偏微分方程和數(shù)值解法2-1

1、Taylor Taylor 展開式展開式Fourier Fourier 變換變換復數(shù)矩陣復數(shù)矩陣預備知識預備知識一、一、Taylor公式公式泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導數(shù)階的導數(shù), ,則則當當x在在),(ba內(nèi)時內(nèi)時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xRn之和之和: : 其中其中10)1()()!1()()( = =nnnxxnfxRx x( (x x在0 x與與x之間之間 ) ).

2、.)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn = =（拉格朗日形式的余項）（拉格朗日形式的余項）（皮亞諾形式的余項（皮亞諾形式的余項) ).)()(0nnxxoxR = =即即定理定理 設設),(yxfz = =在點在點),(00yx的某一鄰域內(nèi)連的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到續(xù)且有直到1 n階的連續(xù)偏導數(shù)階的連續(xù)偏導數(shù), , ),(00hyhx 為此鄰域內(nèi)任一點為此鄰域內(nèi)任一點, ,則有則有)10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 = = kyhxfykxhnyxfykxhnyxf

3、ykxhyxfykxhyxfhyhxfnn二元函數(shù)的泰勒公式:其中記號其中記號),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地,記號記號表示表示),(00yxfykxhm 00(,)0.mmppm pxypm pmpfh kxyC=二、二、Fourier變換變換01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx= = = = = = = = ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxx

4、fann傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)1、周期函數(shù)的離散、周期函數(shù)的離散Fourier級數(shù)級數(shù)( (1 1) ) 當當x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點點時時, ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf; ;(2) 當當x是是)(xf的的間間斷斷點點時時, ,收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ;(3) (3) 當當x為端點為端點 = =x時時, ,收斂于收斂于2)0()0( ff. . = = = = = = = 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或注：當注：當 f ( x ) 有有限個間斷點時：有有限個間斷點時：為為其其中中系系

5、數(shù)數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1= = = = ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1= = = = ndxlxnxflblln定理定理式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開定理的條件定理的條件滿足收斂滿足收斂的周期函數(shù)的周期函數(shù)設周期為設周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn = = = =2( ) ( )f xf xdx 設是定義在整個實數(shù)軸上的實值函數(shù)，且( )1 ( )= ( )( )2ikxf xFourierF ff kf x edx = = 則則的的變變換換為為：( )( )f xf k也

6、也稱稱為為的的逆逆變變換換。( )1 ( )( )2ikxf xFourierf xf k edk = = 可可以以用用積積分分表表示示：2、非周期函數(shù)的、非周期函數(shù)的Fourier變換變換1 ( )( ( )f xFf k = =1( )d2ikxf k ek = = 11( )d d22ikikxfeekx xxxxx = =()1( )d d2ikxfekx xxxxx = = Fourier變換的基本性質(zhì)：變換的基本性質(zhì)： ()( )F ff k= =（1） 是連續(xù)函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，且 lim( )0kf k = =（2 2）線性）線性: : )()()(gbFfaFbgafF=（3

7、 3）平移：）平移： ( ()( ( )iksF f xseF f x=（4 4）導數(shù)）導數(shù): : ()( )dFfikF fdx=( )( )dFixf xF fdk= 122122( ),( )xkxkxkLff xdxff kdkParsevalff= = = = 2 2在在空空間間和和空空間間，有有 范范數(shù)數(shù)：且且有有等等式式：說明：在平方積分的范數(shù)意義下，說明：在平方積分的范數(shù)意義下，F(xiàn)ourier 變換變換 保持了度量。保持了度量。三、復數(shù)矩陣三、復數(shù)矩陣CccAijnmij=，復數(shù)矩陣：設矩陣)(mnjiHcA=)(共軛轉(zhuǎn)置：IAACAHnn=滿足酉矩陣：如果,AACAHermi

8、teHnn=，滿足矩陣：如果,n nHHACA AAA =正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣：如如果果滿滿足足 第二章、有限差分法的基本知識第二章、有限差分法的基本知識第二章第二章 有限差分方法的基本概念有限差分方法的基本概念第二章第二章 有限差分格式有限差分格式 對于求解的偏微分方程定解問題，有限差分方對于求解的偏微分方程定解問題，有限差分方法的主要步驟如下：法的主要步驟如下：( (i i) )利用網(wǎng)格線將定解區(qū)域化為離散點集；利用網(wǎng)格線將定解區(qū)域化為離散點集；(ii)(ii)通過適當途徑將偏微分方程離散化為差分格通過適當途徑將偏微分方程離散化為差分格 式，不同的離散化途徑得到不同的差分格式；式，不同的離散化

9、途徑得到不同的差分格式；(iv)(iv)利用插值方法，從離散解得到定解問題在整利用插值方法，從離散解得到定解問題在整個區(qū)個區(qū) 域上的近似解域上的近似解(iii)(iii)建立差分格式后，原問題化為代數(shù)方程組，建立差分格式后，原問題化為代數(shù)方程組，解代解代 數(shù)方程組，得到離散點上的近似值組成的離散解數(shù)方程組，得到離散點上的近似值組成的離散解 0,1,2,0, 1, 2,njxtttnnxxjhj = = = = = = = 網(wǎng)網(wǎng)格格剖剖分分可可以以采采用用兩兩組組平平行行于于 軸軸和和 軸軸的的直直線線形形成成的的網(wǎng)網(wǎng)覆覆蓋蓋區(qū)區(qū)域域，它它們們的的交交點點稱稱為為網(wǎng)網(wǎng)格格結(jié)結(jié)點點（節(jié)節(jié)點點）1.

10、 1. 網(wǎng)格的剖分網(wǎng)格的剖分( (區(qū)域的離散化）區(qū)域的離散化）xt0),(njtx(,)( , ).jnx tj n節(jié)節(jié)點點記記為為0h 空空間間間間距距稱稱為為空空間間步步長長，0 時時間間間間距距稱稱為為時時間間步步長長。對于偏微分方程的初值問題，或初邊值問題，求對于偏微分方程的初值問題，或初邊值問題，求解區(qū)域是：解區(qū)域是：0,0| ),(0,| ),(21=tlxtxDtxtxD在在x-t平面上，用平行于坐標軸的兩族平行直線，平面上，用平行于坐標軸的兩族平行直線，將定解區(qū)域剖分為矩形網(wǎng)格將定解區(qū)域剖分為矩形網(wǎng)格h2h2nxOOOOOOOO* *OOODD 內(nèi)內(nèi)部部節(jié)節(jié)點點：一一個個節(jié)節(jié)點

11、點的的所所有有四四個個相相鄰鄰節(jié)節(jié)點點都都屬屬于于邊邊界界節(jié)節(jié)點點：一一個個節(jié)節(jié)點點的的所所有有四四個個相相鄰鄰節(jié)節(jié)點點中中至至少少有有一一 個個不不屬屬于于2 2 微分方程離散微分方程離散( (差分方程）差分方程） 0,0(1.1)( ,0)( )uuaxRttxu xg xxR = = = = 以以最最簡簡單單一一維維對對流流方方程程為為例例，考考慮慮對對流流方方程程的的初初值值問問題題 ( , )()u x tg xat=解解：特特征征線線法法求求解解析析解解：0aa 以以下下假假定定 為為常常數(shù)數(shù)，且且1111(1.1)( , )(,)(,)(,)( ),(1.2)(,)(,)(,)(

12、 ),(1.3)(,)(,)(,)( ),(1.4)(,)(jnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuj nuu x tu x tu x tOtu xtu x tu x tO hhxu x tu xtu x tO hhxu xtu x=設 是方程的解，對于任何節(jié)點， 的微商與差商之間的關(guān)系式向前差商）向前差商）向后差商）12,)(,)(),(1.5)2njntu x tO hhx=中心差商）Taylor 公式展開法（直接差分法）：公式展開法（直接差分法）：211222(,)2 (,)(,)(,)()jnjnjnjnu xtu x tu xtux tO hhx = (1.6)(1.1)(,)(

13、,)0,jnjnuu x tau x ttx=由于 是方程的解，所以滿足 11(1.2)(1.3)(,)(,)(,)(,)jnjnjnjnu x tu x tu xtu x tah因此從和得到 110(1.7)0, 1, 2,.,0,1,2,.(,)nnnnjjjjnjjnhuuuuchjnuu xt = = = = =實實際際取取步步長長 與與 是是較較小小的的量量，這這樣樣可可以以用用方方程程 近近似似代代替替，其其中中表表示示的的近近似似值值。(,)(,)()jnjnu x tau x tOhtx=11(1.7)(),0, 1, 2,0,1,2,(1.7)/(1.7) (1.7)1.1n

14、nnnjjjjuuauujnh = = = = = = = =將將改改寫寫成成便便于于計計算算的的形形式式這這里里稱稱為為網(wǎng)網(wǎng)格格比比。 、稱稱為為（）的的（有有限限）差差分分方方程程。0(1.1)(),0, 1, 2,(1.8)jjjugg xj= = = = 問問題題中中的的初初始始條條件件的的離離散散形形式式是是110(1.1)0(nnnnjjjjjjuuuuahug = = = = 初初值值問問題題的的差差分分格格式式顯顯式式右右偏偏格格式式）注：差分格式隱含了初始條件、邊界條件的離散注：差分格式隱含了初始條件、邊界條件的離散1100(nnnnjjjjjjuuuuahug = = =

15、= 右右偏偏格格式式）顯式、顯式、兩層兩層 22,0(1.3)( ,0)( )(1.4)uuaxRttxu xg xxR = = = = 擴散方程的初值問題擴散方程的初值問題1112222(,)(,)(,)2 (,)(,)(,)(,)()jnjnjnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahu xtau xtOhtt = = 1112222(,)(,)(,)2 (,)(,)(,)(,)()jnjnjnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahu xtau xtOhtx = = 擴散方程可以用如下的差分方程來近似擴散方程可以用如下的差分方程來近似111220,

16、(1.11)nnnnnjjjjjuuuuuah = =0, 1,.,0,1,.jn=便于計算的形式便于計算的形式111(2)nnnnnjjjjjuuauuu =0,0, 1,.jjugj=2h = =稱為網(wǎng)格比稱為網(wǎng)格比.顯式、顯式、兩層兩層 用用Taylor展開建立差分格式展開建立差分格式,等價于用差商來近似等價于用差商來近似微商得到相應的差分格式微商得到相應的差分格式1100(nnnnjjjjjjuuuuahug = = = = 右右偏偏格格式式）1100(nnnnjjjjjjuuuuahuf = = = 左左偏偏格格式式）顯式、顯式、兩層兩層 11100(nnnnjjjjjjuuuuah

17、uf = = = 中中心心差差分分格格式式）顯式、顯式、兩層兩層 2 2 積分插值法積分插值法 1234LLLLL= = oHxtEFGL1L2L3L40Duuadxdttx= 在平面上選取小矩形單元在平面上選取小矩形單元D為積分區(qū)域為積分區(qū)域, 是是D的邊界的邊界,將方程將方程(1.1) 在在D上上積分積分,得到得到 oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH( , ),(1, ),(1,1),( ,1)E j n F jn G jnH j n1111( ,)( ,)(, )(, )0jnjnxtnnjjxtu x tu x t dxau xtu x t dt=11()()0nnnnjjjj

18、uuha uu=采用左矩形積分公式：采用左矩形積分公式：（顯示右偏格式）（顯示右偏格式）在網(wǎng)格中在網(wǎng)格中 oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH1111( ,)( ,)(, )(, )0jnjnxtnnjjxtu x tu x t dxau x tu xt dt=采用右矩形積分公式：采用右矩形積分公式：（顯示左偏格式）（顯示左偏格式）11()()0nnnnjjjjuuha uu= (1, ),( , ),( ,1),(1,1)E jn F j n G j nH jn在網(wǎng)格中在網(wǎng)格中 oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH1111(, ),(, ), (,1),(,1)2222E jn

19、F jnG jnH jn1121211122( ,)( ,)(, )(, )0njnjxtnnxtjju x tu x t dxau xtu xt dt=11122( (,)(,)( (,)(,)0jnjnnnjju x tu x tha u xtu xt =采用中點及矩形積分公式：采用中點及矩形積分公式：（顯示中心格式）（顯示中心格式）1110nnnnjjjjuuuuah =),21,21(),21,21(),21,21(),21,21(, jnjnjnjnHGFE依依次次為為在在網(wǎng)網(wǎng)格格中中，點點oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH1111()nnnnjjjjauuuuh = = 這這是是一一個個