*2010

15、屆高三期巾考試（理）（木題12分）已知函數(shù)/（勾=巾2d"ez?.（1）當(dāng)0吋，求證函數(shù)/（4倒_oo+oo：）上是增函數(shù)；（2）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間0，b上的最大值。解：（l）a<（）hj-, ,（x） =命、似聊'（x） = 3?-g0故在r上是增函數(shù)。（4分）(2)« = 3 吋，/(.r) = x|x2-31=<%3 -3x(x> 733x-x3(0< x< a/3)若0</w 吋，/w = 3x-?，由/»3-3/ =0得：x = 1（i諾0</w1時(shí)，（巾0，（x）在0, b上單增,故則鵬=33-）

16、' （u諾時(shí)，因0若吋，由知上的最大值為2,下求在上的最大值，r(x) = 3x2 - 3 > 0 ,故 /(x)繼.=/=b、3b.又h3-3z?-2 = (z? + l)2(z?-2)b3-3b(b>2)2(o</?<2)b3-3b（b>2）fl,-2 （><<2）綜合、知：-bo<b<l）（12分）k例7（安徽合肥168中高三段考（理）（本小題滿分12分）如圖，某地有三家丄廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)a, 6及（?£>的中點(diǎn)/處.他=20km, bc=10km.為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（

17、含邊界）且與a, 好等距的一點(diǎn)0處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道ao, bo, p0.記鋪設(shè)管道的總長度為(1) 按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：(i )設(shè)= 0 (rad),將)'表示成的函數(shù)；(ii)設(shè)= x (km),將表示成x的函數(shù)；(2) 請(qǐng)你選川(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總 長度®短。0a =aq _ 1020、解：(i )由條件知pq垂直平分ab，若zbao=0(rad),貝ijcos沒cos沒0b10cos 汐，乂 qp= 10 10 tan 沒，:v = oa + ofi+op = - + - + 10 10tan 所

18、以cos沒 cos沒產(chǎn) 20 10 氣 k) 所求函數(shù)關(guān)系式為cos0<<714若 opdm)，則 oq=10又，所以 oa=ob=j(10_x)2+102 =7x2-20x +200所求函數(shù)關(guān)系式為> = x + 2a/x2 20x+200(0<x<10)ii)選擇函數(shù)模型,-10coslos-(20-1 osind)(-sin) _ 10(2sin-l)2 門_2 zicos dcos 0d 令二0得sin 2，因?yàn)?<<-4,所以么6o，f、6 y時(shí)，><0 , >是0的減函數(shù);當(dāng)時(shí)，>；>0 ,)是沒的增函數(shù)，所以

19、當(dāng)沒=7時(shí)，xnin='0+>0v310萬這吋點(diǎn)p位于線段ab的中垂線上，在矩形區(qū).域內(nèi)且距離ab邊3 km處。注：生活中的優(yōu)化問題，往往涉及到函數(shù)的最值，求最值可利用單調(diào)性，也可直接利用導(dǎo)數(shù)求最值，要掌握求最值的方法和技巧。在求實(shí)際問題中的最大值或最小值吋，一般先沒自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域，利川求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合。川導(dǎo)數(shù)求解 實(shí)際問題中的最大（?。┲禃r(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只科一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極 值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)。5. 用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題（1）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題： 不等式恒成立不等式恒成立問題中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化、數(shù)形

20、結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、有限與無限等豐 富的數(shù)學(xué)思想方法。 比較倆個(gè)函數(shù)的大小這類問題開始時(shí)不不知道倆個(gè)函數(shù)之間的大小關(guān)系，一般思路是利川做差的方法解決， 倆個(gè)函數(shù)做差后還是一個(gè)函數(shù)，通過研究這個(gè)函數(shù)值域與零的大小確定所比較倆個(gè)函數(shù)的大 小。 證明不等式對(duì)于只含有一個(gè)變量的不等式都可以通過構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和極值解決。（2）一般不等式恒成立問題的處理方法有：構(gòu)造函數(shù)法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、最值法、主參換位法等，段用這些方法處理不等 式恒成立m題很方便，下面我就以近幾年高考試題為例加以剖析。構(gòu)逍函數(shù)法在解決不等式恒成立問題吋，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，即構(gòu)造函數(shù)

21、法，然后利用相關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題，同時(shí)注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題屮， 需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更加而a更加清晰明了，一般來說, 已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù).例如；（i例83已知不等式一1d對(duì)任意都成立，求z的取值范圍.解：由移項(xiàng)得：<p-1）-.不等式左側(cè)與二次函數(shù)非常相似，于是我們可以設(shè)則不等式對(duì)滿足卜2的一切 實(shí)數(shù)嫩恒成立對(duì)j»e-2,2恒成立當(dāng)-2s«s2時(shí)，/w <02?-2x-l<02?+2x-3>0./(2) = 2(j?-p-c2x-1) <0 /(一勾=即k> 土

22、逆如土也+l解得i 22 故*的取值范圍是 22.評(píng)注：此類問題常因思維定勢(shì)，學(xué)生易把它看成關(guān)于*的不等式討論，從而因計(jì)算繁瑣出錯(cuò)或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下瓜路，把待求的x為參數(shù)，以為變量，令 /則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在in內(nèi)恒為 負(fù)的問題，再來求解參數(shù)*應(yīng)滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了。分離參數(shù)法在不等式中求含參數(shù)范圍過程中，當(dāng)不等式中的參數(shù)（或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其 它變量完全分離出來并，且分離后不等式其中一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值或范圍坷求吋, 常用分離參數(shù)法.（i例93已知函數(shù)乂為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集及上的奇函數(shù)，函數(shù)« = &在區(qū)間上是減函

23、數(shù).|jr 2r|（i ）若對(duì)（i ）中的任意實(shí)數(shù)義都有在上恒成立，求實(shí)數(shù)*的取值范圍.解析：由題意知，函數(shù)<冷=知eo在區(qū)間l3 3 j上是減函數(shù).32 ««邊-1在l3 3 j上恒成立32丄3 mc.k-v 3 2-注：此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將w側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：若對(duì)于*取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則若對(duì)于*取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都宥恒成立，則數(shù)形結(jié)合法如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖象、圖形較易畫出時(shí)，可通過圖象、圖形的 位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范鬧.例103已知函數(shù)若不等式»恒

24、成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.解：在同一個(gè)平面直角華標(biāo)系中分別作出函數(shù)及7=的圖象，由于不等式 成立，所以函數(shù)z=2x_«的圖象應(yīng)總在函數(shù)z = /m的圖象下方，i大i此，當(dāng)* = 2吋，,=峭屑所以麟泛"4故嫩的取值范圍是注：解決不等式叫題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè) 函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、t位置關(guān)系來確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖象.如：不等式吋恒成立,取值范圍.此不等式為超越不等式，求解吋一般使用數(shù)形結(jié)合法，設(shè)= 然 后在同一華標(biāo)系下準(zhǔn)確做出這w個(gè)函數(shù)的圖象，借助圖象觀察便可求解.最值法當(dāng)不等式

25、一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值（最值可能 含介參數(shù)），然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解.例113 已知函數(shù)/or) = x(ln+*(i )當(dāng)屑=-2時(shí)，求/(z)的單調(diào)區(qū)間；=3(ii)若*"=乏時(shí)，不等式®恒成立，求實(shí)數(shù)的取伹范圍.解(ii )當(dāng) 2吋，不等式即恒成立.由于*>0，二x+5.111 k+2，亦即32，所以30nx+|)30iix-l-i)令，則-£lax?,由*w = 0得d 且當(dāng)時(shí)，)>0.當(dāng) z>1 時(shí)，*w<0 ep*«也就是函數(shù)在定義域上的最人值.因此要使a>30njr+i

26、)恒成立,所以的取值范在(m)上單調(diào)遞増，在cvwo上單調(diào)遞減，所以*c4在x=l處取得極大值ii例123對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式i x+1 i + i x-2 i3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：把左邊看作x的函數(shù)關(guān)系，就可利用函數(shù)最值求解.解法 1:設(shè) f (x) = | x+1 | + | x-2 | =-2x+l,(x彡 1) 3,(-l<x2) 2x-l, (x>2) af (x) ain=3. a<3.分析：利用絕對(duì)值不等式i a | - | b | < | a±b i < i a | + | b |求解f (x) = | x+1 | + |

27、 x-2 |的最小值.解法 2:設(shè) f (x) = | x+1 | + | x-2 |， | x+1 | + | x-2 | > | (x+1) - (x-2)丨=3，f (x) a)in=3. /.a<3.分析：利用絕對(duì)值的幾何意義求解.解法3:設(shè)x、-1、2在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是p、a、b,則| x+1 | + | x-2 | = | pa | + i pb | ,當(dāng)點(diǎn)p在線段ab上時(shí)，| pa | + | pb | = | ab | =3,當(dāng)點(diǎn)p不在線段ab上時(shí),i pa | + | pb | >3,因此不論點(diǎn)p在何處，總有| pa丨+丨pb丨彡3,而當(dāng)a<3時(shí)，

28、丨pa i + i pb |3恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式| x+1 | + | x-2 |8恒成立.實(shí)數(shù)a的 取值范圍為(_°°，3).點(diǎn)評(píng)：求“恒成立問題”中參數(shù)范圍，利用函數(shù)最值方便自然，利用二次不等式恒 為正(負(fù))的充要條件要分情況討論，利用圖象法直觀形象.從圖象上直觀得到0<m<l后，還需考查區(qū)間(0,)右端點(diǎn)x=處的函數(shù)值的大小，這一 點(diǎn)往往被忽視.綜上，恒成立問題多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè) 熱門題型，它以“參數(shù)處理”為主要特征，以“導(dǎo)數(shù)”為主要解題工具.往往與函數(shù)的單調(diào)性、 極值、最值等有關(guān)，所以解題時(shí)要善于將這類問題與

29、函數(shù)最值聯(lián)系起來，通過函數(shù)最值求解 相關(guān)問題.不等式恒成立問題，因題目涉及知識(shí)面廣，解題方法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，難度人 等特點(diǎn)，要求有較強(qiáng)的思維靈活性和創(chuàng)造性、較高的解題能力，上述方法是比較常川的，但 因?yàn)閱栴}形式千變?nèi)f化，考題亦?？汲Ｐ拢虼嗽趥淇嫉母鱾€(gè)階段都應(yīng)滲透恒成立問題的教 與學(xué)，在平吋的訓(xùn)練中不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，教師也要介入心理輔導(dǎo)和思想方法指導(dǎo)，從而促使 學(xué)生在解決此類問題的能力上得到改善和提高.(3) 不等式恒成立之存在性問題其屮，“恒成立”問題與“存在性”問題一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。它是函數(shù)、數(shù) 列、不等式等內(nèi)容交匯處的一個(gè)較為活躍的知識(shí)點(diǎn)。ii例133匕知函數(shù)/xx) = 8;

30、v2 + 16x-z:，其中為實(shí)數(shù).(i) 若對(duì)vxe-3,3，使/(x)2o恒成立，求k的取值范圍；(ii )若3x() e卜3,31,使/(%0)>0能成立，求k的取值范圍；vxg£):3rez):分析：(i ) /(說0口/(戲“0;(ii) /()>0/(>0;/(%)<0«/(xu<0;/(x)<0/u)nin<0;例143已知函數(shù)/(x) = 8x2+16x-，(x) = 2x3+5x2+4x，其中為實(shí)數(shù).(i )若對(duì)vxe-3,3,使/(x)h(x)恒成立，求k的取值范圍;(ii) 若e |-3,3,使/(%0) &g

31、t;g(x0)能成立，求k的取值范圍；vxg d:3gd:分析：(i ) /w <?w/() - <? wlmin( ii )一gwlx 改/(x) < (x)«/(x) -(x) <0;/() <?(%) «/(a-)-g(%)nin <0;例 153 已知函數(shù)/(x) = 8x2 + 16x-lg(jv) = 2;c3+5x2+4x ,其中為實(shí)數(shù)。 (i )若對(duì)v%px2e |-3,31，使恒成立，求k的取值范圍；(ii) 若對(duì) -3,3，3x2 g -3,3,使立，求 k 的取值范圍；(iii) 若3%v-3,3，使/)4(x2)成立，求咖取值范圍vgd,ve£:分析：(i ) /以白/(0<?(戲皿；(id /(狀柄)wd冰)咖;/009。/(戲皿幺諷如；(iii) / 4白/(七 awnin; /(七)幺祇)o/ou g(x)nik；/分w腿分(x)腿;知識(shí)點(diǎn)小結(jié)與歸納：(1)不等式/(x)s g(x)在xe £>恒成立/0)<0(構(gòu)造函數(shù)/2(» = /0)-00，£)存在xe £)使得不等式/(x) < g(x)成立