十三中嚴定一《函數(shù)與方程》

1、第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I2.8函數(shù)與方程內(nèi)容索引基礎知識 自主學習題型分類 深度剖析易錯警示系列思想方法 感悟提高練出高分基礎知識自主學習1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使 的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點.(2)幾個等價關系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與 有交點函數(shù)yf(x)有 .f(x)0 x軸零點知識梳理1 1答案(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間 內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得 ，這個_也就是方程f(x)0的根.f(a)f

2、(b)0)的圖象與零點的關系 000)的圖象與x軸的交點_無交點零點個數(shù)_(x1,0)，(x2 ,0)(x1,0)210答案判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點.()(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點.()思考辨析答案1.函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3f(x)在(1,0)內(nèi)有零點，又f(

3、x)為增函數(shù)，函數(shù)f(x)有且只有一個零點.B考點自測2 2解析答案2.(2015安徽)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析解析由于ysin x是奇函數(shù)；yln x是非奇非偶函數(shù)；yx21是偶函數(shù)但沒有零點；只有ycos x是偶函數(shù)又有零點.A解析答案A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)因此f(1)f(2)2時，g(x)x1，f(x)(x2)2；當0 x2時，g(x)3x，f(x)2x；當x2時，方程f(x)g(x)0可化為x25x50，解析答案當0 x2時，方程f(x)g(x)0可化為2x3x，無解

4、；當x0時，方程f(x)g(x)0可化為x2x10，所以函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)為2.答案答案A5.函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_.解析解析函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得f(1)f(1)0，解析答案返回題型分類深度剖析命題點命題點1函數(shù)零點所在的區(qū)間函數(shù)零點所在的區(qū)間A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)C題型一函數(shù)零點的確定解析答案思維升華命題點命題點2函數(shù)零點個數(shù)的判斷函數(shù)零點個數(shù)的判斷所以f(x)在(0，)上是增函數(shù).又因為f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一個零點，綜上，函數(shù)f(x)的零點

5、個數(shù)為2.2解析答案思維升華(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當x0,1時，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)是()A.多于4 B.4C.3 D.2B解析解析由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù).在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)及ylog3|x|的圖象，如圖：觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點，即函數(shù)yf(x)log3|x|有4個零點.解析答案思維升華命題點命題點3求函數(shù)的零點求函數(shù)的零點解析答案思維升華f(x)x23x，f(x)x23x.令g(x)x23xx30，函數(shù)g(x)f(x)x3的零點的集合是2 ，1,3，故選D.答案答案D解析解析當x0時，f

6、(x)x23x，令g(x)x23xx30，得x13，x21.當x0，f(x)(x)23(x)，思維升華思維升華(1)確定函數(shù)零點所在區(qū)間，可利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：解方程法；零點存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).C解析解析因為f(1)6log2160，f(2)3log2220，跟蹤訓練1解析答案12x解析答案f(0)f(1)0)，則原方程可變?yōu)閠2ata10，(*)原方程有實根，即方程(*)有正根.令f(t)t2ata1.若方程(*)有兩個正實根t1，t2，解析答案若方程(*)

7、有一個正實根和一個負實根(負實根不合題意，舍去)，則f(0)a10，解得a1；若方程(*)有一個正實根和一個零根，解析答案思維升華思維升華對于“af(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)yf(x)的值域來解決，解的個數(shù)可化為函數(shù)yf(x)的圖象和直線ya交點的個數(shù).則有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.C跟蹤訓練2解析答案A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1)解析答案觀察圖象可知，若方程f(x)a0有三個不同的實數(shù)根，則函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya有3個不同的交點，此時需滿足0a1，故選D.答案答案D解析解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖

8、所示，例例5已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍.解解方法一設方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1，x2(x1x2)，則(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根與系數(shù)的關系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故實數(shù)a的取值范圍是(2,1).題型三二次函數(shù)的零點問題解析答案思維升華思維升華解決與二次函數(shù)有關的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組

9、.若關于x的方程x2ax40在區(qū)間2,4上有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(3，) B.3,0 C.(0，) D.0,3解析解析如果方程有實數(shù)根，注意到兩個根之積為40時的零點個數(shù)后，容易忽略條件：定義在R上的奇函數(shù)，導致漏掉x0時，f(x)2 016xlog2 016x，則在R上函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為_.易錯警示系列3.忽視定義域?qū)е铝泓c個數(shù)錯誤溫馨提醒解析答案返回易錯分析可知它們只有一個交點，所以當x0時函數(shù)只有一個零點.由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以當x0時函數(shù)的零點個數(shù)也可利用零點存在性定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定.(2)函數(shù)的定義域是討論函數(shù)其他性質(zhì)的基礎，要給予充分重視.返回思想方法感悟

10、提高1.函數(shù)零點的判定常用的方法有(1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合：函數(shù)yf(x)g(x)的零點，就是函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點的橫坐標.(3)解方程.2.二次函數(shù)的零點可利用求根公式、判別式、根與系數(shù)的關系或結(jié)合函數(shù)圖象列不等式(組).3.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的常用方法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法. 方法與技巧1.函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.2.判斷零點個數(shù)要注意函數(shù)的定義域，不要漏解；畫圖時要盡量準確.失誤與防范返回練出高分A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(1,2)與

11、(2,3)解析答案f(x)在(2,3)內(nèi)存在一個零點.答案答案B 所以f(x)0，故函數(shù)f(x)在(1,2)上沒有零點.2.已知三個函數(shù)f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零點依次為a，b，c，則()A.abc B.acbC.bac D.ca0，且f(x)為R上的遞增函數(shù).故f(x)2xx的零點a(1,0).g(2)0，g(x)的零點b2；解析答案且h(x)為(0，)上的增函數(shù)，方法二由f(x)0得2xx；由h(x)0得log2xx作出函數(shù)y2x，ylog2x和yx的圖象(如圖).由圖象易知a0,0c1，而b2，故ac1，所以此時方程無解.綜上函數(shù)f(x)的零點只有0，故選D.

12、 D解析答案4.方程|x22x|a21(a0)的解的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析解析(數(shù)形結(jié)合法)a0，a211.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點.B解析答案A.(，1) B.(，0)C.(1,0) D.1,0)解析答案當x0時，f(x)exa，此時函數(shù)f(x)exa在(，0上有且僅有一個零點，等價轉(zhuǎn)化為方程exa在(，0上有且僅有一個實根，而函數(shù)yex在(，0上的值域為(0,1，所以0a1，解得1a0.故選D.答案答案D6.已知函數(shù)f(x)x2xa(a0)在區(qū)間(0,1)上有零點，則a的取值范圍為_.解析解析ax2x在(0,1)上有

13、解，(2,0)函數(shù)yx2x，x(0,1)的值域為(0,2)，0a2，2a0的解集是_.解析解析f(x)x2axb的兩個零點是2,3.2,3是方程x2axb0的兩根，f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解析答案由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，結(jié)合圖象得：0m1，即m(0,1).(0,1)解析答案解解如圖所示.解析答案故f(x)在(0,1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù).由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，解析答案(3)若方程f(x)m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍.解解由函數(shù)f(x)的圖象可知，當0m0，則應有f(2)0，又f(2)22(m1

14、)21，解析答案解析答案由可知m的取值范圍是(，1.方法二顯然x0不是方程x2(m1)x10的解，1m2，m1，故m的取值范圍是(，1.解析解析當x0時，xf(x)m，即x1m，解得m1；即實數(shù)m的取值范圍是(，12，).故選D.D解析答案12.函數(shù)f(x)3x7ln x的零點位于區(qū)間(n，n1)(nN)內(nèi)，則n_.解析解析由于ln 2ln e1，所以f(2)1，所以f(3)0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n2.2解析答案解析解析函數(shù)g(x)f(x)k有兩個零點，即f(x)k0有兩個解，即yf(x)與yk的圖象有兩個交點.分k0和k0作出函數(shù)f(x)的圖象.當0k1或k0時，

15、沒有交點，故當0k1時滿足題意.(0,1)解析答案14.(2015湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_.解析解析由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示.則當0b2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點.(0,2)解析答案15.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，在(0,2上是增函數(shù)，且f(x4)f(x)，給出下列結(jié)論：若0 x1x20；若0 x1x2f(x2)；若方程f(x)m在8,8內(nèi)恰有四個不同的實根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x48或8；函數(shù)f(x)在8,8內(nèi)至少有5個零點，至多有13個零點.其中結(jié)論正確的有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析答案返回解析解析f(x4)f(x)，