高數(shù)極限60題及解題思路

1、高數(shù)極限60題1.求數(shù)列極限 lim (sin Jn 1 sin 4) nn k .2.設(shè) Sn,其中 bk (k 1)!,求 limSnk 1 bkn3.求數(shù)列極限lim (1 2q 3q2 nqn 1),其中q 14 .求數(shù)列極限 lim Vn2 4n 5 (n 1)。 n5 .求數(shù)列極限 lim(1 -12)(1 -).(1 J2)。6 .求極限 lim (x 1)2 (2x 1)2 (3x 1)2 (10x 1)2 x(10x 1)(1僅 1)7.求極限 lim (<4x2 8x 5 2x 1) x8.討論極限limx3x2 x2e 3e, 3x2x4e e9.求極限 lim t

2、an2x tanx 410.求極限33x 2 2lim x 2 x 211.求極限 lim (1 2x)5(14x)3x 0x12.求極限xim0.1 tan x ' sin x 13x2 2cosx13.討論極限lim 。x 0 x14.求數(shù)列極限lim 2n sin15.設(shè) x1a 0,且 xn2n 1向,證明:lim xn存在，并求出此極限值。 n16.設(shè) x12，且 xn 1J2 4，證明:lim xn存在，并求出此極限值。 n1 N N22321.-2- （ n為正整數(shù)），求證：lim xn存在。 nn18.求數(shù)列極限lim 乙。n n!19.求極限limxln(2 3e2x

3、)ln(3 2e3x)20.求極限lim x21 .無限循環(huán)小數(shù) 0.9的值(A)不確定(B)小于1 (C)等于1 (D)無限接近1222 .求數(shù)列極限lim (sec)n23 .應(yīng)用等價(jià)無窮小性質(zhì)，求極限xm0arctanQ x) arctan 1 x)124 .求極限 lim (1 4x)2(116x)325 .求極限limx 01(1 ax)n 1(n為自然數(shù)),a0。26 .設(shè) f (x) sin x2sin 3x sin 5x, g(x)0 時(shí),f(x)g(x)。/、2/、2227 .設(shè) f (x) e(a x) e(a x)2ea ( a為常數(shù))，g(x) Axn求 A及 n ,使

4、當(dāng) x 0 時(shí)，f(x)g(x)。A28 .設(shè) f(x) xx 2 2«x 1 Jx, g(x)二，x求A及k ,使當(dāng)x 時(shí)，f (x) g(x) otanx 3x .一 e e29 .求極限lim ox 0 sin x1 xax -1230.求極限 lim (-)x(a 0, b 0,a 1,b 1,a b)x 0 1 xbxln(secx tanx)31.求極限hm -。x 0 sinx b32.求極限 lim ln(1 eax)ln(1 b) ( a, b為常數(shù)，且 a 0) x33.求極限 lim (x 2)ln(x 2) x2(x 1)ln(x1) xlnxx。34.求數(shù)列

5、極限11lim(- en)n。 n n35.求數(shù)列極限n a nb n lim(-)n, n 2其中a 0, b0。36.求數(shù)列極限lim sin( . n2a2n37.求極限limx 02ln( 1 x x ) ln(1 xsecx cosxx2)o38.求極限1 cosx2 lim x 0 1 cosx39.設(shè) X40.求極限41.求極限1 求極限 lim (1 x)(1nx xcosxe elim廠x 0 xln(1 x )x2)(1x4).(12、x )。x xximjnim90s2cos/.cos卻。42.設(shè)有數(shù)列an滿足an 0且lim nanr ,(0nr 1),試按極限定義證明

6、：lim an043.求極限limx 1(.x1)(3. x 1).(n x 1)n 1(x 1)44.設(shè)有數(shù)列an滿足lim (an 1 an) 0,試判斷能否由此得出極限 nlim an存在的結(jié)論。 n45.段叫國(guó)存在，lim g(x)存在，則lim f(x)是否必存在?x Xo46.試證明47.求極限1 -lim cos-不存在。x 0 xn 1 lim n(arctannn2x22a x (b cosx)n 、 arctan)n 11,(a 0),試確te a , b的值。249.求極限lim (vx v'x Jx x'x) o x50.求極限xsinx cos2xxt

7、an x51.求極限xim04 tan x , 4 sin xtanx esin x e52.設(shè) xn2xn2 ,xn (n 1,2,)，根據(jù)x1的不同，討論極限lim xn o n53.設(shè) a1匕，令 an 1Janbn，bn 1(n 1,2,.),試證明：lim an 存在，lim bn存在，且lim anlim bn54 .求極限 jm xsin ln(155 .下列極限中存在的是Alimxx2 1B.limx 03) xsinln(1I。x56.設(shè)有兩命題:命題"a"：若limX x0f(x)命題"b"：若limx xg11 exC.limx1x

8、sin 一 xD.lim -x 0 2xf (x)存在,A"a", "b"都正確C."a"不正確,"b"正確57.若 lim anA(AnA anC. anlim g(x)存在,且x x0g(Xo)°,limx x0 g(x)lim g(x)不存在，則 limf(x)x x。x x0g(x)必不存在。B."a"正確,"b"不正確D." a"," b"都不正確0),則當(dāng)n充分大時(shí)，必有B.anD.an58.數(shù)列an無界是數(shù)列發(fā)散

9、的A必要條件B.充分條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件59.求極限 lim ('xxJx & V x 'G)Jx。60.求極限lim 2x x 0210xsinx 11cos x 2cosx 9 O 22x 2 1 x sin(x arctanx) sin2x解題思路(供參考)1.三角函數(shù)和差化積公式2.k(k 1)!1k!1(k 1)!3 .錯(cuò)位相減法化簡(jiǎn)4 .分子分母同乘，n2 4n 5 (n 1)1 n 1 n 15 . 1 12 22 32 . 10210 11n n n6 .分子分母最高次都是x2 ,極限為最高次系數(shù)比7 .令tx再分子分母同乘 J4

10、t2 8t 5 (2t 1)。8 .分X 和X 討論。9 .三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)。10 .分子分母同乘 3-;(3x 2)2 2V3x 2 4。11 .洛必達(dá)法則。12 .分子分母同乘 J1 tan x Jsin x 1 ,再用等價(jià)無窮小。22. 1 ,化成重要極限來求。23. arctana arctanb13 .分X0和x14 .利用函數(shù)極限來解15 .數(shù)學(xué)歸納法，猜想16 .數(shù)學(xué)歸納法，猜想17 .適當(dāng)放大證明xn18 .設(shè) xn n! n 2n19 .洛必達(dá)法則。20 .分子最高次1。21 .找不到一個(gè)數(shù)處于0討論。1x 。2nxn 1 xn。xn 2。2。當(dāng)n某數(shù)時(shí)xn 0?0.9和1之

11、間。 a barctan。1 ab24 .洛必達(dá)法則。25 .等價(jià)無窮小。26 .兩次洛必達(dá)法則。27 .兩次洛必達(dá)法則。128 .令t ,兩次洛必達(dá)法則。X29 .洛必達(dá)法則。30 .先用重要極限，再用洛必達(dá)法則。31 .洛必達(dá)法則。32 .先用重要極限，再用洛必達(dá)法則。-133 .令t ,化簡(jiǎn)后兩次洛必達(dá)法則X34 .先用重要極限，再用等價(jià)無窮小。35 .先用重要極限，再用等價(jià)無窮小。36. lim n37 .化簡(jiǎn)后用等價(jià)無窮小。38 .用三角函數(shù)公式去掉分子中的根號(hào)。39 .分子分母同乘1 X。40 .等價(jià)無窮小。x41 .分子分母同乘sin o2n42 . n；'anr 1。十

12、十 n x 143 .先求 lim11. o3n2k 和2 k2不相等x 1 x 1彳1 44. an 1 -245 .略。46 .令 t 1, tX147 .利用函數(shù)極限來解 x n48 .略。49 .分子分母同乘 x x xX fx <x o50 .洛必達(dá)法則。51 .分子分母同乘 J4tan x V4 sin x52 .分0 x1 2 , x1 0和x1 2討論，數(shù)學(xué)歸納法53.先證bn 1an 1 , an 1an , bn 1bn。-154.令 t _ X55.略56.命題"a"：叫g(shù)(x)0 ；命題"b":反證法57. A an A58

13、.數(shù)列發(fā)散時(shí)可為震蕩數(shù)列59 .分子分母同乘（X JX一示60 .化簡(jiǎn)分成兩個(gè)極限求解。X X)( . X X , x)答案（供參考）1. 02. 13.-1-4. 3 5.(1 q)227-16.7. 3 8. lim f (x) lim f (x)32X2 X11. -212.113.416. lim Xn217.略n221. C 22. eT 23. 1lim f (x) 1 lim f (x)1X 0X 018. 019.220. 03 a24. -425.一n9.14.10.215. lim xnan26. A31. 136. 041. 146.略151. 一424, n 2 27. A (4a2 2)ea , n