高考數(shù)學(xué)藝體生百日突圍專題08平面向量基礎(chǔ)篇含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.520 xx 藝體生文化課-百日突圍系列專題專題 8 8 平面向量平面向量平面向量的坐標(biāo)運算【背一背基礎(chǔ)知識】1.平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與 x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量 i，j 作為基底對于平面內(nèi)的一個向量 a，有且只有一對實數(shù) x，y 使 axiyj，把有序數(shù)對叫做向量( , )x ya 的坐標(biāo)，記作 a，其中叫做 a 在 x 軸上的坐標(biāo)，叫做 a 在 y 軸上的坐標(biāo)( , )x yxy設(shè)xiyj，則 向量的坐標(biāo)就是終點 a 的坐標(biāo)，即若(x，y)，則 a 點oa oa ( , )x yoa 坐標(biāo)為，反之亦成立(o 是坐標(biāo)原點)(

2、 , )x y2向量的運算(1)加法、減法、數(shù)乘運算(2)向量坐標(biāo)的求法已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量終點ab 2121(,)xx yy的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，則 a 與 b 共線a=b.12210 x yx y4平面向量的有關(guān)運算(1)兩個非零向量平行(共線)的充要條件：abab.兩個非零向量垂直的充要條件：abab0|ab|ab|.(2)若 a(x，y)，則. 22| |=xyaaa(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則.222121|=abxxyy (4)若 a(x

3、1，y1)，b(x2，y2)， 為 a 與 b 的夾角，則.121222221122cos|x xy yxyxyaba b【講一講基本技能】1.必備技能：必備技能：(1) 向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)有所不同，相等向量的坐標(biāo)是相同的，但起點、終點的坐標(biāo)卻可以不同，以原點 o 為起點的向量的坐標(biāo)與點 a 的坐標(biāo)相同oa (2) 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件不能表示成，因為 x2，y2有可x1x2y1y2能等于 0，所以應(yīng)表示為 x1y2x2y10.同時，ab 的充要條件也不能錯記為：x1x2y1y20，x1y1x2y20 等2.典型例題典型例題例 1 已知點，向量，則向量

4、( )(0,1),(3,2)ab( 4, 3)ac bc （a） （b） （c） （d）( 7, 4)(7,4)( 1,4)(1,4)【答案】a【解析】=（3,1） ，=(-7,-4)，故選 a.aboboa bc acab 【考點定位】向量運算【名師點睛】對向量的坐標(biāo)運算問題，先將未知向量用已知向量表示出來，再代入已知向量的坐標(biāo)，即可求出未知向量的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題.例 2設(shè)，若，則實數(shù)的值等于（ ）(1,2)a (1,1)b cakbbcka b c d32535332【答案】a【解析】【考點定位】平面向量數(shù)量積【名師點睛】本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算以及平面向量基本定理，由已知的坐

5、標(biāo)計算的坐標(biāo)，再利用已知條件列方程求參數(shù)的值；本題還可以先利用向量運, a b c算，即，0b c ，再引入坐標(biāo)運算，屬于中檔題20a bkb 【練一練趁熱打鐵】1.設(shè)e e1，e e2是兩個不共線的向量，且a ae e1e e2與b be e2e e1共線，則實數(shù)()13a. 1 b. 3 c. d. 1313【答案】d【解析】 2.已知向量=， =, 若(), 則的值為a ) 1 , 2(b )2, 1 ( manb )8, 9( rnm,nm _.【答案】3【解析】由題意得：29,282,5,3.mnmnmnmn 【考點定位】向量相等【名師點晴】明確兩向量相等的充要條件，它們的對應(yīng)坐標(biāo)相

6、等.其實質(zhì)為平面向量基本定理應(yīng)用. 向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示：若，則1122()()axybxy，a b.向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示：若，則12210 x yx y -1122()()axybxy，.ab1212+0 x xy y 平面向量的數(shù)量積【背一背基礎(chǔ)知識】1.兩個向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量 a 和 b，作a，b，則aob 叫做向量 a 與 b 的夾oa ob 角 (2)范圍：向量夾角 的范圍是 0180，a a與b b同向時，夾角 0；a a與b b反向時，夾角 180.(3)向量垂直：如果向量 a 與 b 的夾角是，則 a 與 b 垂直，記作 ab.902平面向量

7、數(shù)量積的意義(1)a，b 是兩個非零向量，它們的夾角為 ， 則數(shù)|a|b|cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積，記作ab，即 ab|a|b| cos 規(guī)定 0a0. 當(dāng) ab 時，90，這時 ab0.(2)ab 的幾何意義：a ab b等于a a的長度|a a|與b b在a a的方向上的投影|b b|cos 的乘積3向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)如果 e 是單位向量，則 aeeaa|cosa，e (2)abab0 且 ab0ab.(3)aa|a|2 ，|a|. (4)cosa，b. (5)|ab|a|b|.aaab|a|b|4數(shù)量積的運算律(1)交換律 abba. (2)分配律(ab)cacbc.(3)

8、對 r，(ab)(a)ba(b) 5數(shù)量積的坐標(biāo)運算設(shè) a(a1，a2)，b(b1，b2)，則(1)ab. (2)ab. (3)|a|.1 122aba b1 122aba b02212aa(4)cosa，b.1 12222221212aba baabb【講一講基本技能】1.必備技能：必備技能：（1） 數(shù)量積的運算要注意 a0 時，ab0，但 ab0 時不能得得到 a0 或 b0，因為ab 時，也有 ab0.（2）若 a、b、c 是實數(shù)，則 abacbc(a0)；但對于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量 a、b、c 滿足 abac(a0)，則不一定有 bc，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以

9、同時乘以一個向量（3） 利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：|a|2a2aa；|ab|2a22abb2；若 a(x，y)，則|a|.22xy（4）已知 a 與 b 為不共線向量，且 a 與 b 的夾角為 ，則ab0090；ab090；ab090180.特別的：在利用兩向量的夾角公式判斷夾角的取值范圍時，要注意兩向量是否共線（5） 證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件：ababx1y2x2y10(b0)（6）證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：abab0 x1x2y1y20.（7）與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及其應(yīng)用是高考

10、熱點題型解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式、向量模、夾角的坐標(biāo)運算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識2.典型例題典型例題例 1 在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，x ycda1, 2a ，則（ ）d2,1adcaa a b c 234d5【答案】d【解析】因為四邊形是平行四邊形，所以cda，所以，故選 d cd1, 22,13, 1a a a dc2 3 115aa 【考點定位】1、平面向量的加法運算；2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算【名師點晴】本題主要考查的是平面向量的加法運算和數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于較難題解題時要注意運行平行四邊形法則的特點，否則很容易出現(xiàn)錯誤解

11、本題需要掌握的知識點是平面向量加法的坐標(biāo)運算和數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即若，11,ax y，則，22,bxy1212,abxxyy1212a bx xy y例 2 已知非零向量滿足則的夾角為（ ）, a b| |=4| |(+ )baaa b，且2ab與(a) (b) (c) (d) 323265【答案】c【解析】【考點定位】向量的數(shù)量積運算及向量的夾角.【名師點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算與向量夾角之間的關(guān)系，采用兩向量垂直時其數(shù)量積為零來進行轉(zhuǎn)化.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準(zhǔn)確性.例 3中，點 m 在邊 ab 上，且滿足，則abc90 ,2ccacb3bmma （ ）cm cb a b1 c2

12、d1213【答案】b【解析】試題分析：由已知得23332()42 22 ()4442cm cbcbba cbcbba cb 1【練一練趁熱打鐵】1. 設(shè)，是非零向量， “”是“”的（ ）aba ba b/a ba充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【考點定位】充分必要條件、向量共線.【名師點晴】本題主要考查的是充分必要條件和向量共線，屬于容易題解題時一定要注意時，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯誤充分、必要pqpqqp條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進行等價轉(zhuǎn)化2.已知向量與的夾角為，且，若，且a

13、b ac1203,2,abac apabac ，則實數(shù)的值為_.apbc 【答案】712【解析】由得,bcacab apbc 0,abacacab 所以2210,ab acacab 171 3 2490,.212 （一）（一） 選擇題（選擇題（12*5=60 分）分）1.已知平面向量，與垂直，則是（ ）) 3, 1 ( a)2, 4( bba a a1 b1 c2 d2【答案】a【解析】試題分析：，由與垂直得，)23, 4(baba a0)23(34.12.向量、的夾角為，且，則等于 （ ）ab601a 2b 2aba1 b c2 2d4【答案】c【解析】，選.222444442abaabbc

14、3.已知平面向量2 1，a，2x，b，若ab，則a+b等于( )a2, 1b2,1c3, 1d3,1【答案】a【解析】由得，.ab221x4x (24,1 2)( 2, 1)ab 4.已知，若，則（ ） ), 2(),2, 1 (mbaba b a. b.1 c. d.2135【答案】d.【解析】由得到，得,因此.ba 0221m1m 514b5.若平面四邊形滿足則該四邊形一定是（ ） a直角梯形 b矩形 c菱形 d正方形【答案】c【解析】 6.若向量a=（1，1） ，b=（1，1） ，c=（1，2） ，則c等于（ ） a.1322ab b. 1322ab c. 3122abd. 3122ab

15、【答案】b【解析】本題只能一個一個驗證，a 錯，當(dāng)131133(,)( ,)(1, 2)222222ab 然此時就可看出 b 正確了.7. 已知菱形的邊長為 ， ,則（ ）abcda60abcbd cd （a） （b） （c） （d） 232a234a234a232a【答案】d【解析】因為bd cdbd bababcba 22223cos602babc baaaa 故選 d.0,()0,abcdabadac 【考點定位】平面向量的線性運算與數(shù)量積.【名師點睛】本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識，重點考查學(xué)生對平面向量的線性運算和數(shù)量積的理解與掌握，屬基礎(chǔ)題，要注意結(jié)合圖形的性質(zhì)，靈活運用向量的運算解

16、決問題.8.已知向量，若，則=（ ）(1,1)m(2,2)n()()mnmna-4 b-3 c-2 d-1【答案】b【解析】由()()mnmn22|0mn22(1)1 (2)40 .故選 b.3 9.已知點、，則向量在方向上的投影為（ ( 1, 1)a (1, 2)b( 2,1)c (3, 4)dab cd ）a b c d3 223 1523 223 152【答案】 a 10.已知向量（cos，sin） ，向量（，1）,則2的最大值與最小值arbr3arbr的和是（ ） a4 b6 c4 d162【答案】c【解析】因為2arbr，故其最大值8388344123222sincossinsinc

17、os為，最小值為，它們的和為，選 c.416 088411.已知平面向量，滿足，且，則與的夾角是（ ）ab| 1a| 2b()abaab（a） （b） （c） （d）56323【答案】d【解析】 12.已知，則向量與的夾角為 （ ）| 1,| 2 3,()4ababa ab a b c d623356【答案】d【解析】，所以，所以2()4abaa ba 3a b ，所以，選 d 33cos,2|1 2 3a ba bab 5,6a b （二）（二） 填空題（填空題（4*5=20 分）分）13. 已知向量，則_oaab | 3oa oa ob 【答案】.9【解析】因為向量，所以，即，所以oaab

18、 0oa abuur uu u r()0oaoboauuruu u ruur，即，故應(yīng)填.20oa oboauur uu u ruur29oa oboauur uu u ruur9【考點定位】本題考查向量的數(shù)量積的基本運算，屬基礎(chǔ)題.【名師點睛】將向量的加法運算法則（平行四邊形法則和三角形法則）和向量的數(shù)量積的定義運算聯(lián)系在一起，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識間的內(nèi)在聯(lián)系，滲透方程思想在解題中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的識記能力和靈活運用能力.14. 已知，是平面單位向量，且若平面向量滿足，則1e2e1212e e b121b eb e b 【答案】2 33【解析】【考點定位】1.平面向量數(shù)量積運算；2.向量的模.【名師點睛】本題主要