第二章2-單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)

1、第二章2-單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng) 引言 慣性體由于任何外力緣由離開(kāi)平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢復(fù)力作用， 慣性體將在平衡位置四周根據(jù)其固有頻率 進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由于沒(méi)有能量耗散，系統(tǒng) 的機(jī)械能保持守恒。振動(dòng)無(wú)限期的進(jìn)行下 去。 引言 對(duì)于實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)，由于不行避開(kāi)的存 在各種阻尼，振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化 為其他形式的能，造成振幅衰減，以致最 后振動(dòng)完全停止。 阻尼定義 阻尼是用來(lái)衡量系統(tǒng)自身消耗振動(dòng)能量能 力的物理量 。 線性阻尼 又稱(chēng)粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小與相對(duì)速度成正比，方向與速 度方向相反。阻尼系數(shù)為常數(shù)。 為了討論便利，通常

2、將阻尼進(jìn)行線性化， 線性化的方法是等效原則。即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中，線性阻尼和原非線性阻尼汲取的能量 一樣多。 車(chē)輛中廣泛存在的阻尼 在車(chē)輛當(dāng)中，廣泛存在的阻尼有，懸掛/懸 架系統(tǒng)的減振器，輪胎的橡膠和其他各種 橡膠支撐，液體(浸沒(méi)在液體中振動(dòng)物 體),摩擦表面(離合器),金屬橡膠等。 液壓減振器工作原理活塞缸 活塞運(yùn)動(dòng)方向 液流方向 活塞 阻尼孔 輪胎的阻尼輪 胎 恢 復(fù) 力 壓縮 復(fù)原 o 輪胎變形量 單自由度粘性阻尼的自由振動(dòng) 以物體的平衡位 置為原點(diǎn)，水平 方向?yàn)閤軸正向， 建立如圖所示的 坐標(biāo)系。o k m c x kx m cx x 微分方程的建立 依據(jù)受力分析，和初始條件，可以得到下

3、面的微分方程。 mx cx kx 0 x (0) x0 , x (0) x0 方程求解 由于方程為齊次的，因此，方程的解具有 如下形式： x e st 將解的形式帶入微分方程：k st 2 c s s e 0 m m 特征方程及其解 由于 e 0 ,因此，要想方程成立；st c k 必需： s s 0 稱(chēng)為微分方程 的特 m m 征方程 可以解出它的兩個(gè)根：2 s1,2 c k c 2m 2m m 2 微分方程的通解 微分方程的通解為： x bes1t de s2t b, d 為任意常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件打算。 而解的形式，打算于 s1 , s2 。隨著阻尼系數(shù) 的不同，特征方程可以有兩個(gè)不等

4、的負(fù)實(shí) 根，相等的負(fù)實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根。 臨界阻尼系數(shù) 使特征方程有兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根的阻尼系數(shù) 值，稱(chēng)為臨界阻尼系數(shù)(critical damping coefficient)記為 cc cc 2 km 2m n 阻尼比c c c 令 ,稱(chēng)為阻尼比或者相 cc 2 km 2m n 對(duì)阻尼系數(shù)。是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)， 是一個(gè)重要 振動(dòng)參數(shù)。 表征一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)阻尼的大?。?1 表示大阻尼， 1 表示臨界阻尼， 1 表示小阻尼。 微分方程和解的表達(dá)方式 由 n k m ,和 c c cc 2m n 2 n m cc m m 原來(lái)的微分方程可以改寫(xiě)成： 2 2 n x n x 0 xs1,2 2 1 n 特征根： 大阻尼狀況的爭(zhēng)論 當(dāng) 1,方程的特征根x e nt s1,2 2 1 n , 均為實(shí)數(shù)，方程的通解為： ae1 2 1 nt a2e 2 1 nt a1 , a2 與初始條件 x0 , x0 有關(guān)， 1 x0 n x0 a1,2 x0 2 2 1 n 大阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)x 可以證明， e nt ae1 2 1 nt a2e 2 1 nt 越過(guò)平衡位置的次數(shù)至多有一次。x x0 x x0 x0 t x x0 t x0 x0 t 臨界阻尼狀況的爭(zhēng)論 當(dāng) 1 ,特征方程的根 s1