立體幾何空間幾何體的表面積與體積

1、第2講空間幾何體的表面積與體積考點考查柱、錐、臺、球的體積和表面積，由原來的簡單公式套用漸漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐與球的接切問題相結合，難度有所增大【復習指導】本講復習時，熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的表面積和體積公式，運用這些公式解決一些簡單的問題基礎梳理1柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側2rhVShr2h圓錐S側rlVShr2hr2圓臺S側(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側ChVSh正棱錐S側ChVSh正棱臺S側(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別

2、是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側面積與底面面積之和兩種方法(1)解與球有關的組合體問題的方法，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心或“切點”、“接點”作出截面圖(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可

3、以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值雙基自測1(人教A版教材習題改編)圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是()A4S B2SCS D.S解析設圓柱底面圓的半徑為r，高為h，則r ，又h2r2，S圓柱側(2)24S.答案A2(2012·東北三校聯(lián)考)設長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2解析由于長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，則長方體的體對角線長為a.又

4、長方體外接球的直徑2R等于長方體的體對角線，2Ra.S球4R26a2.答案B3(2011·北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是()A8 B6C10 D8解析由三視圖可知，該幾何體的四個面都是直角三角形，面積分別為6,6，8,10，所以面積最大的是10，故選擇C.答案C4(2011·湖南)設右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12 B.18C942 D3618解析該幾何體是由一個球與一個長方體組成的組合體，球的直徑為3，長方體的底面是邊長為3的正方形，高為2，故所求體積為2×32318.答案B5若一個球的體積為4，則它的表面積

5、為_解析VR34，R，S4R24·312.答案12考向一幾何體的表面積【例1】(2011·安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D80審題視點 由三視圖還原幾何體，把圖中的數(shù)據(jù)轉化為幾何體的尺寸計算表面積解析換個視角看問題，該幾何體可以看成是底面為等腰梯形，高為4的直棱柱，且等腰梯形的兩底分別為2,4，高為4，故腰長為，所以該幾何體的表面積為488.答案C 以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系【訓練1】 若一個底面是正三角形的三棱柱的正視

6、圖如圖所示，則其側面積等于()A. B2C2 D6解析由正視圖可知此三棱柱是一個底面邊長為2的正三角形、側棱為1的直三棱柱，則此三棱柱的側面積為2×1×36.答案D考向二幾何體的體積【例2】(2011·廣東)如圖，某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()A18 B12 C9 D6審題視點 根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和幾何體的體積公式求解解析該幾何體為一個斜棱柱，其直觀圖如圖所示，由題知該幾何體的底面是邊長為3的正方形，高為，故V3×3×9.答案C 以三視圖為載體考查幾何體的

7、體積，解題的關鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系，然后在直觀圖中求解【訓練2】 (2012·東莞模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于()A. B. C.8 D12 解析由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為2，高為2的圓柱和半徑為1的球的組合體，則該幾何體的體積為×22×2.答案A考向三幾何體的展開與折疊【例3】(2012·廣州模擬)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所

8、示(1)求證：BC平面ACD；(2)求幾何體DABC的體積審題視點 (1)利用線面垂直的判定定理，證明BC垂直于平面ACD內(nèi)的兩條相交線即可；(2)利用體積公式及等體積法證明(1)證明在圖中，可得ACBC2，從而AC2BC2AB2，故ACBC，取AC的中點O，連接DO，則DOAC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DO平面ADC，從而DO平面ABC，DOBC，又ACBC，ACDOO，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC為三棱錐BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACD·BC×2×2，由等體積性可知，幾何體DABC的體積為. (1)有

9、關折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當?shù)哪妇€或棱展開，轉化為平面上兩點間的最短距離問題【訓練3】 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90°，AC6，BCCC1，P是BC1上一動點，如圖所示，則CPPA1的最小值為_解析PA1在平面A1BC1內(nèi)，PC在平面BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉化為平面上的問題解決計算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90°的直角三角形鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理得A1C5，故(CPPA1)min5.答案5難點突破17空間幾何體的表面積和體積的求解空間幾何體的表面積和體積計算是高考的一個常見考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧、把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧、對旋轉體作其軸截面的技巧、通過方程或方程組求解的技巧等，這是化解空間幾何體面積和體積計算難點的關鍵【示例1】 (2