曲線的凹凸與拐點

1、曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點 前面我們介紹了函數(shù)的單調(diào)性和極值，這對于前面我們介紹了函數(shù)的單調(diào)性和極值，這對于了解函數(shù)的性態(tài)很有幫助，但僅知道單調(diào)性還不了解函數(shù)的性態(tài)很有幫助，但僅知道單調(diào)性還不能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎曲方向。曲方向。oyxl3l2l1ab 如右圖所示如右圖所示l1 ，l2 ，l3 雖然都是從雖然都是從a點單調(diào)上升到點單調(diào)上升到b點，但它們的彎曲方向卻點，但它們的彎曲方向卻不一樣。不一樣。 l1 是是“凸凸”弧，弧，l2是是“凹凹”弧弧 ，l3既有凸弧，也有既有凸弧，也有凹弧，凹弧，這和我們?nèi)粘Ａ晳T對凹凸的稱呼是一

2、致的。這和我們?nèi)粘Ａ晳T對凹凸的稱呼是一致的。一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方abc定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點兩點內(nèi)任意內(nèi)任意如果對如果對內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設設baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)

3、的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點內(nèi)任意兩點如果對如果對baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab遞增遞增)(xf abba0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導數(shù)二階導數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有

4、在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 證明證明2121),(,)2(xxbaxx 0210210,2xxxxhxxx 記記上上在在對對,)(2001xxxxxf分別應用分別應用l定理，得定理，得hfxfxf)()()(110 )(011xx hfxfxf)()()(202 )(220 xx 兩式相減，得兩式相減，得hffxfxfxf)()()()()(221210 由假設由假設0)( xf內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)減減在在,)(baxf 0)()(2121 ff由由0)()()(2210 xfxfxf2)()(22121xfxfxxf 即即這就證明了這就證明了內(nèi)內(nèi)是是上上凸凸

5、的的在在),()(baxf同理可證（同理可證（1）注注定理的結論可推廣到任意區(qū)間上定理的結論可推廣到任意區(qū)間上例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點點注意到注意到,三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內(nèi)存在二階導內(nèi)存在二階導數(shù)數(shù),

6、,則點則點 )(,00 xfx是拐點的必要條件是是拐點的必要條件是0)(0 xf. .1.1.定義定義注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2.2.拐點的求法拐點的求法證證,)(二階可導二階可導xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf , )()(0兩邊變號兩邊變號在在則則xxfxf ,)(,(00是拐點是拐點又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,條件條件由可導函數(shù)取得極值的由可導函數(shù)取得極值的. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導的鄰域內(nèi)二階可導在在設函數(shù)設函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點

7、變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的

8、鄰域內(nèi)三階可導的鄰域內(nèi)三階可導在在設函數(shù)設函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐點的拐點內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點為內(nèi)曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐點的拐點是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點點不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4假定假定f(x)在在x=x0處具有直到處具有直到n階的連續(xù)導數(shù)，且階的連續(xù)導數(shù)，且0)(,

9、0)()()(0)(0)1(00 xfxfxfxfnn但但這里這里n為奇數(shù)為奇數(shù)3，是拐點是拐點則則)(,(00 xfx證證)()(xfxg 記記0)()(0)(0)3( xfxgnn則則由高階導數(shù)判定極值的方法知由高階導數(shù)判定極值的方法知處取得極值處取得極值在在0)(xxg不妨設為不妨設為極小值極小值的左、右兩側(cè)鄰近，有的左、右兩側(cè)鄰近，有在在0 x0)()(0 xfxf )(xf時時0 xx 0)()(0 xfxf時時0 xx 0)()(0 xfxf二階導數(shù)變號，二階導數(shù)變號，是拐點是拐點則則)(,(00 xfx例例5 5.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 x

10、y,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 例例6求曲線求曲線)0(sin tteyextt的拐點的拐點解解tttetetedxdycossin ttcossin )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )cos(sintett )sin(cos022 dxyd令令ttsincos 4 t時時當當40 t022 dxyd時時當當 t4022 dxyd)21,(44 e

11、e是拐點是拐點例例7)()(, 0)(1,11121iniiiniiniinxfpxpfxfpppp 則則若若是一組正數(shù)，且是一組正數(shù)，且設設jensen不等式不等式證證 niiixpx10記記maxmin0iixxx 則則由由taylor公式，得公式，得20000)(2)()()()(xxfxxxfxfxf 0)( xf)()()(000 xxxfxfxf ), 2 , 1()()()(000nixxxfxfxfii 各式乘以各式乘以ip再相加，得再相加，得)()()(1010101 niiniiiniiniiipxxpxfpxfxfp=1=10 x )(0 xf niiiniiixfpxpf11)()(四、小結四、小結曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1, 2.思考題思考題設設)(xf在在),(ba內(nèi)二階可導，且內(nèi)二階可導，且0)(0 xf，其中其中),(0bax