高考數(shù)學二輪專名師講義：第10講等差數(shù)列與等比數(shù)列含答案

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5專題三 數(shù)列第10講等差數(shù)列與等比數(shù)列 1. 理解等差、等比數(shù)列的概念，掌握等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式2. 數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，在考試說明中，等差、等比數(shù)列都是c級要求，因而考試題多為中等及以上難度，試題綜合考查了函數(shù)與方程，分類討論等數(shù)學思想填空題常常考查等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算求解能力；解答題綜合性很強，不僅考查數(shù)列本身的知識而且還涉及到函數(shù)、不等式、解析幾何等方面的知識，基本上都是壓軸題1. 在等比數(shù)列an中，已知a11，a48.設(shè)s3n為該數(shù)列的前3n項和，tn為數(shù)列a的前n項和若s3n

2、ttn，則實數(shù)t的值為_答案：7解析： a4a1q3q38， q2，s3n8n1.由題意數(shù)列a是首項為1，公比為8的等比數(shù)列， tn(8n1)，由s3nttn，得t7.2. 已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，以sn表示an的前n項和，則使得sn達到最大值時的n值是_答案：20解析： an412n， a200，a210.3. 已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10，2(anan2)5an1，則數(shù)列的通項公式an_答案：2n解析： aa10， (a1q4)2a1q9， a1q， anqn. 2(anan2)5an1， 2an(1q2)5anq， 2(1q2)5q，解得q2或

3、q(舍去)， an2n. 4. 設(shè)x、y、z是實數(shù)，若9x、12y、15z成等比數(shù)列，且、成等差數(shù)列，則_答案：解析：由題知解得xzy2y2，xzy，從而22.題型一 等差、等比數(shù)列基本量的計算例1 等差數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a11，前n項和為sn；bn為等比數(shù)列，b11，前n項和為tn，且b2s212，b3s381.(1) 求an與bn; (2) 求sn與tn；(3) 設(shè)cnanbn，cn的前n項和為mn，求mn.解：(1) 設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正數(shù)，an1(n1)d，bnqn1.依題意有解得或(舍去)故an12(n1)，即an2n1，bn3n1.(2) sn135(

4、2n1)n2，tn.(3) cn(2n1)×3n1，mn13×35×32(2n1)×3n1，3mn1×33×325×33(2n1)×3n，得2mn12×32×322×3n1(2n1)×3n，即mn(n1)×3n1.已知等差數(shù)列an的公差d不為0，且a3a，a2a4a6.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，求滿足sn2an200的所有正整數(shù)n的集合解：(1) 由a3a，得a12d(a16d)2.由a2a4a6，得a1d2a18d，即a17

5、d.代入，得5dd2. d5，或d0(不符合題意，舍去)則a135. an35(n1)(5)5n40.(2) sn.不等式sn2an200，即2(5n40)200.整理得n219n400. n.則n，即2n17. nn*， 所求n的值的集合為3，4，16題型二 等差、等比數(shù)列的證明與判定例2 數(shù)列an滿足a11，nan1(n1)ann(n1)，nn*.(1) 證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2) 設(shè)bn3n·，求數(shù)列bn的前n項和sn.(1) 證明：由已知可得1，即1，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2) 解： 由(1)得1(n1)·1n，所以ann2，從而可得bnn

6、3;3n.sn1×312×32(n1)×3n1n×3n，3sn1×322×33(n1)3nn×3n1.得2sn31323nn·3n1n·3n1，所以sn. 已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，a11，s393.(1) 求數(shù)列an的通項an與前n項和sn；(2) 設(shè)bn(nn*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列(1) 解：由已知得 d2，故an2n1，snn(n)(2) 證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2

7、(p)(r)， (q2pr)(2qpr)0. p、q、rn*， pr，即(pr)20, pr.這與pr矛盾，故數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列題型三 可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題例3 已知數(shù)列an中，a11，anan12n(nn*)，bn3an.(1) 試證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；(2) 在數(shù)列bn中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，說明理由；(3) 試證在數(shù)列bn中，一定存在滿足條件1rs的正整數(shù)r、s，使得b1，br，bs成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r、s之間的關(guān)系(1) 證明：由anan12n，得an12nan，所以1.因為a

8、1，所以數(shù)列an×2n是首項為，公比為1的等比數(shù)列，所以an×2n×(1)n1，即an2n(1)n，所以bn2n(1)n.(2) 解：假設(shè)在數(shù)列bn中，存在連續(xù)三項bk1，bk，bk1(kn*, k2)成等差數(shù)列，則bk1bk12bk，即2k1(1)k12k1(1)k122k(1)k，即2k14(1)k1. 若k為偶數(shù)，則2k10，4(1)k140，所以不存在偶數(shù)k，使得bk1，bk，bk1成等差數(shù)列； 若k為奇數(shù)，則當k3時，2k14，而4(1)k14，所以，當且僅當k3時，bk1，bk，bk1成等差數(shù)列綜上所述，在數(shù)列bn中，有且僅有連續(xù)三項b2，b3，b4成

9、等差數(shù)列(3) 證明：要使b1，br，bs成等差數(shù)列，只需b1bs2br，即32s(1)s22r(1)r，即2s2r1(1)s2(1)r3.(*) 若sr1，在(*)式中，左端2s2r10，右端(1)s2(1)r3(1)s2(1)s33(1)s3，要使(*)式成立，當且僅當s為偶數(shù)時又sr1，且s、r為正整數(shù)，所以當s為不小于4的正偶數(shù)，且sr1時，b1，br，bs成等差數(shù)列； 若sr2，在(*)式中，左端2s2r12r22r12r1，由(2)可知，r3，所以r14，所以左端2s2r116(當且僅當s為偶數(shù)、r為奇數(shù)時取“”)，右端(1)s2(1)s30，所以當sr2時，b1，br，bs不成等

10、差數(shù)列綜上所述，存在不小于4的正偶數(shù)s，且sr1，使得b1，br，bs成等差數(shù)列. 題型四 數(shù)列的綜合應用例4 已知數(shù)列an滿足a1n22n(其中常數(shù)0，nn*)(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 當4時，是否存在互不相同的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列？若存在，給出r、s、t滿足的條件；若不存在，說明理由；(3) 設(shè)sn為數(shù)列an的前n項和，若對任意nn*，都有(1)snan2n恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：(1) a13，當n2時，由a1n22n, 得a1(n1)22(n1)，得2n1，所以an(2n1)·n1(n2)，因為a13，所以an(2n1)·

11、n1(nn*)(2) 當4時，an(2n1)·4n1.若存在ar，as，at成等比數(shù)列，則(2r1)·4r1(2t1)·4t1(2s1)2·42s2，整理得(2r1)(2t1)4rt2s(2s1)2.由奇偶性知rt2s0，所以(2r1)(2t1)(rt1)2，即(rt)20.這與rt矛盾，故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列(3) sn3572(2n1)n1.當1時，sn357(2n1)n22n；當1時，sn3572(2n1)n1，sn352(2n1)n1(2n1)n，則(1)sn32(23n1)(2n1)n32×(2

12、n1)n.要對任意nn*，都有(1)snan2n恒成立， 當1時，左(1)snanan2n12，結(jié)論成立； 當1時，左(1)snan32×(2n1)nan32×，因此，對任意nn*，都有·n恒成立當01時，只要n對任意nn*恒成立，即只要有即可，解得1或，因此當01時，結(jié)論成立；當2時，·n對任意nn*恒成立不可能；當12時，只要n對任意nn*恒成立，即只要，解得1，因此當1時，結(jié)論成立綜上，實數(shù)的取值范圍為.1. (20xx·江蘇卷)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a62a4，則a6_答案：4解析：設(shè)公比為q，因為a21，則由a

13、8a62a4得q6q42q2，q4q220，解得q22，所以a6a2q44.本題主要考查等比數(shù)列的通項公式2. (20xx·廣東卷)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1a54，則log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_答案：5解析：由等比數(shù)列性質(zhì)知a1a5a2a4a4. an>0， a32， a1a2a3a4a5(a1a5)·(a2a4)·a325， log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.3. (20xx·天津卷)設(shè)an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，sn為

14、其前n項和若s1、s2、s4成等比數(shù)列，則a1_答案：解析： an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，sn為其前n項和， s1a1，s22a11，s34a16，由s1、s2、s3成等比數(shù)列，得ss1·s4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1.4. (20xx·江西卷)在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項和為sn，當且僅當n8時sn取得最大值，則d的取值范圍為_答案：解析：因為a17>0，當且僅當n8時sn取最大值，可知d<0且同時滿足a8>0，a9<0， 解得1<d<， 1<d<.5. (20xx·江西卷

15、)已知數(shù)列an的前n項和sn，nn*.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 證明：對任意的n>1，都存在mn*，使得a1、an、am成等比數(shù)列(1) 解：由sn，得a1s11.當n2時，ansnsn13n2，a1也符合上式，所以數(shù)列an的通項公式為an3n2.(2) 證明：要使得a1、an、am成等比數(shù)列，只需要aa1·am，即(3n2)21·(3m2)，即m3n24n2.而此時mn*，且mn，所以對任意的n1，都存在mn*，使得a1、an、am成等比數(shù)列6. (20xx·湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1、a2、a5成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列an的

16、通項公式(2) 記sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由解：(1) 設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意知，2、2d、24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4，當d0時，an2；當d4時，an2(n1)·44n2，從而得數(shù)列an的通項公式為an2或an4n2.(2) 當an2時，sn2n，顯然2n<60n800，此時不存在正整數(shù)n，使得sn>60n800成立當an4n2時，sn2n2.令2n2>60n800，即n230n400>0，解得n>40或n<1

17、0(舍去)，此時存在正整數(shù)n，使得sn>60n800成立，n的最小值為41.綜上，當an2時，不存在滿足題意的正整數(shù)n；當an4n2時，存在滿足題意的正整數(shù)n，其最小值為41.(本題模擬高考評分標準，滿分16分)(20xx·蘇州期末)設(shè)數(shù)列an滿足an12ann24n1.(1) 若a13，求證：存在f(n)an2bnc(a、b、c為常數(shù))，使數(shù)列anf(n)是等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式；(2) 若an是一個等差數(shù)列bn的前n項和，求首項a1的值與數(shù)列bn的通項公式(1) 證明： an12ann24n1，設(shè)an1a(n1)2b(n1)c2(anan2bnc)，(2分)即a

18、n12anan2(b2a)ncab.(4分) a1，b2，c0.(6分) a1122， 存在f(n)n22n，使數(shù)列ann22n是公比為2的等比數(shù)列(8分) ann22n2×2n12n.則an2nn22n.(10分)(2) 解： an12ann24n1，即an1(n1)22(n1)2(ann22n)， ann22n(a11)2n1，即an(a11)2n1n22n.(12分) bn(14分) bn是等差數(shù)列， a11，bn2n3.(16分)1. 若數(shù)列an，bn的通項公式分別是an(1)n2 011·a，bn2，且anbn對任意nn*恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是_答案：2，1

19、解析： a0時，an的最大值為a(n取奇數(shù))，bn的最小值為1，若an<bn對任意nn*恒成立，則a<1；a0時，bn0，anbn恒成立；a0時，an的最大值為a(n取偶數(shù))，bn2，則a2.綜上，a2，1)2. 已知無窮數(shù)列an中，a1，a2，am是首項為10，公差為2的等差數(shù)列；am1，am2，a2m是首項為，公比為的等比數(shù)列(其中 m3，mn*)，并對任意的nn*，均有an2man成立(1) 當m12時，求a2 010；(2) 若a52，試求m的值；(3) 判斷是否存在m(m3，mn*)，使得s128m32 010成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由解： (1) 當m12時，數(shù)列的周期為24. 2 01024×8318，而a18是等比數(shù)列中的項， a2 010a18a126.(2) 設(shè)amk是第一個周期中等比數(shù)列中的第k項，則amk. ， 等比數(shù)列中至少有7項，即m7，則一個周期中至少有14項， a52最多是第三個周期中的項若a52是第一個周期中的項，則a52am7， m52745；若a52是第二個周