高二數(shù)學(xué)橢圓試題(有答案)

1、高二數(shù)學(xué)橢圓試題一：選擇題1.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）Am2或m1Bm2C1m2Dm2或2m1解：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上m22+m，即m22m0解得m2或m1又2+m0m2m的取值范圍：m2或2m1故選D2.已知橢圓，長(zhǎng)軸在y軸上、若焦距為4，則m等于（）A4B5C7D8解：將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，顯然m210m，即m6，解得m=8故選D3橢圓（1m）x2my2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（）ABCD解：由橢圓（1m）x2my2=1，化成標(biāo)準(zhǔn)方程：由于，橢圓（1m）x2my2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2a=2=故選B4已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓+=1（k1）的左、右焦點(diǎn)，弦AB過點(diǎn)F1，若

2、ABF2的周長(zhǎng)為8，則橢圓的離心率為（）ABCD解：由橢圓定義有4a=8a=2，所以k+2=a2=4k=2從而b2=k+1=3，c2=a2b2=1，所以，故選A5已知ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B （0，4），C （0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）解：ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)B （0，4），C （0，4），BC=8，AB+AC=208=12，128點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，點(diǎn)A的軌跡是橢圓，a=6，c=4b2=20，橢圓的方程是故選B6方程=10，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）ABCD解：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得：表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)F1（2，0）的距離，表

3、示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)F2（2，0）的距離，所以原等式化簡(jiǎn)為|PF1|+|PF2|=10，因?yàn)閨F1F2|=210，所以由橢圓的定義可得：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，并且a=5，c=2，所以b2=21所以橢圓的方程為：故選D7設(shè)是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則方程x2siny2cos=1表示的曲線是（）A焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D焦點(diǎn)在y軸上的橢圓解：因?yàn)椋?，），且sin+cos=，所以，（ ，），且|sin|cos|，所以（ ，），從而cos0，從而x2siny2cos=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓故選 D8.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于

4、點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）ABCD解：設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，坐標(biāo)為，F(xiàn)1PF2為等腰直角三角形|PF2|=|F1F2|，即，即故橢圓的離心率e=故選D9.從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（）ABCD解：依題意，設(shè)P（c，y0）（y00），則+=1，y0=，P（c，），又A（a，0），B（0，b），ABOP，kAB=kOP，即=，b=c設(shè)該橢圓的離心率為e，則e2=，橢圓的離心率e=故選C10.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)

5、，則的最大值為（）A2B3C6D8解：由題意，F(xiàn)（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則有，解得，因?yàn)椋?，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x0=2，因?yàn)?x02，所以當(dāng)x0=2時(shí)，取得最大值，故選C11.如圖，點(diǎn)F為橢圓=1（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）ABCD解：設(shè)線段PF的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F，由題意知，OM=b，又OM是FPF的中位線，OM=PF=b，PF=2b，由橢圓的定義知 PF=2aPF=2a2b，又 MF=PF=（2a2b）=ab，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（ab）2

6、+b2=c2，又a2b2=c2，可求得離心率 e=，故答案選 B12橢圓頂點(diǎn)A（a，0），B（0，b），若右焦點(diǎn)F到直線AB的距離等于，則橢圓的離心率e=（）ABCD解：由題意可得直線AB的方程為即bx+ayab=0，F(xiàn)（c，0）F（c，0）到直線AB的距離d=，|AF|=ac則a2=3b2a2=3a23c2即3c2=2a2=故選B13已知橢圓+=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)，且|PF1|PF2|的最大值的取值范圍是2c2，3c2，其中c=則橢圓的離心率的取值范圍為（）A，B，1）C，1）D，解：|PF1|PF2|的最大值=a2，由題意知2c2a23c2，故橢圓m的離

7、心率e的取值范圍 故選A14在橢圓中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左右焦點(diǎn)，若|PF1|=2|PF2|，則該橢圓離心率的取值范圍是（）ABCD解：根據(jù)橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，將設(shè)|PF1|=2|PF2|代入得，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，|PF2|ac，故，即a3c，故，即，又e1，故該橢圓離心率的取值范圍是故選B二：填空題15.已知F1、F2是橢圓C：（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且若PF1F2的面積為9，則b=3解：由題意知PF1F2的面積=，b=3，故答案為316若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是4k7解：+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，k17k04k7故k的取值范圍是4

8、k7故答案為：4k717.已知橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)t=2，3，6解：當(dāng)t25t0即t5時(shí)，a2=t2，b2=5t此時(shí)c2=t25t=6解可得，t=6或t=1（舍）當(dāng)0t25t即0t5時(shí)，a2=5t，b2=t2此時(shí)c2=a2b2=5tt2=6解可得，t=2或t=3綜上可得，t=2或t=3或t=6故答案為：2，3，618.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC頂點(diǎn)A（4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓上，則=解：利用橢圓定義得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案為19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑作圓M，若過作圓M的兩條切

9、線相互垂直，則橢圓的離心率為 解：設(shè)切線PA、PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，所以O(shè)AP是等腰直角三角形，故，解得，故答案為20.若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)（1，）做圓x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程是解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）則即m2+n2=1m即AB的直線方程為2x+y2=0線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)2c2=0；b2=0解得c=1，b=2所以a2=5故橢圓方程為故答案為三：解答題21.已知F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)（1）求|PF1|PF2|的最大值；（2）若F1PF2=60°且F1PF2的面積

10、為，求b的值解：（1）P點(diǎn)在橢圓上，|PF1|+|PF2|=|2a=20，|PF1|0，|PF2|0，|PF1|PF2|=100，|PF1|PF2|有最大值100（2）a=10，|F1F2|=2c設(shè)|PF1|=t1，|PF2|=t2，則根據(jù)橢圓的定義可得：t1+t2=20，在F1PF2中，F(xiàn)1PF2=60°，所以根據(jù)余弦定理可得：t12+t222t1t2cos60°=4c2，由2得3t1t2=4004c2，所以由正弦定理可得：=所以c=6，b=822.如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：（ab0）的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1AF2=60

11、°（）求橢圓C的離心率；（）已知AF1B的面積為40，求a，b 的值解：（）F1AF2=60°a=2ce=（）設(shè)|BF2|=m，則|BF1|=2am，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120°（2am）2=m2+a2+amm=AF1B面積S=|BA|F1F2|sin60°=40a=10，c=5，b=523.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，

12、求出直線l的方程；若不存在，說明理由解：（1）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為（a0，b0），且可知左焦點(diǎn)為F（2，0），從而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故橢圓C的方程為（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=x+t，由得3x2+3tx+t212=0，因?yàn)橹本€l與橢圓有公共點(diǎn)，所以有=（3t）24×3（t212）0，解得4t4，另一方面，由直線OA與l的距離4=，從而t=±2，由于±24，4，所以符合題意的直線l不存在24.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1斜率為1的直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|

13、成等差數(shù)列（1）求E的離心率；（2）設(shè)點(diǎn)P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程解：（I）由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得l的方程為y=x+c，其中設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡(jiǎn)的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0則因?yàn)橹本€AB斜率為1，得，故a2=2b2所以E的離心率（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為N（x0，y0），由（I）知，由|PA|=|PB|，得kPN=1，即得c=3，從而故橢圓E的方程為25.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為（） 求

14、橢圓的方程；（） 設(shè)A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)若，求k的值解：（I）根據(jù)橢圓方程為過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，=，離心率為，=，解得b=，c=1，a=橢圓的方程為；（II）直線CD：y=k（x+1），設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又A（，0），B（，0），=（x1，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1）=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=8，解得k=26.設(shè)橢圓E：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（）求橢圓E的方程；（）是否存

15、在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個(gè)交點(diǎn)A，B且？若存在，寫出該圓的方程，關(guān)求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由解：（1）因?yàn)闄E圓E：（a，b0）過M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m解方程組得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，則=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，即8k2m2+40，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m28k28=0，所以又8k2m2+40，

16、所以，所以，即或，因?yàn)橹本€y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為，所求的圓為，此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且因?yàn)椋裕?，當(dāng)k0時(shí)因?yàn)樗裕?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”2當(dāng)k=0時(shí)，27.已知直線x2y+2=0經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線分別交于M，N兩點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；（3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得TSB的面積為？若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（2，0），上頂點(diǎn)為D（0，1），a=2，b=1故橢圓C的方程為（4分）（2）依題意，直線AS的斜率k存在，且k0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0設(shè)S（x1，y1），則得，從而即，（6分）又B（2，0）由得，（8分）故又k0，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值（10分