數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 課程設(shè)計(jì)

1、.安徽工業(yè)大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程設(shè)計(jì)姓名：班級(jí)：任課老師：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 課程設(shè)計(jì)問(wèn)題提出：某容器盛滿水后，低端直徑為的小孔開(kāi)啟（圖）。根據(jù)水力學(xué)知識(shí)，當(dāng)水面高度h時(shí)，水沖小孔中流出的速度 (g為重力加速度，0.6為孔口的收縮系數(shù))。若容器為倒圓錐形（如圖1），現(xiàn)測(cè)得容器高和上底面直徑均為1.2m，小孔直徑為3cm，問(wèn)水從小孔中流完需要多長(zhǎng)時(shí)間；2min水面高度是多少。若容器為倒葫蘆形（如圖2），現(xiàn)測(cè)得容器高為1.2m，小孔直徑為3cm，有低端（記作x=0）向上每隔0.1m測(cè)出容器的直徑D（m）如表所示，問(wèn)水從小孔中流完需要多少時(shí)間；2min時(shí)水面的高度是多少。圖1 ： 圖2：表：x/m00.10.2

2、0.30.40.50.60.70.80.91.01.11.2D/m0.030.050.080.140.190.330.450.680.980.101.201.131.00問(wèn)題分析：（1） 倒圓錐形容器流水問(wèn)題中隨時(shí)間t液面高度h也在變化，同時(shí)水的流速也在變化，再寫(xiě)變化難以用普通的方程進(jìn)行模擬求解，考慮建立常微分方程竟而代入數(shù)值求解。水面的直徑等于液面的高度?？梢越⑷萜髦兴魇У囊好娓叨葘?duì)時(shí)間t的變化率。假設(shè)t時(shí)，液面的高度h，此時(shí)水的流速流量Q為： ； 則在時(shí)間內(nèi)液面下降高度為，可得到關(guān)系式：；由此可知水下降時(shí)需要的時(shí)間：；根據(jù)此關(guān)系式知道。（2） 在第二問(wèn)中，考慮倒葫蘆形容器時(shí)因?yàn)樗母叨?/p>

3、h不同容器直徑D變化沒(méi)有規(guī)律可循，同第一題相比我們只知道他的一些數(shù)值，這就需要我們建立高度h和容器直徑D之間的關(guān)系矩陣，然后再歐拉方程和龍格庫(kù)塔方法找出時(shí)間t和液面高度之間的分量關(guān)系。由（1）可同理推知：假設(shè)在時(shí)間t時(shí)，液面高度為h，此時(shí)流量為；經(jīng)過(guò)時(shí)，液面下降，若我們?nèi)〉膖是在t(n)和t(n+1)之間的某一時(shí)刻，于是就可在誤差范圍內(nèi)得到；可以得到 ；建立模型：（1） 在試驗(yàn)中我們不考慮圓錐的缺省對(duì)流水的影響，以及其他外界因素和玻璃的毛細(xì)作用，試驗(yàn)中水可以順利流完。實(shí)驗(yàn)中重力加速度g=9.8；倒圓錐的液面最初高度為H=1.2m，液面直徑D=1.2m=0.03，小孔的直徑為=0.03m；接上文

4、中分析結(jié)論代入數(shù)據(jù)：即在T時(shí)間內(nèi)將1.2m的液面高度放完，（matlab不支持一些運(yùn)算符號(hào)，故用matlab運(yùn)算格式）dt=-(pi/4)h2*dh)/(0.6*(pi/4)*d2*sqrt(gh)=-(h1.5*dh)/(0.6*d2*sqrt(g)h是由01.2m對(duì)t積分用matlab計(jì)算上式編輯文件：a1.m，d0=0.03;g=9.8;syms ht=(h1.5)/(0.6*d02*sqrt(g);T=int(t,0,1.2);eval(T)運(yùn)行結(jié)果：>> a1ans = 373.2556結(jié)果：水從倒圓錐中流完需要373.26s；2mine之后液面的高度為h1;373.26

5、-120= h12.5/(1.5*d2*(g)0.5)=153.26可知h1=(1.5*d2*sqrt(g)*153.26)(2/5);Malab計(jì)算>> g=9.8g = 9.8000>> d0=0.03d0 = 0.0300>> h1=(1.5*d02*sqrt(g)*153.26)(2/5)h1 =0.8405即2mine之后液面的高度為0.84m；上述運(yùn)行結(jié)果可知：誰(shuí)需要373.26s流完，2mine之后液面高度為0.84m；（2） 在與（1）同樣的條件下，倒葫蘆形容器的液面最初高度H=1.2m，小孔的直徑為d0=0.03m，液面直徑和液面高度關(guān)系如

6、表。在分析中已經(jīng)討論出t和h的關(guān)系。dt=t(k+1)-t(k)=-(pi/4)h2*dh)/( 0.6(pi/4)d2*sqrt(gh)=-(h1.5*dh)/(0.6d2*sqrt(g) k1=0.15*sqrt(g*(x(n)*d2/(-43.6359*x(n)8+213.0457*x(n)7-414.873*x(n)6+410.2075*x(n)5-218.8936*x(n)4+62.553*x(n)3-8.3215*x(n)2+0.49619*x(n)+.014892)2; k2=0.15*sqrt(g*(x(n)-h*k1)*d2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)8+21

7、3.0457*(x(n)-h*k1)7-414.873*(x(n)-h*k1)6+410.2075*(x(n)-h*k1)5-218.8936*(x(n)-h*k1)4+62.553*(x(n)-h*k1)3-8.3215*(x(n)-h*k1)2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)2;x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;matlab程序編寫(xiě)及計(jì)算：g=9.8;d=0.03;k1=0;k2=0;h=0.4;x(1)=1.2;for n=1:1000 k1=0.15*sqrt(g*(x(n)*d2/(-43.6359*x(n)8+213.0457*x(n)7-4

8、14.873*x(n)6+410.2075*x(n)5-218.8936*x(n)4+62.553*x(n)3-8.3215*x(n)2+0.49619*x(n)+.014892)2; k2=0.15*sqrt(g*(x(n)-h*k1)*d2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)8+213.0457*(x(n)-h*k1)7-414.873*(x(n)-h*k1)6+410.2075*(x(n)-h*k1)5-218.8936*(x(n)-h*k1)4+62.553*(x(n)-h*k1)3-8.3215*(x(n)-h*k1)2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892

9、)2; x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;end x(300) t=0:h:1000*h; plot(t,x); axis(0,400,0,1.21); p=polyfit(x,t,5);T=real(polyval(p,0)運(yùn)行結(jié)果：>> a3ans = 1.0278Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored > In a3 at 14T = 396.5254運(yùn)行結(jié)果得知：倒葫蘆形容器的水大約396.53s流完，2mine后液面高度為1.03m。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建

10、立模型找出微分方程是分析客觀對(duì)象變化規(guī)律的有力工具，但不是所有問(wèn)題多可以建立解析表達(dá)式（如（2）問(wèn)），即使獲得了解析表達(dá)式也十分復(fù)雜，因此就必須通過(guò)數(shù)值求解的方法算出微分方程的某些離散點(diǎn)處得近似解析，進(jìn)而分析微分方程反映客觀問(wèn)題。指點(diǎn)迷津：在上述問(wèn)題的（1）中仍有疑問(wèn)，之前思考時(shí)建立模型是倒圓錐內(nèi)剩余的水的體積變化量dV對(duì)時(shí)間dt的關(guān)系，即dV/dt=Q=vt();假設(shè)t時(shí)間內(nèi)水流了VV=；dV/dt=;求次微分方程：>> h=dsolve('Dh=(0.6*sqrt(9.8*h)/(pi/4)*(1.2-h)2)','h(0)=1.2','t') h = RootOf(X2245 - 8*X2244 + (152*X2243)/5 - (288*X2242)/5 + (1296*X224)/25 - (55296*pi2 + 1102500*t2 - 201600*pi*6(1/2)*t)/(3125*pi2), X224) RootOf(X23